一種確定斜齒輪傳遞誤差和嚙合剛度的快速有效方法

常樂(lè)浩，賀朝霞，劉 嵐，劉清濤

(1. 長(zhǎng)安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710064；2. 西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

一種確定斜齒輪傳遞誤差和嚙合剛度的快速有效方法

常樂(lè)浩1，賀朝霞1，劉 嵐2，劉清濤1

(1. 長(zhǎng)安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710064；2. 西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

基于Smith切片法理論，提出了一種快速計(jì)算斜齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度的改進(jìn)方法。該模型將斜齒輪沿齒寬方向劃分為一系列相互獨(dú)立的薄直齒輪，考慮單個(gè)切片的彎曲-剪切變形、局部接觸變形及輪體結(jié)構(gòu)變形，通過(guò)各切片間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系建立斜齒輪非線性承載接觸模型，進(jìn)而得到齒面載荷分布、傳遞誤差和嚙合剛度等信息。該方法較Smith切片法增加了時(shí)變單齒剛度、接觸變形非線性效應(yīng)以及輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，提高了模型的計(jì)算精度和適用性。該模型的計(jì)算精度與有限元方法相當(dāng)，但具有更高的計(jì)算效率，更適合于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲的快速預(yù)測(cè)。

斜齒輪；傳遞誤差；嚙合剛度；切片法

齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度都是引起齒輪裝置振動(dòng)主要的激勵(lì)因素，是進(jìn)行齒輪系統(tǒng)振動(dòng)分析首要開(kāi)展的研究工作。傳遞誤差的組成要素大致可歸為變形和誤差兩大類(lèi)。對(duì)于無(wú)誤差和無(wú)修形的齒輪，傳遞誤差僅與齒輪彈性變形大小相關(guān)，所以傳遞誤差和嚙合剛度經(jīng)常被放在一起研究。

齒輪傳遞誤差和嚙合剛度的早期研究主要針對(duì)理想齒輪采用解析法求得，代表方法有材料力學(xué)方法[1]和彈性力學(xué)方法[2]，側(cè)重于計(jì)算輪齒的變形。這兩類(lèi)方法能較準(zhǔn)確地計(jì)算直齒輪的變形，但對(duì)三維接觸的斜齒輪副就有失準(zhǔn)確性，且無(wú)法包含輪齒誤差的影響。CHEN等[3]利用基于彈性力學(xué)的勢(shì)能法計(jì)算齒輪副的各類(lèi)變形，增加了輪齒誤差對(duì)直齒輪傳遞誤差的影響。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，三維有限元法(FEM)得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，代表有承載接觸分析方法[4-5]和接觸有限元法[6-7]。有限元法能夠考慮斜齒輪變形的三維效應(yīng)，且能夠計(jì)入齒面誤差、修形和嚙合錯(cuò)位量等多種因素對(duì)傳遞誤差的影響，但存在計(jì)算效率低、計(jì)算穩(wěn)定性差等缺點(diǎn)。雖然目前研究中出現(xiàn)了有限元法和彈性接觸理論相結(jié)合的混合模型來(lái)彌補(bǔ)常規(guī)有限元法的不足[8-9]，但仍需要建立完整的齒輪有限元模型，整體過(guò)程仍較繁瑣。

為了能夠解決斜齒輪傳遞誤差的計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)避免耗時(shí)的有限元計(jì)算，以SMITH等[10-12]為代表的學(xué)者們提出了切片法理論。它的基本思想是將斜齒輪劃分為一定數(shù)量且不考慮相互之間作用的等厚度切片(薄板)，這樣斜齒輪副就轉(zhuǎn)換為一系列相互獨(dú)立的具有一定相位差的薄直齒輪，如圖1所示。每個(gè)薄直齒輪與斜齒輪具有相同的端面齒廓，其剛度通過(guò)ISO標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算。當(dāng)給定外力后，根據(jù)不同切片之間的變形和載荷平衡關(guān)系，即可計(jì)算出不同切片間的載荷分布和齒輪副傳遞誤差。

然而，SMITH等的計(jì)算模型中主要存在以下三個(gè)缺點(diǎn)：①忽略了輪齒變形從齒頂?shù)烬X根的差異性；②未計(jì)入輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)齒輪變形的影響；③未考慮接觸變形隨載荷的非線性變化特點(diǎn)。這將導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定誤差，并使其通用性受到限制。

圖1 斜齒輪切片模型Fig.1 Thin slice model of a helical gear

本文針對(duì)Smith切片法的上述不足，增加時(shí)變單齒剛度、輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)以及接觸非線性效應(yīng)的影響，提出了計(jì)算斜齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度的改進(jìn)切片方法。通過(guò)求解非線性接觸方程可得到齒面載荷分布、傳遞誤差和嚙合剛度等信息，并與有限元方法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 Smith切片法簡(jiǎn)介

1.1 切片劃分及接觸點(diǎn)布置

圖2 嚙合面切片劃分與接觸點(diǎn)布置Fig.2 Thin slices and contact points on plane of action

圖2為斜齒輪嚙合面上的切片劃分與接觸點(diǎn)布置示意圖。切片沿齒寬方向均勻分布，具有相同的厚度b。在同一個(gè)嚙合位置時(shí)，各輪齒上的接觸線相互平行且相鄰接觸線在ym方向上相差一個(gè)pbt。劃分的接觸點(diǎn)位于切片中點(diǎn)與各瞬時(shí)接觸線的交點(diǎn)處。某一接觸點(diǎn)M在嚙合面坐標(biāo)系om-xmym中的坐標(biāo)(xm,ym)可通過(guò)圖2中的幾何關(guān)系獲得。當(dāng)需要引入齒面誤差或修形參數(shù)時(shí)，可將誤差或修形分布均轉(zhuǎn)換至嚙合平面，得到各接觸點(diǎn)的誤差或修形量。

1.2 傳遞誤差和嚙合剛度的求解

假設(shè)齒面誤差相對(duì)于齒輪宏觀結(jié)構(gòu)足夠小，實(shí)際接觸點(diǎn)與理論接觸點(diǎn)位置重合，且接觸后各點(diǎn)法線方向不發(fā)生變化。不考慮輪齒嚙合時(shí)的摩擦力和潤(rùn)滑油作用，則在嚙合力P作用下，若齒輪副產(chǎn)生的傳遞誤差為δ，有載荷平衡關(guān)系：

(1)

式中，ks為各接觸點(diǎn)剛度，即單個(gè)切片剛度，SMITH認(rèn)為各切片剛度相同，由ISO 6336中的單齒剛度公式得出；εi為接觸點(diǎn)i處的初始間隙量，即誤差或修形量；ui為各接觸點(diǎn)的變形，且滿足當(dāng)δ>εi時(shí)，表明該點(diǎn)已接觸，ui取正值，當(dāng)δ>εi時(shí)，表明該點(diǎn)未接觸，ui取0。

SMITH采用迭代法計(jì)算傳遞誤差δ，迭代步驟如下：

(1) 令k=1，給定傳遞誤差初值δ(1)；

(2) 依次判斷每個(gè)接觸點(diǎn)i處變形δ(k)-εi的大小，若小于0，令其等于0；

(3) 根據(jù)式(1)求得總載荷P(k)；

(5) 齒輪副嚙合剛度為K=ncks，nc為實(shí)際接觸點(diǎn)數(shù)。

1.3Smith方法的優(yōu)缺點(diǎn)

Smith切片法最大的優(yōu)點(diǎn)在于，將斜齒輪的三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題處理，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。相比傳統(tǒng)解析法，能夠計(jì)入齒輪變形、齒面制造誤差和修形等參數(shù)，使計(jì)算的傳遞誤差中包含變形和誤差兩類(lèi)因素的影響。相比有限元法，雖然精度略低，但具有更高的計(jì)算效率，因此非常適合于傳遞誤差的快速預(yù)測(cè)。

Smith切片法的缺點(diǎn)主要有：

(1)認(rèn)為單個(gè)切片從齒頂?shù)烬X根的剛度為定值，即ISO標(biāo)準(zhǔn)中的單齒剛度。但實(shí)際上單個(gè)輪齒在不同嚙合位置的剛度是變化的，導(dǎo)致輪齒變形從齒頂?shù)烬X根產(chǎn)生差異，這種假設(shè)顯然是不合適的；

(2)無(wú)法計(jì)入由齒輪輪體結(jié)構(gòu)柔性引起的輪齒附加變形，限制了其適用范圍。

(3)由于齒面微觀接觸變形與所受載荷呈非線性關(guān)系，導(dǎo)致嚙合剛度實(shí)際上隨嚙合力呈非線性變化，而Smith方法無(wú)法考慮此種效應(yīng)。

這些未考慮的因素都將降低Smith方法的準(zhǔn)確性。本文將主要針對(duì)上述缺點(diǎn)，在Smith方法的基礎(chǔ)上，對(duì)預(yù)測(cè)傳遞誤差和嚙合剛度的方法進(jìn)行改進(jìn)。

2 改進(jìn)的切片法

改進(jìn)切片法的第一步仍為切片劃分和接觸點(diǎn)布置，與Smith方法相同(1.1節(jié))，不同點(diǎn)主要體現(xiàn)在后續(xù)單個(gè)切片變形的計(jì)算及模型的求解方法上。

2.1 單個(gè)切片變形的修正

輪齒的綜合變形可分解為彎曲-剪切變形、輪體附加變形在內(nèi)的線性宏觀變形，以及非線性的局部接觸變形。SMITH認(rèn)為所有切片(接觸點(diǎn))的剛度相同，不隨接觸線和接觸點(diǎn)位置變化，這種假設(shè)顯然是不合理的，所以必須對(duì)其進(jìn)行修正。

2.1.1 時(shí)變彎曲-剪切變形

Weber將輪齒簡(jiǎn)化為彈性基礎(chǔ)上的變截面懸臂梁，如圖3所示，通過(guò)法向力所作的功與變形能相等導(dǎo)出了輪齒彎曲-剪切變形的計(jì)算公式。

圖3 彎曲-剪切變形的幾何參數(shù)Fig.3 Geometrical parameters for bending-shearing deformation

接觸點(diǎn)i在單位載荷下的彎曲-剪切變形量為[13]：

(2)

式中，αu為接觸點(diǎn)法向力與x軸所夾銳角；E為彈性模量；x，y，yci的大小如圖3所示。

2.1.2 輪體附加變形

SAINSOT[13]等將Muskhelishvili方法應(yīng)用到彈性圓環(huán)上，推導(dǎo)出齒輪輪體變形的計(jì)算式。接觸點(diǎn)i在單位載荷作用下的輪體部分變形量λfi為：

(3)

式中：u和sf的數(shù)值可由圖4求出；系數(shù)L、M、P和Q由以下多項(xiàng)式近似求得：

(4)

式中：Xi為系數(shù)L、M、P和Q；hf=rf/rint；rf，rint和θf(wàn)如圖4所示；Ai～Fi的數(shù)值如表1所示。

表1 式(4)中各系數(shù)值Tab.1 Coefficients for equation (4)

圖4 輪體變形的幾何參數(shù)Fig.4 Geometrical parameters for gear body deformation

2.1.3 接觸點(diǎn)的接觸變形

齒輪在接觸點(diǎn)的局部接觸變形uci可近似為兩圓柱的線接觸問(wèn)題求解，當(dāng)兩齒輪材料泊松比均為0.3時(shí)，計(jì)算公式為[14]：

(5)

式中，h1，h2分別為主、從動(dòng)輪在圖3中接觸點(diǎn)M與輪齒中線上P點(diǎn)之間的距離；

2.2 傳遞誤差和嚙合剛度的求解

接觸點(diǎn)i處的宏觀線性變形ugi為：

ugi=λgiFi

(6)

式中，λgi=λb1i+λb2i+λf1i+λf2i為宏觀變形柔度，下標(biāo)1，2分別代表主、從動(dòng)輪；Fi為接觸點(diǎn)i的載荷。

接觸點(diǎn)i的彈性變形協(xié)調(diào)條件為：

λgiFi+uci(Fi)=δ-εi≥0

(7)

式中，δ和εi的含義同式(1)。右側(cè)不等式中，當(dāng)δ>εi時(shí)，取大于0，表明該點(diǎn)已接觸，F(xiàn)i>0；當(dāng)δ<εi時(shí)，取等于0，表明該點(diǎn)未接觸，F(xiàn)i=0。

將式(7)寫(xiě)成矩陣形式為：

[λg]n×n{F}n×1+{uc}n×1=δ-{ε}n×1

(8)

在接觸時(shí)還需滿足載荷平衡條件：

(9)

由于式(8)中的接觸變形隨載荷是非線性變化的，增加了求解難度，所以需要對(duì)Smith求解方法進(jìn)行適當(dāng)修改。參考1.2節(jié)中的方法，對(duì)由式(8)和式(9)組成的方程組，采用兩層迭代求解，過(guò)程如下：

(1)令k=1，給定傳遞誤差初值δ(1)；

(2)依次判斷每個(gè)接觸點(diǎn)變形δ(k)-εi的大小，若小于0，令其等于0；

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 切片密度的影響

采用表2中無(wú)誤差斜齒輪參數(shù)，不同切片數(shù)目時(shí)對(duì)應(yīng)的傳遞誤差曲線和均值如圖5所示。從圖中可以看出，隨著切片數(shù)目的增加，傳遞誤差計(jì)算值將減小，當(dāng)切片數(shù)目大于15時(shí)，傳遞誤差基本不再變化。由于切片法在計(jì)算時(shí)假設(shè)各切片間相互獨(dú)立，但實(shí)際上相鄰切片間存在剪切應(yīng)力而相互牽制。然而從計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)切片劃分足夠多，相鄰切片間的載荷相差不大時(shí)，這種牽制作用就會(huì)變的相對(duì)較小。這與Smith在文獻(xiàn)[10]中的描述一致。因此，本文在后續(xù)計(jì)算中均將切片數(shù)目取為15。

表2 算例齒輪副基本參數(shù)Tab.2 Basic parameters of the gear pair

3.2 與其它方法的對(duì)比

3.2.1 理想齒輪嚙合剛度對(duì)比

作者在文獻(xiàn)[9]中基于有限元法和接觸理論，提出了一種齒輪嚙合剛度算法。此處首先以不同螺旋角時(shí)的無(wú)誤差齒輪副為例，對(duì)比FEM法、Smith方法[10]和本文方法所計(jì)算的嚙合剛度。將螺旋角分別取為0°，10°，20°和30°，計(jì)算時(shí)單位齒寬載荷均為300 N/mm(便于和ISO結(jié)果對(duì)比)。各方法的單位齒寬嚙合剛度Cγ曲線如圖6所示，均值對(duì)比如表3所示。

(a) 傳遞誤差曲線

(b) 傳遞誤差均值圖5 不同切片密度下傳遞誤差Fig.5 Transmission errors with different number of slices

β/(°)Cγ/(N·(mm·μm)-1)ISO6336Smith方法FEM方法本文方法021.5324.1021.9422.181020.9623.6321.7722.002019.2922.4521.5721.343016.6220.5920.5820.29

由圖6和表3可知，相比Smith方法，本文方法計(jì)算的嚙合剛度與FEM方法更為接近。Smith方法與FEM在螺旋角為0時(shí)均值相差最大，約為9.8%。這是由于Smith采用ISO中的單齒剛度，是單個(gè)輪齒在一個(gè)嚙合過(guò)程內(nèi)的最大剛度。本文方法在各螺旋角時(shí)與FEM方法相差都在2%以?xún)?nèi)，相比Smith方法精度更高。三種方法計(jì)算的嚙合剛度曲線在一個(gè)嚙合周期內(nèi)的變化趨勢(shì)是基本一致的。

由表3中數(shù)據(jù)可知，對(duì)于斜齒輪，隨著螺旋角增大，四種方法計(jì)算的嚙合剛度均值都會(huì)略有下降。其中ISO方法下降最為明顯，Smith方法次之，F(xiàn)EM方法和本文方法下降較少。這是因?yàn)镮SO標(biāo)準(zhǔn)在計(jì)算時(shí)僅考慮了端面重合度，而未計(jì)入軸向重合度的影響，結(jié)果與FEM差異最大。與之對(duì)應(yīng)，由于Smith方法的單齒剛度采用ISO的單齒剛度，所以其計(jì)算剛度也隨著螺旋角的增加有較大幅度下降，但數(shù)值始終略大于FEM結(jié)果。而改進(jìn)方法的剛度均值始終在FEM結(jié)果周?chē)兓?，精度相比Smith方法要高。

圖6 不同方法的嚙合剛度對(duì)比Fig.6 Mesh stiffnesses calculated by different methods

在計(jì)算時(shí)間方面，F(xiàn)EM方法根據(jù)齒輪模型大小和網(wǎng)格密度的不同，通常需要5～10 min的時(shí)間，而本文方法計(jì)算時(shí)間僅為1～2 s，大大提高了計(jì)算效率。

3.2.2 修形齒輪傳遞誤差對(duì)比

取螺旋角為10°，分別采用本文方法和FEM方法計(jì)算無(wú)修形和有修形時(shí)不同載荷下的傳遞誤差，如圖7和圖8所示。修形時(shí)令小齒輪在齒廓和齒寬方向均有5 μm的起鼓量，大齒輪無(wú)修形。

從圖7和圖8中可以看出，無(wú)論是否修形，兩種方法在各載荷時(shí)的曲線都非常接近，說(shuō)明本文方法在有無(wú)修形時(shí)都是有效的。隨著載荷增加，齒輪變形增加，傳遞誤差將增加。無(wú)修形時(shí)，各載荷下的傳遞誤差曲線形狀基本相同，且近似與圖6(b)中嚙合剛度曲線呈相反狀態(tài)。而當(dāng)修形后，由于不同載荷時(shí)齒面接觸狀態(tài)發(fā)生改變，齒輪變形和修形實(shí)際作用量都產(chǎn)生非線性變化，導(dǎo)致傳遞誤差曲線形狀大不相同。

圖7 無(wú)修形時(shí)傳遞誤差對(duì)比Fig. 7 Transmission errors without tooth modification

圖8 有修形時(shí)傳遞誤差對(duì)比Fig. 8 Transmission errors with tooth modification

3.3 接觸變形的載荷非線性效應(yīng)

仍取螺旋角為10°，分別用FEM方法和本文方法計(jì)算不同嚙合力P時(shí)嚙合剛度Cγ均值的變化，如圖9所示。從圖中可以看出，嚙合剛度均值隨著載荷P的增加呈非線性增加的趨勢(shì)。這主要是因?yàn)辇X面接觸變形隨載荷是非線性變化的，從而引起嚙合剛度的非線性。隨著載荷的上升，接觸剛度的增加使嚙合剛度增加，同時(shí)接觸區(qū)域逐漸擴(kuò)大，接觸剛度的變化率會(huì)逐漸減小。另外在不同載荷下，兩種方法計(jì)算的Cγ均值都基本相等，相差僅在2%以?xún)?nèi)，說(shuō)明本文方法在不同載荷時(shí)也是適用的。

圖9 接觸變形非線性引起的嚙合剛度變化Fig. 9 Mesh stiffness variation due tononlinearity of contact deformation

3.4 輪體參數(shù)的影響

仍取螺旋角為10°，令大齒輪內(nèi)孔半徑rint2的大小分別為30 mm、40 mm、50 mm和70 mm，分別采用本文方法和FEM方法計(jì)算無(wú)誤差時(shí)的傳遞誤差曲線如圖10所示。從圖中可以看出，隨著內(nèi)孔半徑的增加，輪體的柔性會(huì)減小，由輪體附加變形引起的傳遞誤差量減小，導(dǎo)致傳遞誤差呈下降趨勢(shì)。兩種方法在不同內(nèi)孔半徑時(shí)的傳遞誤差曲線仍非常接近，驗(yàn)證了采用式(3)考慮輪體附加變形方法的正確性。

圖10 大齒輪不同內(nèi)孔半徑時(shí)的傳遞誤差Fig.10 Transmission errors with differenthole radius of the wheel

4 結(jié) 論

(1)本文針對(duì)Smith切片法的不足，增加了時(shí)變單齒剛度、接觸變形非線性效應(yīng)以及輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)等對(duì)齒輪變形和傳遞誤差的影響，提出了一種修正的切片方法預(yù)測(cè)齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度，具有更高的求解精度和更廣的適用范圍。

(2)無(wú)論是否計(jì)入輪齒誤差和修形，本文方法與有限元法相比，在計(jì)算齒輪傳遞誤差和嚙合剛度時(shí)的精度都相當(dāng)，但本文方法具有更高的求解效率，更適合于快速預(yù)測(cè)場(chǎng)合。

(3)本文在計(jì)算時(shí)仍忽略了相鄰切片間剪切應(yīng)力的相互牽制效應(yīng)，但從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，當(dāng)切片劃分?jǐn)?shù)目大于15時(shí)，本文方法與有限元法的結(jié)果非常接近，說(shuō)明此時(shí)切片間剪切應(yīng)力的影響很小，也驗(yàn)證了采用這種假設(shè)的合理性。

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Express method for determining the transmission error and mesh stiffness of helical gears

CHANG Lehao1, HE Zhaoxia1, LIU Lan2， LIU Qingtao1

(1. Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of Ministry of Education, Chang’an University, Xi’an 710064, China；2.Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

An efficient method for predicting the transmission error and mesh stiffness of helical gears was presented based on the thin slice theory proposed by Smith. A helical gear was divided into a series of independent thin spur gears along the tooth width. The bending-shearing deformation and local contact deformation of each single slice and the gear body deformation were taken into account in this model. Meanwhile, a loaded contact model was built through the deformation compatibility between different slices. Then, the load distribution on tooth surface, transmission error and mesh stiffness were calculated. The time varying single tooth stiffness, the nonlinear effect of loaded contact deformation and gear body effects were additionally considered, comparing with the Smith’s thin slice method, which increases the accuracy and applicability. The higher computational efficiency of the proposed method than the finite element method with the same accuracy makes it more suitable for fast prediction of the vibrations and noises of gear systems.

helical gears; transmission error; mesh stiffness; thin slice method

國(guó)家自然科學(xué)基金(51605040；51535009；51305042)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(310825161004)

2015-11-26 修改稿收到日期： 2016-08-14

常樂(lè)浩 男，博士，講師，1987年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.024