復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在教學(xué)中的思考

【摘要】導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中的重要概念，不但導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，而且導(dǎo)數(shù)定義在極限計(jì)算、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、證明題等很多方面也占有非常重要的地位。本文從復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則出發(fā)，討論了外函數(shù)y＝f（u）、內(nèi)函數(shù)u＝g（x）以及復(fù)合函數(shù)F（x）＝f［g（x）］三者導(dǎo)數(shù)的存在性問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)連續(xù)

【中圖分類號(hào)】O221.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674－4810（2014）08－0088－02

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用都是微分學(xué)研究的主要問(wèn)題之一。利用導(dǎo)數(shù)我們可以討論函數(shù)的單調(diào)性、連續(xù)性、極值問(wèn)題等。導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)定義本身的應(yīng)用也是一個(gè)比較重要的問(wèn)題。十七與十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們常把自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)與各種不同自然領(lǐng)域（物理、化學(xué)、力學(xué)、技術(shù)）中的研究活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，并由實(shí)際需要提出了許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。歷史上，導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生于以下兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的研究：（1）曲線的切線問(wèn)題，這是一個(gè)非常古老的問(wèn)題，可以追溯到希臘著名的科學(xué)家阿基米德；（2）求非勻速運(yùn)動(dòng)的速度，它最早是由開(kāi)普勒、伽利略、牛頓等提出來(lái)的。具體應(yīng)用背景應(yīng)掌握幾種常見(jiàn)的物理量的描述，即速度，速率包括藥物的反應(yīng)速率、水庫(kù)泄水速率、液體揮發(fā)速率、冰雪融化速率等，所以這些現(xiàn)象均可借助導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫(huà)。

引理1如果u＝g（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，而y＝f（u）在點(diǎn)u0＝g（x0）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y＝f［g（x）］在點(diǎn)x0處

也可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 。

引理1不僅告訴我們?nèi)绻夂瘮?shù)和內(nèi)函數(shù)都可導(dǎo)，則它們的復(fù)合函數(shù)也可導(dǎo)，而且還給出了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，從而使可以求得導(dǎo)數(shù)的函數(shù)范圍得到很大的擴(kuò)充。

本文將從引理1出發(fā)，進(jìn)一步討論外函數(shù)y＝f（u）、內(nèi)函數(shù)u＝g（x）以及復(fù)合函數(shù)F（x）＝f［g（x）］三者的導(dǎo)數(shù)存在性問(wèn)題。

問(wèn)題1：若y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導(dǎo)，u＝g（x）在x0處不可導(dǎo)，則F（x）＝f［g（x）］在x0處是否可導(dǎo)？

解答：有可能可導(dǎo)，也有可能不可導(dǎo)。一方面，我們可以令f（u）＝u2，u＝g（x）＝| x |，但是F（x）＝f［g（x）］＝x2在x＝0處導(dǎo)數(shù)存在。即y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導(dǎo)，u＝g（x）在x0處不可導(dǎo)，則F（x）＝f［g（x）］在x0處可導(dǎo)。另一方面，令f（u）＝u，u＝g（x）＝| x |，則f（u）＝u在u0＝g（0）＝0處可導(dǎo)，u＝g（x）在x0＝0處不可導(dǎo)，且F（x）＝f［g（x）］＝| x |在x0＝0處不可導(dǎo)。

在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上我們繼續(xù)考慮以下問(wèn)題：

問(wèn)題2：若F（x）＝f［g（x）］在x0處可導(dǎo)，外函數(shù)y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導(dǎo)，則內(nèi)函數(shù)u＝g（x）在x0處是否一定可導(dǎo)？

解答：不一定。我們同樣通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。（1）令f（u）＝u2，u＝g（x）＝| x |，F(xiàn)（x）＝f［g（x）］＝x2，顯然，F(xiàn)（x）在x0＝0處可導(dǎo)，y＝f（u）在u0＝g（x0）＝0處可導(dǎo)，但是u＝g（x）在x0＝0處不可導(dǎo)。（2）令f（u）＝u2，u＝g（x）＝x，F(xiàn)（x）＝f［g（x）］＝x2，則F（x）在x0＝0處可導(dǎo)，y＝f（u）在u0＝g（x0）＝0處可導(dǎo)，且u＝g（x）在x0＝0處也可導(dǎo)。

下面的定理將進(jìn)一步回答問(wèn)題2中的問(wèn)題。

定理1，若F（x）＝f［g（x）］在x0處可導(dǎo)，外函數(shù)y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導(dǎo)且f'（u0）≠0，g（x）在點(diǎn)x0

處連續(xù)，則g（x）在點(diǎn)x0處一定可導(dǎo)且 。

證明：因?yàn)間（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，所以 ，

即 ，于是：

證畢。

注：如果沒(méi)有g(shù)（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)這個(gè)條件，定理1中的結(jié)論是不一定成立的，這在問(wèn)題的回答中已經(jīng)說(shuō)明了這一點(diǎn)。

與定理1類似地，我們可以得到以下結(jié)論。

定理2，若F（x）＝f［g（x）］在x0處可導(dǎo)，內(nèi)函數(shù)g（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且g'（x0）≠0則外函數(shù)y＝f（u）在u0

＝g（x0）處可導(dǎo)且 。

證明：由g'（x0）存在，有 。

再由F（x）＝f［g（x）］在x0處可導(dǎo)知，

＝F'（x0）。

則：證畢。

參考文獻(xiàn)

［1］陳傳璋、金福臨、朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2002

［2］歐陽(yáng)光中、姚允龍、周淵.數(shù)學(xué)分析［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003

［3］賀自樹(shù)、劉學(xué)文、杜昌友等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課選講［M］.重慶：重慶大學(xué)出版社，2007

〔責(zé)任編輯：李錦雯〕