淺談高中數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建

王磊

摘要：在高中階段，學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵要素是牢牢掌握數(shù)學(xué)的基本概念。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的首要環(huán)節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和技能的核心，在新課講授和習(xí)題訓(xùn)練中都十分重要。正確理解數(shù)學(xué)概念可為接下來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)，但在實(shí)際教學(xué)過程中經(jīng)常對數(shù)學(xué)概念教學(xué)重視不夠，影響學(xué)生更深層次的學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。要想使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念，要采取靈活多變的方式來進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生樂于聽并且能聽懂。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念教學(xué)；教學(xué)情境

G633.6

一、問題的提出

學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念的掌握是深入理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)概念的在教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中都起到不可或缺的作用，加強(qiáng)對概念的教學(xué)迫在眉睫。但觀察現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)現(xiàn)教師對于概念的教學(xué)幾乎都存在忽視的現(xiàn)象，這十分不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)整體的把握和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提高。因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，必須加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，采取靈活多變的方式，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生在準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上更好的完成其他部分的學(xué)習(xí)。筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以高中數(shù)學(xué)中的基本概念——任意角的三角函數(shù)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)中重要概念的構(gòu)建。

二、教學(xué)實(shí)例

問題1：回顧一下任意角的概念。角是三角函數(shù)中的自變量，自變量的取值范圍是研究函數(shù)問題的重要起點(diǎn)。因此，回顧任意角的概念很有必要。

問題2：從平面直角坐標(biāo)系的角度再研究銳角的三角函數(shù)。本章研究的問題是三角函數(shù)，而函數(shù)的研究離不開平面直角坐標(biāo)系?；貞洺踔袑W(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個(gè)問題：如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢？

情境預(yù)設(shè)：先引導(dǎo)學(xué)生回憶以往學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，但部分學(xué)生會對坐標(biāo)語言表述部分不熟悉，即使將角置于坐標(biāo)系中學(xué)生仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)上通過坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)再次對已有知識進(jìn)行認(rèn)識，把學(xué)生已有知識和本節(jié)課將要講授的新知識進(jìn)行聯(lián)系，降低認(rèn)知的起點(diǎn)。

解答過程：

問題3：三角函數(shù)的比值與具體的點(diǎn)是否有關(guān)系。

情境預(yù)設(shè)：學(xué)生在得出的結(jié)論中看到x，y，α，會因?yàn)槿狈?shù)學(xué)的整體把握而誤以為函數(shù)值的大小與具體的x，y的值有關(guān)，從而與點(diǎn)P的位置有關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度再認(rèn)識三角函數(shù)。從幾何的角度直觀觀察三角形相似，比值與具體的點(diǎn)的位置沒有關(guān)系。再從函數(shù)的角度闡述三角函數(shù)值的大小只與自變量α的大小有關(guān)，與點(diǎn)P 的位置無關(guān)。

問題4：與單位圓結(jié)合簡化三角函數(shù)值。引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。

回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據(jù)是什么？寫出最簡單的形式。

設(shè)計(jì)意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認(rèn)識，用數(shù)學(xué)的簡潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。

解答：單位圓中定義銳角三角函數(shù)：如圖3，線段OP=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么銳角α的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)表示為：

問題5：上述三個(gè)問題的結(jié)論適用于任意角嗎？

情境預(yù)設(shè)：學(xué)生對終邊不在第一象限的角α的三角函數(shù)不確定。

設(shè)計(jì)意圖：具體認(rèn)識任意角的三角函數(shù)，凸顯本課時(shí)的研究重點(diǎn)。如果問題太一般化，如設(shè)計(jì)為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個(gè)，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計(jì)中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動方式。

三、教學(xué)反思

在本次課程教學(xué)過程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)了任意角的概念，明確了函數(shù)的自變量；隨后引導(dǎo)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，以原點(diǎn)為中心畫出圓，觀察其圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)隨著銳角α的變化而變化，從而讓學(xué)生對“任意給定一個(gè)銳角α，圓周上就有唯一的一個(gè)點(diǎn)P（x，y）與之對應(yīng)”有直觀的體會與感受；接下來探究當(dāng)角α為銳角時(shí)，sinα= y 及 y 的值與角α終邊的位置關(guān)系，得出“y 的值只與角的大?。ńK邊的位置）有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān)”這樣一個(gè)重要結(jié)論；最終，在上述銳角的函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，再由特殊到一般，把定義推廣到任意角，通過學(xué)生分組活動得出任意角的三角函數(shù)的概念，進(jìn)而繼續(xù)探究該函數(shù)的各種性質(zhì)。

四、小結(jié)

在以往的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，很多教師往往對概念教學(xué)的認(rèn)識不到位，偏重?cái)?shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練而忽視了概念的講解和教授，使學(xué)生在應(yīng)用時(shí)概念與計(jì)算不能很好地聯(lián)系到一起。新課程的實(shí)施強(qiáng)調(diào)了概念教學(xué)的重要性，本文根據(jù)其要求探討了高中數(shù)學(xué)概念的有效構(gòu)建方法，以任意角的三角函數(shù)為實(shí)例，從問題的提出、情境預(yù)設(shè)、設(shè)計(jì)意圖、解答過程進(jìn)行探討，并且通過畫圖分析使學(xué)生能更直觀形象的理解三角函數(shù)的概念。因此，高中數(shù)學(xué)教師必須要加強(qiáng)歲概念的講解，注重激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，聯(lián)系以往相關(guān)知識進(jìn)行知識遷移，避免理論概念和實(shí)際計(jì)算相脫節(jié)的情況。

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