高中數學中一元二次不等式解題技巧及需注意的問題

湖南省湘潭縣第一中學(411100)

譚曉鵬●

高中數學中一元二次不等式解題技巧及需注意的問題

湖南省湘潭縣第一中學(411100)

譚曉鵬●

高中數學中一元二次不等式是重要的學習內容，也是最為基礎的內容，高中生在練習一元二次不等式解題時，應當注重解題技巧的培養(yǎng)，鍛煉自己解題的速度和準確性，能夠在最短的時間內找到解題思路，讓解題成為一種慣性的思維方式，同時要注意解題中容易犯錯的地方，規(guī)避存在的解題陷阱，提高自身的數學修養(yǎng).

高中數學；一元二次不等式；解題技巧

一、不等式在高中數學中的重要意義

一元二次不等式是高中數學教材的必修內容，也是解決其他數學問題的基礎工具，不等式內容的綜合性較強，不等式直接反映了客觀事務的數量關系，是數學理論基礎的重要部分，一元二次不等式是研究高中數學的必備知識，在高中數學內容中占據著重要地位.再者不等式知識和函數、方程及三角函數等有密切的聯系，在研究函數定義域時常用到不等式的概念，在方程組求解中也會遇到不等式求解問題，一元二次不等式常用于判別方程根存在與否，以及空間線線關系、線面關系、面面關系等，同時在概率范圍判別中應用頻率較高，因此一元二次不等式和數學中集合、函數、方程、數列、解析幾何及立體幾何等知識點交叉，因此，一元二次不等式解題對于我們高中生而言至關重要.

二、一元二次不等式解題技巧及注意事項分析

1.不等式和線性規(guī)劃結合

在關于一元二次不等式的高考題目中，和線性規(guī)劃結合的題目較為常見，其考查的內容包含了不等式最值求解、定義域界定、區(qū)間面積計算等，一旦對于不等式和線性性質把握不準確，就會造成解題出現錯誤.例如在例題中，不等式組y≤-x+2；y≥kx+1；x≥0，所表示的區(qū)域面積等于1，求解k的值.這類問題是通過不等式范圍界定來求解不等式中的未知參數，對于這類題目的解答，首先要對不等式組中的定量區(qū)間進行劃分，根據三條直線設計所圍成的三角形示意圖來界定區(qū)域面積.這種問題的解題技巧的關鍵在于準確界定區(qū)域面積，理解題目的幾何意義，同時要從題目要求來反推不等式區(qū)域，從目標函數入手，根據圖形的動態(tài)變化分析來準確定位相關變量，從而求解出題目要求的參數值.

2.觀察推理論證求解不等式

觀察推理論證是求解不等式的技巧之一，利用推理論證可以讓我們更加深入了解不等式中數形結合的解題方法，提高我們對于不等式解題的思維認知.通過觀察和推理能夠掌握不等式推導的過程，由圖象找到一元二次不等式和幾何圖形的銜接點.例如對于高次不等式解題，往往會忽略了特殊區(qū)域以及不等函數升降，這是我們需要注意的解題陷阱，例如

求(x+3)(x-2)(x-4)≤0解集.這個問題的解題思路是建立相應的坐標系，在數軸坐標中標出方程的零點x=-3，2，4，將數軸分為4個區(qū)間范圍，對區(qū)間取值的正負進行標記，最右的第一區(qū)間為正，以后正負相間，從而得出不等式的解集，這種求解方式可以快速得出解題答案，避免陷入繁瑣的計算中.

3.參數不等式和絕對值不等式

含參數的一元二次不等式是常見的題目，對于不等式中的參數要進行分類討論，在不同的參數取值區(qū)間內進行計算，避免漏掉解題結構.例如解關于x的不等式ax2-2x+1>0(a為常數，a∈R).此題要分情況來討論，分別是a=0、a>0和a<0三種情況，同時在a≠0時還要區(qū)分Δ的值.對于絕對值不等式的求解，要采用同解變形的解題方法，對多個絕對值的不等式，一般可用零點分段法求解，但利用實數絕對值的幾何意義求解較便捷，對于最值問題也可以考慮絕對值三角不等式.核心思想是“想方設法”將其轉換成不含絕對值的式子求解.

4.不等式恒成立的解題技巧

對于不等式恒成立的問題，這種題目的考點側重于結合不等式、函數導數求閉區(qū)間上函數的最值并研究函數的單調性.解答此類題型往往采取分離變量或適當變形，或變換主元，或構造函數，再利用函數的單調性或基本不等式進行求解.最值問題常常轉化成利用基本不等式求解，同時在轉化不等式中要注意不等式不等號的方向.

綜上所述，在高中數學一元二次不等式學習中，我們要深入分析每一個題目的解題要求，并根據題目來選擇合適的解題方法，注重不等式中隱藏的條件，將不等式和線性規(guī)劃結合在一起，強化對參數不等式和絕對值不等式題目練習，逐步熟悉這一類問題的解題方法，通過反復練習固化解題技巧，規(guī)避可能出現的解題陷阱，提高解題準確性.

[1]田寶運.不等式問題中的數學思想[J].數理化學習，2014(06)

[2]王禮麗.絕對值不等式的解法綜述[J].數學教育學報，2012(04)

[3]張惠淑.高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究[J].數學教育，2013(18)

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