導(dǎo)數(shù)中涉及“ex，lnx”的幾種模型

黃旭東

在歷年的導(dǎo)數(shù)考題中，常涉及[ex，lnx]等指、對(duì)數(shù)形式. 在求導(dǎo)運(yùn)算過(guò)程中，出現(xiàn)[ex]與含[x]多項(xiàng)式或[lnx]與含[x]多項(xiàng)式混雜情形，導(dǎo)致后續(xù)討論的復(fù)雜化. 筆者經(jīng)仔細(xì)研究近幾年全國(guó)卷試題，發(fā)現(xiàn)此類問(wèn)題可通過(guò)化歸變成幾種模型，再求解. 現(xiàn)整理如下，供參考.

[g（x）+h（x）ex或g（x）+h（x）e-x]化歸成[f（x）ex或f（x）e-x]

例1 已知函數(shù)[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2]有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析 由函數(shù)有兩零點(diǎn)，且顯然[x=1]不為零點(diǎn)得，即[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0]，則有[（x-2）ex（x-1）2=-a].

記[]，

則[g（x）=（x-1）3ex-2（x-1）（x-2）ex（x-1）4=（x-2）2+1ex（x-1）3].

則[x∈1，+∞， g（x）>0， g（x）]為增函數(shù)；

[x∈-∞，1， g（x）<0， g（x）]為減函數(shù).

且[x→1， g（x）→-∞； x→-∞， g（x）→0].

由[x<2，g（x）<0]作圖：[y=g（x）與y=-a.]

又直線[y=-a]與函數(shù)[y=g（x）]有兩交點(diǎn)，

故[-a<0，即a>0.]

點(diǎn)評(píng) 此題的官方標(biāo)準(zhǔn)答案是直接求導(dǎo)進(jìn)行討論，討論過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜；而本題通過(guò)轉(zhuǎn)換函數(shù)的形式，化歸成[f（x）ex]型的函數(shù)，則變得相當(dāng)簡(jiǎn)潔. 一般地，由于[f（x）ex′=f（x）+f（x）ex]，[f（x）e-x′=f（x）-f（x）e-x]，其中[f（x）]為多項(xiàng)式函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)脫離了多項(xiàng)式與[ex， e-x]的糾纏，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，涉及此類問(wèn)題的恒成立、存在性問(wèn)題與零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成此種形式，不失為一種有效方法.

[h（x）+g（x）lnf（x）]化歸成[lnf（x）+k（x）]

例2 已知函數(shù)[f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）].

（1）當(dāng)[a=4]時(shí)，求曲線[y=f（x）在1，f（1）]處的切線方程；

（2）當(dāng)[x∈1，+∞]時(shí)，[f（x）>0]，求[a]的取值范圍.

解析 （1）略.

（2）由[f（x）>0]得，

[（x+1）lnx-a（x-1）>0?lnx-a（x-1）x+1>0，x>1].

記[g（x）=lnx-a（x-1）x+1>0，x∈1，+∞]，

故只需[g（x）>0.]

則[g（x）=1x-2ax+12=x2+21-ax+1xx+12]

[=x-a-12+2a-a2xx+12，x∈1，+∞].

記[h（x）=x-a-12+2a-a2].

①當(dāng)[a≤2]時(shí)，

則[a-1≤1，h（x）為增函數(shù).]

[則g（x）=h（x）xx+12≥h（1）xx+12=4-2axx+12≥0].

故[g（x）]在[（1，+∞）]上為增函數(shù)，則[g（x）>g（1）=0].

故[lnx-a（x-1）x+1>0]成立.

②當(dāng)[a>2]時(shí)，

[g（x）=x2+21-ax+1xx+12=x-a-1+a2-2a?x-a-1-a2-2axx+12.]

又[a-1-a2-2a=1a-1+a2-2a<12-1+0=1，]

[a-1+a2-2a>1]，

則[x∈1，a-1+a2-2a，g（x）<0.]

[則g（x）g（1）=0]恒成立相矛盾.

綜上所述，[a∈-∞，2， f（x）>0].

點(diǎn)評(píng) 對(duì)形如[h（x）+g（x）lnf（x）]結(jié)構(gòu)的函數(shù)（其中[h（x），g（x），f（x）]為多項(xiàng)式函數(shù)），由于求導(dǎo)過(guò)程中[lnx]與多項(xiàng)式函數(shù)不能分開(kāi)，特別是含參數(shù)時(shí)，問(wèn)題的討論將變得十分復(fù)雜. 而除以[g（x）]化歸成“[lnf（x）+k（x）]”型后，由[lnf（x）+k（x）′=f（x）f（x）+k（x）]，則其導(dǎo)數(shù)只含多項(xiàng)式函數(shù)，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算！

“[ex+g（x）lnf（x）]”混合型，指對(duì)數(shù)分離最值化歸

例3 設(shè)函數(shù)[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲線[y=f（x）]在點(diǎn)（1，[f（1）]）處的切線為[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）證明：[f（x）>1].

解析 （1）[a=1，b=2]（過(guò)程略）.

（2）[f（x）=exlnx+2ex>1]

[?xlnx+2e>xe-x，][x∈0，+∞.]

記[g（x）=xlnx+2e，x>0，]

則[g（x）=1+lnx，x>0.]

故[x∈0，1e，g（x）<0，g（x）為減函數(shù)；]

[x∈1e，+∞，g（x）>0，g（x）]為增函數(shù).

故[g（x）min=g1e=1e].

又記[h（x）=xe-x，x>0]，

則[h（x）=1-xe-x，x>0].

故[x∈0，1，h（x）>0，h（x）為增函數(shù)；]

[x∈1，+∞，h（x）<0，h（x）]為減函數(shù).

則[h（x）max=h（1）=1e].

[∴g（x）≥h（x）]，即[xlnx+2e≥xe-x].

又由于[g（x）與h（x）]的最值點(diǎn)不在同一點(diǎn)取得，故等號(hào)不成立，即[xlnx+2e>xe-x]，故[f（x）>1].

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于形如[ex+g（x）lnf（x）]的函數(shù)，求導(dǎo)后會(huì)出現(xiàn)[ex，lnf（x）]混合交叉的形式，給我們討論函數(shù)的單調(diào)性制造障礙. 在求恒成立題目時(shí)，可將指、對(duì)數(shù)分離，化成一邊為指數(shù)，一邊為對(duì)數(shù)，再利用[g（x）≤f（x）]恒成立[?g（x）max≤f（x）min]來(lái)操作. 此種方法對(duì)一些結(jié)構(gòu)混雜形的試題效果較好，其本質(zhì)是放縮確界比較法，由于兩邊自變量[x]的一致性，放縮尺度不好控制，故此法只針對(duì)混雜形結(jié)構(gòu)的復(fù)雜函數(shù)，一般函數(shù)不要輕易運(yùn)用.

[練習(xí)]

1. 已知函數(shù)[f（x）]=[x2+ax+b]，[g（x）]=[ex（cx+d）]，若曲線[y=f（x）]和曲線[y=g（x）]都過(guò)點(diǎn)[P（0，2）]，且在點(diǎn)[P]處有相同的切線[y=4x+2].

（1）求[a]，[b]，[c]，[d]的值

（2）若[x]≥-2時(shí)，[f（x）]≤[kg（x）]，求[k]的取值范圍.

2. 已知[f（x）=a（x-1）lnx+1， a∈R].

（1）討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性；

（2）若[x∈1，+∞，f（x）>x-alnx]恒成立，求[a]的范圍.

3. 求證：[x∈0，+∞]時(shí)，[ex-x-lnxx-12>0.]

[參考答案]

1. （1）[a]=4，[b]=2，[c]=2，[d]=2 （2）[k∈1，e2]

2. （1）略 （2）[a∈1，+∞]

3. 略