導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

蔡圣兵

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定數(shù)列的最大（?。╉?/p>

例1 已知數(shù)列[{an}]的通項[an=75n-5n214]，[n∈N?]，求使數(shù)列[{an}]取最大值時[n]的值.

解析 構(gòu)造函數(shù)[f（x）=75x-5x214（x>0）]，

則[f（x）=75-10x14].

當(dāng)[00]；

當(dāng)[x>7.5]時，[f（x）<0].

即函數(shù)[f（x）]在[（0，7.5）]上是增函數(shù)，在[（7.5，+∞）]上是減函數(shù)，

故當(dāng)[x=7.5]時，函數(shù)取得最大值.

當(dāng)[n∈N?]時，[f（n）=75n-5n214]，且[f（7）=f（8）]，

因此當(dāng)[n=7， 或8]時，數(shù)列[{an}]取得最大值.

變式 已知數(shù)列[{an}]的通項[an=8n2-n3]，[n∈N?]，求數(shù)列[{an}]的最大值及[n]的值. （答案：[a5=75]）

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的增減性

例2 已知函數(shù)[f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a]，a為常數(shù).

（1）設(shè)實數(shù)[p，q，r]滿足：[p，q，r]中的某一個數(shù)恰好等于a，且另兩個恰為方程[f（x）=0]的兩實根，判斷：①[p+q+r]，②[p2+q2+r2]，③[p3+q3+r3]是否為定值？若是定值，請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)[g（a）]，并求[g（a）]的最小值.

（2）對于（1）中的[g（a）]，設(shè)[H（a）=-16[g（a）-27]]，數(shù)列[{an}]滿足[an+1=H（an）， n∈N*]，且[a1∈（0，1）]，試判斷[an+1]與[an]的大小，并證明之.

解析 （1）由[Δ=（a-3）2-4（a2-3a）≥0]得，

[-1≤a≤3].

不妨設(shè)[a=p]，則q，r恰為方程的兩根.

由韋達定理得，

[q+r=3-a，qr=a2-3a.]

[∴p+q+r=3.] ①

[p2+q2+r2=a2+（q+r）2-2qr=a2+（3-a）2-2（a2-3a）=9. ②]

而[p3+q3+r3=p3+（q3+r3）=a3+[（q+r）2-3qr]（q+r）]

[=3a3-9a2+27]. ③

則[g（a）=3a3-9a2+27]，

求導(dǎo)得，[g（a）=9a2-18a=9a（a-2）.]

當(dāng)[a∈[2，3]]時，[g（a）≥0，][g（a）]遞增；

當(dāng)[a∈[0，2）]時，[g（a）<0，][g（a）]遞減；

當(dāng)[a∈[-1，0）]時，[g（a）≥0，][g（a）]遞增.

[∴g（a）]在[[-1，3]]上的最小值為

[min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15.]

（2）由（1）得，[H（a）=-16[g（a）-27]=-12（a3-3a2）.]

如果[a∈（0，1）]，

則[H（a）=3a-32a2=3a（1-a2）>0.]

[∴H（a）]在[（0，1）]上為遞增函數(shù).

[∴H（a）∈（H（0），H（1））=（0，1）.]

[∵an+1=H（an）=-12（an3-3an2），]

[∴a1∈（0，1）?a2∈（0，1）?…?an∈（0，1）.]

又[∵an+1-an=-12an3+32an2-an]

[=-12an（an-2）（an-1）<0]，

[∴an+1

變式 已知數(shù)列[an]滿足[a1=2，]前[n]項和為[Sn]，[an+1=pan+n-1，n為奇數(shù)，-an-2n， n為偶數(shù).]

（1）若數(shù)列[bn]滿足[bn=a2n+a2n+1，n≥1]，試求數(shù)列[bn]前[n]項和[Tn]；

（2）若數(shù)列[cn]滿足[cn=a2n]，試判斷[cn]是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（3）當(dāng)[p=12]時，若數(shù)列{[dn]}滿足[dn=（S2n+1-10）c2n]，問是否存在[n∈N*]，使得[dn=1]，若存在，求出所有的[n]的值；若不存在，請說明理由.

（答案：（1）[Tn=-2n2-2n].

（2）當(dāng)[p=12]時，數(shù)列[cn]成等比數(shù)列；當(dāng)[p≠12]時，數(shù)列[cn]不為等比數(shù)列.

（3）存在唯一的[n=3]，使得[dn=1]成立.）

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列求和問題

例3 求[1+2x+3x2+…+nxn-1].

解析 （1）當(dāng)[x=1]時，

[Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=1+2+3+…+n=12n（n+1）.]

（2）當(dāng)[x≠1]時，

由于[（xk）=kxk-1， k=1，2，…，n]，

于是構(gòu)造函數(shù)[f（x）=1+x+x2+…+xn]，

則[f（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1].

又[1+x+x2+…+xn=1-xn+11-x]，

等式兩邊對[x]求導(dǎo)，我們可以得到，

[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].

綜上可得，當(dāng)[x=1]時，[Sn=12n（n+1）]；

當(dāng)[x≠1]時，[Sn=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].

變式 求[1+22x+32x2+…+n2xn-1].

（答案：[1+x-（n+1）2xn+（2n2+2n-1）xn+1-n2xn+2（1-x）3]）

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式

例4 已知數(shù)列{[an]}的各項都是正數(shù)，且滿足[a0=1，an+1=12an（4-an），][n∈N]，證明：[an

證明 構(gòu)造函數(shù)[f（x）=12x（4-x），]

則[f（x）=12x（4-x）=-12（x-2）2+2≤2].

于是[an+1=12an（4-an）≤2，]但等號不能?。ㄈ绻〉忍?，則[an+1=an=2]，與[a0=1]矛盾）.

因此[an+1<2].

又[f（x）=-x+2，]

當(dāng)[x<2]時，[f（x）=-x+2>0]，

即[f（x）]在[（0，2）]上是增函數(shù)，

于是[an+1=f（x）>an=f（x-1）].

綜上所述，[an

變式 已知數(shù)列{[an]}滿足[2an+1=-a3n+3an，n∈N?]，且[a1∈（0，1）]，求證：[0

（答案：構(gòu)造函數(shù)[f（x）=-12x3+32x]，可以求得，[f（x）=][-32（x-1）（x+1）]，于是[f（x）]在[（0，1）]上是增函數(shù)，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.）