導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

王朝璇

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

在某個(gè)區(qū)間[a，b]上，如果[fx>0]，那么函數(shù)[y=fx]在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；如果[fx<0]，那么函數(shù)[y=fx]在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

例1 已知[f（x）=ax-lnx+2x-1x2，a∈R].

（1）討論[f（x）]的單調(diào)性；

（2）當(dāng)[a=1]時(shí)，證明：[f（x）>fx+32]對(duì)任意的[x∈1，2]成立.

解析 （1）先求[f（x）]的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)[a]進(jìn)行分類(lèi)討論，得到[f（x）]的單調(diào)區(qū)間.

由題意得，[fx的定義域?yàn)?，+∞]，

[fx=ax2-2x-1x3.]

[當(dāng)a≤0，x∈0，1時(shí)，fx>0， fx單調(diào)遞增；x∈1，+∞時(shí)，fx<0， fx單調(diào)遞減.]

[當(dāng)a>0時(shí)，fx=ax-1x3x+2ax-2a，]

①[01]時(shí)，

當(dāng)[x∈（0，1）]，或[x∈][（2a，+∞）]時(shí)，[f（x）>0]，[f（x）]單調(diào)遞增；

當(dāng)[x∈][（1，2a）]時(shí)，[f（x）<0]，[f（x）]單調(diào)遞減.

②[a=2]時(shí)，[2a=1]，當(dāng)[x∈][（0，+∞）]時(shí)，[f（x）≥0，][f（x）]單調(diào)遞增.

③[a>2]，[0<2a<1]時(shí)，

[當(dāng)x∈0，2a]，[或x∈1，+∞時(shí)，fx>0， fx]單調(diào)遞增；

當(dāng)[x∈][（2a，1）]時(shí)，[f（x）<0]，[f（x）]單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)[a≤0]時(shí)，函數(shù)[f（x）]在[（0，1）]上單調(diào)遞增，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減；當(dāng)[02]時(shí)，[f（x）]在[（0，2a）]上單調(diào)遞增，在[（2a，1）]上單調(diào)遞減，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

（2）要證[f（x）>fx+32]對(duì)任意的[x∈1，2]成立，即證[f（x）-f（x）>32]，根據(jù)單調(diào)性予以證明.

由（1）知，[a=1時(shí)，]

[f（x）-f（x）=x-lnx+2x-1x2-（1-1x-2x2+2x3）]

[=x-lnx+3x+1x2-2x3-1]，[x∈[1，2]].

令[g（x）=x-lnx，h（x）=3x+1x2-2x3-1]，[x∈[1，2]].

則[f（x）-f（x）=g（x）+h（x）].

由[g（x）=x-1x≥0]可得，[g（x）≥g（1）=1]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時(shí)取得等號(hào).

又[h（x）=-3x2-2x+6x4]，

設(shè)[φ（x）=-3x2-2x+6]，

則[φ（x）]在[x∈][[1，2]]上單調(diào)遞減.

因?yàn)閇φ（1）=1，φ（2）=-10].

所以在[[1，2]]上存在[x0]使得[x∈（1，x0）] 時(shí)，[φ（x）>0； ][x∈（x0，2）]時(shí)，[φ（x）<0].

所以函數(shù)[h（x）]在[（1，x0）]上單調(diào)遞增；在[（x0，2）]上單調(diào)遞減.

由于[h（1）=1，h（2）=12]，

因此[h（x）≥h（2）=12，]當(dāng)且僅當(dāng)[x=2]取得等號(hào).

所以[f（x）-f（x）>g（1）+h（2）=32].

即[f（x）>f（x）+32]對(duì)任意的[x∈[1，2]]恒成立.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于（1），在討論[f（x）]的符號(hào)時(shí)，要能夠正確地分解因式，對(duì)[a]的討論要全面，不要忽視[a=0]時(shí)的情況. 對(duì)于（2），不等式的證明往往可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題解決.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

注意：函數(shù)的最值是個(gè)“整體”概念，而極值是個(gè)“局部”概念.

例2 （1）討論函數(shù)[f（x）=x-2x+2?ex]的單調(diào)性，并證明當(dāng)[x>0]時(shí)，[（x-2）ex+x+2>0]；

（2）證明：當(dāng)[a∈[0，1）]時(shí)，函數(shù)[g（x）=ex-ax-ax2，][x>0]有最小值. 設(shè)[g（x）]的最小值為[h（a）]，求函數(shù)[h（a）]的值域.

解析 （1）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式.

由題意得，[f（x）]的定義域?yàn)閇（-∞，-2）?（-2，+∞）].

則[f（x）=（x-1）（x+2）ex-（x-2）ex（x+2）2=x2ex（x+2）2≥0，]當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]時(shí)，[f（x）=0].

所以[f（x）]在[（-∞，-2），（-2，+∞）]上單調(diào)遞增.

因此當(dāng)[x∈（0，+∞）]時(shí)，[f（x）>f（0）=-1.]

所以[（x-2）ex>-（x+2），即（x-2）ex+x+2>0].

（2）先根據(jù)題意求出函數(shù)的[g（x）]最小值[h（a）]，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)[h（a）]的值域.

由題意得，[g（x）=（x-2）ex+a（x+2）x2=x+2x2[f（x）+a].]

由（1）知，[f（x）+a]單調(diào)遞增，對(duì)任意[a∈[0，1）， f（0）+a=a-1<0， f（2）+a=a≥0.]

因此，存在唯一[x0∈（0，2]，]使得[f（x0）+a=0，]即[g（x0）=0].

當(dāng)[0

當(dāng)[x>x0]時(shí)，[f（x）+a>0，g（x）>0，g（x）]單調(diào)遞增.

因此[g（x）]在[x=x0]處取得最小值，最小值為

[g（x0）=ex0-a（x0+1）x02=ex0+f（x0）（x0+1）x02=ex0x0+2.]

于是[h（a）=ex0x0+2].

由[（exx+2）=（x+1）ex（x+2）2>0知， exx+2]單調(diào)遞增.

由[x0∈（0，2]]得，

[12=e00+2

因?yàn)閇exx+2]單調(diào)遞增，對(duì)任意[λ∈（12，e24]，]存在唯一的[x0∈（0，2]，][a=-f（x0）∈[0，1）]使得[h（a）=λ，]

所以[h（a）]的值域是[（12，e24].]

綜上所述，當(dāng)[a∈[0，1）]時(shí)，[g（x）]有最小值[h（a）]，[h（a）]的值域是[（12，e24].]

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于（1），當(dāng)[x∈（0，+∞）]時(shí)，先判斷[f（x）]的單調(diào)性，再利用[f（x）>f（0）]證明結(jié)論. 對(duì)于（2），用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)[g（x）]的最值的過(guò)程中，構(gòu)造新函數(shù)[h（a）=ex0x0+2]，然后進(jìn)行討論求解，求解的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用. 另外，注意將[g（x）]符號(hào)的判斷靈活地轉(zhuǎn)化為對(duì)[f（x）+a]符號(hào)的判斷.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

這一節(jié)的主要內(nèi)容有：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及函數(shù)零點(diǎn)的綜合運(yùn)用問(wèn)題.

例3 已知函數(shù)[fx=x-2ex+ax-12]有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求[a]的取值范圍；

（2）設(shè)[x1，x2]是[fx]的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：[x1+x2<2].

解析 （1）由函數(shù)[fx=x-2ex+ax-12]有兩個(gè)零點(diǎn)，得到關(guān)于[a]的不等式，然后求解.

由題意得，[f（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.]

①設(shè)[a=0]，則[f（x）=（x-2）ex]，[f（x）]只有一個(gè)零點(diǎn).

②設(shè)[a>0]，則當(dāng)[x∈（-∞，1）]時(shí)，[f（x）<0]；當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[f（x）>0].

所以[f（x）]在[（-∞，1）]上單調(diào)遞減，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

又[f（1）=-e]，[f（2）=a]，取[b]滿足[b<0]，且[b

則[f（b）>a2（b-2）+a（b-1）2=a（b2-32b）>0].

故[f（x）]存在兩個(gè)零點(diǎn).

③設(shè)[a<0]，由[f（x）=0]得，[x=1]或[x=ln（-2a）].

若[a≥-e2]，則[ln（-2a）≤1]，故當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[f（x）>0]，

因此[f（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

又當(dāng)[x≤1]時(shí)，[f（x）<0]，

所以[f（x）]不存在兩個(gè)零點(diǎn).

若[a<-e2]，則[ln（-2a）>1].

故當(dāng)[x∈（1，ln（-2a））]時(shí)，[f（x）<0]；

當(dāng)[x∈（ln（-2a），+∞）]時(shí)，[f（x）>0].

因此[f（x）]在[（1，ln（-2a））]單調(diào)遞減，在[（ln（-2a），+∞）]單調(diào)遞增.

又當(dāng)[x≤1]時(shí)，[f（x）<0]，所以[f（x）]不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，[a]的取值范圍為[（0，+∞）].

（2）不妨設(shè)[x1

所以[x1+x2<2]等價(jià)于[f（x 1）>f（2-x2）]，

又[x1]是[f（x）]的零點(diǎn)，

故只需證[f（2-x2）<0].

由于[f（2-x2）=-x2e2-x2+a（x2-1）2]，

又[f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0]，

所以[f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2].

設(shè)[g（x）=-xe2-x-（x-2）ex]，

則[g（x）=（x-1）（e2-x-ex）].

所以當(dāng)[x>1]時(shí)，[g（x）<0]，[g（x）]單調(diào)遞減.

而[g（1）=0]，

故當(dāng)[x>1]時(shí)，[g（x）<0].

從而[g（x2）=f（2-x2）<0]，故[x1+x2<2].

點(diǎn)評(píng) 討論零點(diǎn)時(shí)一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程（或不等式）組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一. 在解題的過(guò)程中，通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，要注意分類(lèi)討論的原則：互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn). 解決函數(shù)不等式的證明問(wèn)題的思路：構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.