中考數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題研究

江蘇省常熟市孝友中學(xué)(215500) 陳 進(jìn) ●

中考數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題研究

江蘇省常熟市孝友中學(xué)(215500) 陳 進(jìn) ●

數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題是中考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，對本市中考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題進(jìn)行研究，對提高學(xué)生的中考成績具有重要的意義．文中對常見的中考數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題進(jìn)行了分類匯總，并對某些種類的問題的解決方法做了簡要的說明，最后結(jié)合教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題的學(xué)習(xí)做了概述．

中考數(shù)學(xué);應(yīng)用類;問題研究

隨著新課程改革的實(shí)施，對學(xué)生知識運(yùn)用能力的考查成為了重點(diǎn)，雖然很多學(xué)校已經(jīng)注意到這方面的問題，但是數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題的解決還存在較大的問題．從教材和課后練習(xí)題的整體編排上來看，多數(shù)習(xí)題均是以情景為背景的純數(shù)學(xué)問題，與中考中出現(xiàn)的貼近學(xué)生實(shí)際生活的問題有一定的差距，需要教師能夠結(jié)合考試要求獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的編排設(shè)計(jì)．研究中考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的分類，提高教師數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的編排能力，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義．

一、中考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題分類

根據(jù)數(shù)學(xué)問題引入實(shí)際生活中的程度可以分為仿真應(yīng)用題和全真應(yīng)用題，其中仿真應(yīng)用題主要是指以學(xué)生的實(shí)際生活為背景，但是學(xué)生又不經(jīng)常接觸到的問題為背景，通過教師改造來設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題．例如:住在小河上游的居民A發(fā)現(xiàn)處在小河下游的同側(cè)居民B家著火，居民A拿起水桶去河中打水，之后快速趕往B家救火，請同學(xué)們替居民A規(guī)劃出最佳的行動路線．全真應(yīng)用題是指學(xué)生生活中的現(xiàn)實(shí)場景，沒有經(jīng)過任何的修飾和改造的數(shù)學(xué)問題．例如:國慶節(jié)來臨之際，超市舉行大型的“買滿贈”活動，超市購物滿300送100購物卷，滿500送260元購物卷，超500元送260元現(xiàn)金，其中購物卷所抵扣的錢數(shù)不再結(jié)算的金額內(nèi)，小明在超市看中一個(gè)襯衣、一件大衣和一個(gè)夾克，售價(jià)分別是120、500和320，問小明選擇哪種方案最劃算?

二、數(shù)學(xué)模型的建立種類

數(shù)學(xué)建立模型的過程就是將實(shí)際問題向純數(shù)學(xué)化問題過渡的過程，從整體上來看主要分為以下幾個(gè)方面:第一，直接套用相應(yīng)的公式來解決問題．第二，通過以給定的條件進(jìn)行定性和定量分析后來解決問題．第三，剔除干擾信息，分析主要矛盾，通過信息加工再進(jìn)一步數(shù)學(xué)化．第四，根據(jù)已知條件建立數(shù)學(xué)模型，再對所得數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解．

1．方程模型

對于解決存在較多等量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題時(shí)可以通過方程模型來解決，例如比較常見的儲蓄利率問題、施工問題等．例:2014年蘇州中考數(shù)學(xué)第16題，某地準(zhǔn)備對一段長為120米的河道進(jìn)行疏通，如果甲工程隊(duì)先單獨(dú)干4天，剩余的由乙工程隊(duì)單獨(dú)干需要9天;如果甲工程隊(duì)先單獨(dú)干8天，剩余的由乙工程隊(duì)單獨(dú)干需要3天，設(shè)甲工程隊(duì)每天平均疏通河道x米，乙工程隊(duì)每天平均疏通河道y米，那么(x+y)的值是多少?對于這類問題可以通過:分析問題——建立模型——求解模型——分析驗(yàn)證——解答，五個(gè)步驟來完成．

2．函數(shù)模型

函數(shù)關(guān)系廣泛存在于日常生活中，它反映了事物之間存在的廣泛聯(lián)系．對于這一類的問題可以通過建立直角坐標(biāo)系，通過直觀圖形等方式來解決，常見的問題有工程計(jì)劃決策、最小成本、最佳方案等．例如:2012年蘇州中考數(shù)學(xué)第26題，已知斜坡AB長60米，坡角為30°，BC⊥AC．現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺 DE和一條新的斜坡BE．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，則平臺DE的長最多為多少米?

3．三角模型

三角形不論是在幾何還是代數(shù)部分都具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，我們可以通過三角模型來解決航海、天文、測量等方面的問題．例如:2012年蘇州中考數(shù)學(xué)第26題，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測站，A在B的正東方向，AB=2(單位:km)．有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．(1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離．對于這道題主要考查學(xué)生方向角的問題，它是以實(shí)際問題為背景的三角形應(yīng)用問題．解答此類問題需要通過圖形找出代數(shù)關(guān)系，最后通過方程來解答．就此題而言，可以先通過P點(diǎn)作出到海岸線的垂線PD，并將PD的距離表示為x，將BD和AD的距離分別用x表示出來，最后通過AB=BD+AD的關(guān)系，列出方程求解．

4．統(tǒng)計(jì)模型

統(tǒng)計(jì)類問題也是中考數(shù)學(xué)中常見的問題，對于這類問題學(xué)生要學(xué)會如何收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)，能夠把握樣本的統(tǒng)計(jì)思想．例如:2016年蘇州中考數(shù)學(xué)第23題，在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1、0、2，它們除了數(shù)字不同以外，其他的都相同．隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球，則摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字2的小球的概率為___．

三、中考數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題的應(yīng)對

1．準(zhǔn)確把握已知條件

對于數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題首先要做的就是理解題意，要搞清楚題目中的已知條件，搞清楚相關(guān)數(shù)據(jù)的用途．尤其是在以大量的生活化語言為載體的應(yīng)用類問題，學(xué)生要具備能夠?qū)⑸罨Z言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言的能力，這樣才能夠從繁瑣的語言表述中找出引發(fā)結(jié)論的條件．例如:隨著人們出行數(shù)量的增加，本市火車站壓力明顯增加，為了滿足人們出行的需求，現(xiàn)將火車站作進(jìn)一步的擴(kuò)展工程，該項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)來完成所用的時(shí)間比乙隊(duì)單獨(dú)完成所需要的時(shí)間多5個(gè)月，并且兩隊(duì)單獨(dú)完成該工程需要的時(shí)間的乘積等于兩隊(duì)單獨(dú)完成該工程所需時(shí)間之和的6倍，問:兩個(gè)工程隊(duì)各需要多長時(shí)間能夠完成該工程?如果甲隊(duì)的施工開支為每月100萬，乙隊(duì)的施工開支每月比甲隊(duì)多50萬，為了縮短工期讓兩支隊(duì)伍一起開工．完成工程中，甲隊(duì)的工作時(shí)間是乙隊(duì)的2倍，問甲隊(duì)最多施工多久才能夠保證工程款不超過1500萬?對于這個(gè)問題，第一問較為明顯，但是第二問表述相對較為繁瑣，學(xué)生就需要把握題目中的關(guān)鍵信息，尋找其中的等量關(guān)系來列出方程和不等式．

2．提煉正確的解題方法

對于數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題都會有與之相對應(yīng)的解題方法，通過對題意的理解尋找正確的解題方法是快速解題的關(guān)鍵．通常情況下，應(yīng)用類問題的解題方法主要包括數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比、分類、換元和配方等方法．一般情況下，對于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等問題可以采用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．另外，數(shù)學(xué)模型也是中考數(shù)學(xué)重要的解題方法之一，其本質(zhì)就是通過題目的條件抽取出一次函數(shù)和二次函數(shù)模型，其大體步驟分為:首先根據(jù)題目條件概括出數(shù)學(xué)模型，之后對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理演算求出數(shù)學(xué)模型的解，最后將數(shù)學(xué)模型得出的結(jié)果套用到應(yīng)用類問題中，得出實(shí)際的答案．從整體教學(xué)的角度來看，還要教授學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)學(xué)思想，例如:在學(xué)習(xí)方程部分的相關(guān)知識時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生完成從特殊到一般的概括，引導(dǎo)學(xué)生有目的地層層遞進(jìn)地發(fā)掘問題的本質(zhì)，要教育學(xué)生從學(xué)習(xí)知識到發(fā)掘數(shù)學(xué)思想逐步過渡，形成思想和知識并重的學(xué)習(xí)方式．

3．重視試題的反思與檢驗(yàn)

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題對學(xué)生的邏輯思維能力要求較高，重視試題的反思與檢驗(yàn)?zāi)軌虼龠M(jìn)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題能力．在平時(shí)的練習(xí)中，做完數(shù)學(xué)題后要及時(shí)地反思和檢驗(yàn)，尤其是對解題結(jié)果的檢驗(yàn)?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生發(fā)現(xiàn)自己錯誤的根源，并做好反思工作，對于同一類問題做到觸類旁通．另外，教師平時(shí)的教學(xué)中還要教育學(xué)生注重對生活中遇見的一些事情進(jìn)行生活經(jīng)驗(yàn)的積累，通過加強(qiáng)生活與書本知識之間的聯(lián)系增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心．

［1］梅俊雷．?dāng)?shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)化原則［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014(10)

［2］景敏，陳麗敏，王瑾．2013年中考數(shù)學(xué)試題分類解析－－圖形與幾何［J］．中考指南，2014(1－2)

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