定積分學習指南

古鸝　王建

概念學習，重在體會思想

此環(huán)節(jié)重在體會極限思想，了解概念形成、定理推導的過程. 定積分的核心思想是極限思想，受知識儲備和理解能力的限制，我們不可能對它理解得很深刻，也幾乎不可能用積分定義去求曲邊圖形的面積，也不太可能去掌握微積分基本定理的證明. 但是，我們可以去體會“以直代曲”“分割”的微元思想以及“無限趨近”的極限思想. 這些思想將是我們到大學進一步深造所必需的知識. 因此，我們可以在一個相對輕松的心態(tài)下，體會其深意.

定理學習，重在計算運用

雖說是了解概念，體會思想，但重點還是如何求定積分. 下面就幾種基本題型總結一下方法和技巧.

1. 根據(jù)微積分基本定理求解定積分

點評 在求定積分時，要注意積分變量是誰，不能張冠李戴. 同學們在做第（2）問時常把它誤當作第（1）問來做，這是要注意的.

點評 用微積分基本定理是求定積分的主要方法，我們要重點掌握. 這個方法的關鍵是要找出函數(shù)[f（x）]的原函數(shù)[F（x）]，找原函數(shù)時注意運用逆向思維. 同學們要把幾種常見函數(shù)的原函數(shù)記住，見下表.

2. 根據(jù)幾何意義求解定積分

例3 求定積分：（1）[011-x2dx]，（2）[-223-34x2dx.]

解析 （1）[011-x2dx]表示單位圓[x2+y2=1]在第一象限內(nèi)的部分與[x]軸、[y]軸所圍成的區(qū)域面積，也就是圓的四分之一，所以[011-x2dx]=[π4].

（2）[-223-34x2dx]=[32-224-x2dx]，

而[-224-x2dx]表示圓[x2+y2=4]在[x]軸上的上半部分，

所以[-223-34x2dx]=[32×12×4π]=[3π].（用此種方法還可以求橢圓的面積，同學們不妨試一試.）

點評 當被積函數(shù)的原函數(shù)不容易找到時，不妨審視一下它的幾何意義，有時問題就能迎刃而解.

3. “變形”法解“三角函數(shù)”型定積分

例4 求定積分：[0π4cos2xdx].

解析 [0π4cos2xdx]=[0π41+cos2x2dx]

=[（x2+14sin2x）π40]=[π+28].

點評 當被積函數(shù)的原函數(shù)不容易找到，也沒有明顯的幾何意義時，不妨將函數(shù)解析式變形成容易找出原函數(shù)的形式（主要針對被積函數(shù)為三角函數(shù)）.

4. 運用奇偶性求定積分

例5 求定積分：（1）[-22xdx]，（2）[-222x-12x+1dx].

解析 （1） [-22xdx=202xdx=2×（12x220）=4].

（2）因為函數(shù)[f（x）=2x-12x+1]為奇函數(shù)，

所以[-222x-12x+1dx]=0.

點評 當積分區(qū)間關于原點對稱時，同學們不妨考慮一下被積函數(shù)的奇偶性，奇函數(shù)在區(qū)間[-a，a]上的積分為零，偶函數(shù)在區(qū)間[-a，a]上的積分為在區(qū)間[0，a]上的積分的兩倍.

5. 用定積分求曲邊圖形的面積

例6 求由曲線[y=x]，[y=2-x]，[y=-13x]所圍成的區(qū)域面積.

解析 畫出圖形（如下圖）.