構(gòu)建有效思維 感悟數(shù)學(xué)思想
——對(duì)三則“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)片斷的評(píng)析與思考

江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)(215000) 李樹平 ●

構(gòu)建有效思維 感悟數(shù)學(xué)思想
——對(duì)三則“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)片斷的評(píng)析與思考

江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)(215000) 李樹平 ●

按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，“讓學(xué)生獲得適應(yīng)末來生存與發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)思想”是一個(gè)重要的課程目標(biāo)．那么，如何在教學(xué)過程中能夠做到這一點(diǎn)，自然成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)重要問題．

筆者2015年4月16日參加了蘇州高新區(qū)八年級(jí)教改組的活動(dòng)，本次活動(dòng)是以“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”為題，由蘇州高新區(qū)通安中學(xué)兩位老師各上了一堂現(xiàn)場(chǎng)研究課．這節(jié)課內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，但卻蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法．在評(píng)課環(huán)節(jié)，大家對(duì)課堂教學(xué)的得失進(jìn)行了客觀的分析，其中很多老師都提到如何構(gòu)建有效教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生自然感悟本節(jié)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．本文選取三則教學(xué)片斷進(jìn)行回顧與評(píng)析，與同仁一起探究數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．

一、三則“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)片斷回顧與評(píng)析

片斷一:課堂引入環(huán)節(jié)

教師:在研究分式的時(shí)候，我們是先從分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運(yùn)算法則來類比學(xué)習(xí)的，今天我們研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誰來說說你準(zhǔn)備從哪些知識(shí)入手進(jìn)行類比學(xué)習(xí)?

(學(xué)生一臉茫然，經(jīng)教師多次引導(dǎo)終于說出了正比例函數(shù)．)

教師:正比例函數(shù)的圖象是什么?性質(zhì)有哪些?

(學(xué)生回答了正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì))

教師:今天我們就類比正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)來學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

評(píng)析 奧蘇伯爾提出:在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)的、包容范圍廣但又非常容易使人理解和記憶的引導(dǎo)性材料——先行組織者．在提供學(xué)習(xí)材料之前，可向先學(xué)習(xí)者提供一個(gè)研究問題的線索及方法，有利于學(xué)習(xí)者從整體上把握研究問題的方向．在片斷1中，教者試圖告訴學(xué)生用類比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的思想來學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，這樣的教學(xué)也體現(xiàn)了類比的思想，但立意似乎低了些，沒有讓學(xué)生真正體會(huì)到研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的思想方法，感覺是教者自己貼上了類比的思想方法的標(biāo)簽．

筆者認(rèn)為:在給出學(xué)習(xí)課題后，可以先給學(xué)生這樣的先行組織者:在研究反比例函數(shù)圖象之前我們學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)?當(dāng)時(shí)研究了關(guān)于這些函數(shù)的哪些問題?通過什么方法研究的?通過這樣的問題，既可以讓學(xué)生回顧一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，也讓學(xué)生明確了之前研究了關(guān)于一次函數(shù)的哪些方面(定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用)的問題，是通過什么方法研究的．這樣從整體上概括研究的內(nèi)容和方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之前做到心中有數(shù)，心中有法，不僅有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，也有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力．

片斷二:反比例函數(shù)性質(zhì)探索環(huán)節(jié)

學(xué)生1:它們的圖象都分布在一、三象限．

學(xué)生2:通過觀察圖象可發(fā)現(xiàn)隨著x值的增大，y的值越來越?。?/p>

教師:你能從解析式和圖象兩個(gè)方面來說明嗎?

學(xué)生1:解析式中的k為正數(shù)時(shí)，說明圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)同號(hào)，這樣的點(diǎn)在第一或第三象限．

學(xué)生2:通過觀察畫圖象所列表格發(fā)現(xiàn)，隨著x值的增大，y的值在減?。?/p>

教師:那你能歸納你的發(fā)現(xiàn)嗎?

學(xué)生2:當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而減小．

學(xué)生3:不對(duì)，當(dāng)x=－1時(shí)，y=－6，當(dāng)x=1時(shí)，y=6，隨著x值的增大，y的值在增大．

教師:這又是怎么一回事呢?

(學(xué)生疑惑不解)

教師:學(xué)生2說的結(jié)論有成立的條件嗎?

學(xué)生4:我發(fā)現(xiàn)在第一象限和第三象限都是成立的，對(duì)整個(gè)圖象就不成立了．

教師:觀察真仔細(xì)，所以在描述反比例函數(shù)圖象性質(zhì)時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)在每個(gè)象限內(nèi)．誰來重新歸納一下反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)?

……

教師:剛才在發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)時(shí)用了什么樣的數(shù)學(xué)思想方法?

學(xué)生5:數(shù)形結(jié)合．

評(píng)析 函數(shù)圖象和性質(zhì)，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體．通過對(duì)函數(shù)圖象的分析與研究，除了關(guān)注函數(shù)的性質(zhì)的知識(shí)目標(biāo)，更要關(guān)注研究過程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法．在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生先觀察函數(shù)解析式中兩變量的取值特點(diǎn)，及畫圖象過程中所列表格中兩變量的變化規(guī)律，再到函數(shù)性質(zhì)的探究、歸納，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化的過程．這種從函數(shù)的解析式、表格、圖象、性質(zhì)相互間關(guān)聯(lián)入手的研究方法，使數(shù)學(xué)結(jié)合思想無聲地滲透到學(xué)習(xí)過程中，也體現(xiàn)了相互之間的轉(zhuǎn)化對(duì)研究問題的特殊作用，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用，教學(xué)效果較好．

片斷三:反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用環(huán)節(jié)

例 點(diǎn)(－4，y1)、(－1，y2)、(1，y3)在反比例函數(shù)y的圖象上，比較y、y、y的大?。?23

教師:你能求y1、y2、y3的值并比較大小嗎?

學(xué)生1:y1、y2、y3的值分別為1、4、－4．所以y3＜y1＜y2．

教師:這里采用代入求函數(shù)值，再進(jìn)行比較大小的方法，這樣的結(jié)果很可靠，但如果所給的自變量的數(shù)值較大，顯然我們?cè)儆么敕ㄈデ笾稻蜁?huì)加大運(yùn)算量．大家看看還有沒有其他的辦法比較大小?

學(xué)生2:我覺得可以利用剛學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)的增減性來比較大小．

∴ y隨x的增大而增大．

又∵ －4＜ －1＜1，∴ y1＜y2＜y3．

但為什么結(jié)果跟剛才不同呢?

(學(xué)生一時(shí)感到很迷茫，小聲討論，但還是找不出問題的癥結(jié)所在．)

教師:在圖象上描出這三個(gè)點(diǎn)的大致位置，仔細(xì)觀察，找到問題的答案!

(學(xué)生畫出各點(diǎn)的位置，并展開了討論．)

學(xué)生3:三個(gè)點(diǎn)在兩支不同的曲線上，分布在不同的象限內(nèi)，而反比例函數(shù)的增減性描述的是同一象限內(nèi)的變化規(guī)律．

教師:反比例函數(shù)圖象是不連續(xù)的兩支曲線，當(dāng)我們研究它的增減性時(shí)，必須考慮所給的點(diǎn)是否分布在同一象限內(nèi)．如果拋開圖象來直接進(jìn)行比較就顯得復(fù)雜抽象，而借助圖象描出各點(diǎn)的位置，就可以直觀地比較出函數(shù)的大小關(guān)系．

評(píng)析 片斷3的教學(xué)過程彰顯了教者的教學(xué)智慧．關(guān)于函數(shù)值的大小比較，學(xué)生并不陌生，在八年級(jí)一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中已積累了處理問題的經(jīng)驗(yàn)．由于一次函數(shù)圖象是連續(xù)的，關(guān)于它的函數(shù)值的大小比較可以直接利用增減性比較，或通過求值比較．學(xué)生在這樣的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，對(duì)于本例中的問題，自然想到直接代入求值比較或借助增減性比較．這恰是反比例函數(shù)性質(zhì)與一次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵不同之處．教師并沒有急于給出方法指導(dǎo)，而是讓學(xué)生自己充分嘗試，發(fā)現(xiàn)不同的結(jié)果，讓學(xué)生產(chǎn)生思維沖突，激發(fā)了求知欲，再通過巧妙設(shè)問，點(diǎn)撥學(xué)生畫出圖象，描出點(diǎn)的大致位置，學(xué)生從抽象思考的迷茫到對(duì)直觀的圖象的明了，豁然開朗，也加深理解了反比例函數(shù)在不同象限內(nèi)分別描述增減性的內(nèi)涵．這種把抽象問題通過直觀圖象來研究的過程，使學(xué)生進(jìn)一步感悟了數(shù)形結(jié)合的思想方法．

二、對(duì)滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)的思考與感悟

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)所使用的方法和規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，如此理性的認(rèn)識(shí)必然隱性地存在于一定的載體中，因此，將問題解決轉(zhuǎn)化為思維建構(gòu)是衍生數(shù)學(xué)思想方法的有效路徑，讓學(xué)生在對(duì)比、探索及內(nèi)化中感悟數(shù)學(xué)思想方法，從而讓看不見的數(shù)學(xué)思想方法漸次模仿、內(nèi)化及運(yùn)用，在有效思維構(gòu)建活動(dòng)中自覺地改變個(gè)體思維的方法，感悟數(shù)學(xué)思想方法．

1．在比對(duì)與模仿中感悟數(shù)學(xué)思想方法

認(rèn)知心理學(xué)研究表明，數(shù)學(xué)思想方法要注意屏蔽“功能固著”，即通過具有不同的問題情境，把那些在解題思想方法上具有相似或相關(guān)的問題串聯(lián)起來，在變化中求不變，感悟數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)．例如:本課例中學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可類比一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一方面是對(duì)一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的復(fù)習(xí)，另一方面也讓學(xué)生從整體上明確研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的的基本套路，明確通過什么方法研究，通常研究哪些方面的問題，這對(duì)學(xué)生終身學(xué)習(xí)及終身的發(fā)展都有很大幫助．通過對(duì)不同類型函數(shù)的研究，逐步理解函數(shù)的內(nèi)涵，學(xué)生對(duì)函數(shù)內(nèi)涵的逐步理解提高的過程，也可以說是一個(gè)漸進(jìn)的比對(duì)與模仿的過程．

2．在自主探索與合作交流中感悟數(shù)學(xué)思想方法

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法在更高層次上的抽象與概括，學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)中的過程中，通過自主探索、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想．”因此，數(shù)學(xué)思想方法重在悟，悟就需要過程，一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步逼近思想本質(zhì)的過程．例如本課例片斷2中教學(xué)設(shè)計(jì)，通過啟發(fā)式教學(xué)，意在讓學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納的過程，通過巧妙設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生由“解析式”、“表格”到“圖象”，再到“性質(zhì)”，將數(shù)的刻畫和形的表達(dá)兩者緊密聯(lián)系起來，在一次次由數(shù)到形、由形到數(shù)的思維活動(dòng)中，讓學(xué)生運(yùn)用觀察、猜測(cè)、歸納、表達(dá)等多種方式，充分感受數(shù)學(xué)問題研究中數(shù)與形兩種方法之間相輔相成．

3．在內(nèi)化與運(yùn)用中感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想離不開具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，只有對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入的思考，才能逐步感悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想．而一種數(shù)學(xué)思想方法的形成往往需要在不同的問題背景中經(jīng)歷提煉、理解、應(yīng)用等循環(huán)過程，讓學(xué)生切實(shí)參與，才能漸次領(lǐng)悟．鑒于此，運(yùn)用新知識(shí)解決問題，恰好能讓學(xué)生感悟的數(shù)學(xué)思想方法得到有效的順應(yīng)，讓數(shù)學(xué)思想方法由淺層面的認(rèn)識(shí)漸次走向深刻的理解，真正得以內(nèi)化．例如本課例片斷3中例題的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)支持下，通過代入計(jì)算比較大小和利用增減性進(jìn)行函數(shù)值的大小比較進(jìn)一步強(qiáng)化反比例函數(shù)與一次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵不同之處．在教師畫出圖象的點(diǎn)撥下，學(xué)生豁然開朗，讓學(xué)生在解決問題過程中內(nèi)化了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，并形成了一定的運(yùn)用思想方法的意識(shí)．

［1］馬復(fù)，凌曉牧．新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)［M］．北京:北京師范大學(xué)出版社．

［2］馬敏．讓學(xué)生在思維建構(gòu)中“默會(huì)”數(shù)學(xué)思想方法［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:中旬，2013(12):14－16

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