由數(shù)系的發(fā)展淺談其與數(shù)學(xué)各分支的聯(lián)系

皮慶華

摘要：在高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)史具有很重要的意義。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法、意義，明確數(shù)學(xué)各個學(xué)科之間的聯(lián)系，進而更好的進行相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。本文僅就筆者在數(shù)學(xué)史教學(xué)中的若干經(jīng)驗，以數(shù)系的發(fā)展為出發(fā)點，淺談其與數(shù)學(xué)其他課程的若干聯(lián)系。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)史；有理數(shù)；無理數(shù)；數(shù)系的完備化

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一、有理數(shù)和無理數(shù)

自然數(shù)及相應(yīng)的加法運算，在公元前三千多年的古巴比倫文明和古埃及文明中就已經(jīng)出現(xiàn)。但直到公元前600年到公元前300年的古希臘時期，數(shù)學(xué)才正式作為一個學(xué)科登上歷史舞臺。

古希臘人研究自然數(shù)的比值，即可公度比，產(chǎn)生了有理數(shù)的概念。而不可公度比，即所謂無理數(shù)，是由畢達哥拉斯學(xué)派的希帕索斯（Hippasus），在公元前5世紀(jì)發(fā)現(xiàn)并證明的。這個證明可以很容易的借助于勾股定理給出：

由上述證明 是不可公度比的過程，我們可以看到數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)密性。

二、無理數(shù)的不同認(rèn)知方式

當(dāng)進行充分大的步驟的時候，誤差就可以充分的小（極限中的 語言）。

另外一種是借助于幾何進行等價認(rèn)知。在數(shù)軸上取長度為1的區(qū)間，固定一個頂點，將另外一個頂點旋轉(zhuǎn)90度。連接旋轉(zhuǎn)前后的兩個點，構(gòu)成一個等腰直角三角形。之后將斜邊旋轉(zhuǎn)回數(shù)軸。由此我們可以得到 。

以上兩種方法，反應(yīng)了當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的兩種思想。一種思想是，通過分析的方法，借助于已有的理論，對未知的問題進行某種程度的估算；另外一種思想是，將問題轉(zhuǎn)化至某種良序的代數(shù)或幾何對象，借助該對象的性質(zhì)來認(rèn)知原始問題。例如，為了描述素數(shù)在自然數(shù)中的分布情況，由Gauss做了猜想，然后由1896年數(shù)學(xué)家哈達瑪（Hadamard）和普森（de la Vallée-Poussin）分別獨立證明的素數(shù)定理，即是將素數(shù)在自然數(shù)中的分布情況，描述為如上形式的漸近公式。

另外一個例子是費馬大定理的證明。德國數(shù)學(xué)家費馬（Fermat）在1673年提出如下的猜想當(dāng)整數(shù)n >2時，關(guān)于x， y， z的方程 沒有正整數(shù)解。這個猜想最終由懷爾斯（Wiles）于1996年證明。懷爾斯證明該猜想的思路是，將原來的算數(shù)問題，通過某種情況下的谷山─志村─韋伊定理，轉(zhuǎn)化為橢圓模函數(shù)的某類等價命題，才給出了證明。

三、數(shù)系和群論

對于有理數(shù)域 的進一步擴展，聯(lián)系到代數(shù)多項式的解。將代數(shù)多項式的解添加入有理數(shù)中，按照域的定義，構(gòu)成新的域，是為有理數(shù)域的代數(shù)擴張。

由此，如上所述，從數(shù)系的發(fā)展到有理數(shù)域的擴張，其牽扯到了近代數(shù)學(xué)的一門高度抽象的學(xué)科——抽象代數(shù)。古典數(shù)學(xué)的一些問題，如尺規(guī)作圖法能否三等分任意角、尺規(guī)作圖法能否得到任意正多邊形等問題，都是由抽象代數(shù)的理論來得到其結(jié)果的。

四、數(shù)系的完備化

我們從另一個角度來看有理數(shù)域——考慮有理數(shù)的完備化。我們知道，有理數(shù)與無理數(shù)一起，構(gòu)成了實數(shù)。實數(shù)在整個數(shù)軸上是連續(xù)的，我們可以在實數(shù)上引入絕對值的概念。

在該度量下， 是泛函分析中所定義的賦范線性空間。其對應(yīng)該度量（或者范數(shù)）的完備化空間（Banach空間），恰是整個實數(shù)域 。由此，可以將實數(shù)系 描述為有理數(shù)域 在賦值 下的完備化空間。

我們記 為有理數(shù)域 在如上p-進位賦值下的完備化?？梢宰C明，對不同的素數(shù) ， 是有理數(shù)域上的不等價的賦值；加上對應(yīng)的絕對值 ，就構(gòu)成了有理數(shù)域所有的不等價的賦值。

如同實數(shù)域 ，我們同樣可以對完備化后的 上定義拓?fù)?、函?shù)，建立Fourier變換等分析工具。某些有理數(shù)上的算數(shù)問題，即可以通過等價變化，轉(zhuǎn)化到完備化后的 及 上的問題，然后使用建立的分析工具進而求解。

結(jié)束語：從自然數(shù)出發(fā)，到有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)。數(shù)系的發(fā)展與數(shù)學(xué)的各個分支，如分析、代數(shù)、拓?fù)?、泛函等，均有深刻的?lián)系。希望借助于此問題的闡述，能夠?qū)Ω咝?shù)學(xué)史的教學(xué)有所啟發(fā)。