一個(gè)非單調(diào)非齊次核的Hilbert型積分不等式

鐘建華，陳 強(qiáng),曾志紅

(1. 廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303； 2. 廣東第二師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 廣東 廣州 510303;3. 廣東第二師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部， 廣東 廣州 510303)

一個(gè)非單調(diào)非齊次核的Hilbert型積分不等式

鐘建華1，陳 強(qiáng)2*,曾志紅3

(1. 廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303； 2. 廣東第二師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 廣東 廣州 510303;3. 廣東第二師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部， 廣東 廣州 510303)

通過引入?yún)?shù)σ和應(yīng)用權(quán)函數(shù)的方法, 建立了一個(gè)具有最佳常數(shù)因子的非單調(diào)且非齊次核的Hilbert型積分不等式及其等價(jià)形式, 并考慮了特殊結(jié)果.

Hilbert型積分不等式；權(quán)系數(shù)；參數(shù)；等價(jià)式; 非齊次核

(1)

文獻(xiàn)[4]引入了2對共軛指數(shù)(p,q)與(r,s), 當(dāng)λ>0,f,g≥0時(shí),有如下-λ齊次核的Hilbert型積分不等式:

(2)

(3)

關(guān)于非齊次核的Hilbert型不等式的研究不斷推陳出新, 文獻(xiàn)[5]得到一個(gè)非齊次核的Hilbert型不等式:

(4)

2012年,文獻(xiàn)[6]研究了非齊次核的Hilbert型不等式的一般理論,得到了一個(gè)重要的推廣:

及

時(shí),有

(5)

本文應(yīng)用一個(gè)非單調(diào)雙曲正割函數(shù)[7]:

(6)

其所確定的非齊次核:

受式(3)～(5)的研究思路啟發(fā),在此引入?yún)?shù)σ>0,應(yīng)用權(quán)系數(shù)及實(shí)分析方法,得到了一個(gè)具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型不等式和等價(jià)式, 并考慮了一些特殊結(jié)果.

1 引 理

引理1 若σ>0,且h(t)如式(6)所定義,定義如下權(quán)系數(shù):

(7)

則ωσ(y)是與y無關(guān)的正數(shù), 且

ωσ(y)=k(σ):=Γ(σ)η(σ).

(8)

證明 對式(7)做u=xy變換，則有

(9)

將其代入式(9),并令t=(2k+3)u,得

在上式中自然有

則有ωσ(y)=Γ(σ)η(σ).即式(8)成立.證畢.

(10)

k(σ) 的定義見式(8).

證明 配方并由帶權(quán)的H?lder不等式[8]及式(7), 有

(11)

由式(11)、Fubini定理[9]及式(7)和(8),有

即式(10)成立.證畢.

2 主要結(jié)果

時(shí)，有如下等價(jià)式:

(12)

(13)

其中,k(σ)及kp(σ)均為最佳值.

不妨設(shè)A≠0(否則,A=B=0), 則有

通過配方，并由H?lder不等式[8],有

(14)

(15)

即

(16)

對式(16)兩邊p次方,可得式(13),且式(13)與式(12)等價(jià).

則可算得

由Fubini定理[9],并對下式中的內(nèi)積分做u=xy變換,可得

(17)

運(yùn)用Fatou引理[9]及式(17),有

這與假設(shè)矛盾,故k=k(σ)必為式(12)的最佳值.式(13)的常數(shù)因子kp(σ)必為最佳值,否則,由式(14),必導(dǎo)出式(12)的常數(shù)因子非最佳值的矛盾結(jié)論.證畢.

(18)

(19)

其中,常數(shù)因子

當(dāng)σ=1時(shí),有

式(12)和(13)變?yōu)槿缦戮哂凶罴殉?shù)因子的等價(jià)不等式:

(20)

(21)

[1]HARDYGH.NoteonatheoremofHilbertconcerningseriesofpositiveterm[J]. Proceeding of the London Math Society,1925,23(2):45-46.

[2] HARDY G H,LITTLEWOOD J E,POLYE G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge Univ Press,1952.

[3] MINTRINOVIC D S,PECARIC J E,FINK A M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers,1991.

[4] YANG B C. On an extension of Hilbert’s inequality with some parameters[J]. The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications,2004,1(1):1-8.

[5] 楊必成.算子范數(shù)與Hilbert型不等式[M].北京:科學(xué)出版社,2009:300-307. YANG B C. The Norm of Operator and Hilbert-type Inequalities[M]. Beijing: The Science Press,2009:300-307.

[6] 楊必成.關(guān)于一個(gè)非齊次核的Hilbert型積分算子[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào), 2012,14(1):84-88. YANG B C. On a Hilbert-type integral operator with the none-homogeneous kernels[J]. Acta Analysis Functionalis Applicata ,2012,14(1):84-88.

[7] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,2003. ZHONG Y Q. Theory of Functions of Complex Variable[M]. Beijing: Higher Education Press,2003.

[8] 匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004:4-5. KUANG J C. Applied Inequalities[M]. Jinan: Shandong Science and Technology Press, 2004:4-5.

[9] 匡繼昌.實(shí)分析引論[M].長沙:湖南教育出版社,1996:45-46. KUANG J C. Real Analysis [M]. Changsha: Hunan Educational Press,1996:45-46.

ZHONG Jianhua1, CHEN Qiang2， ZENG Zhihong3

(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China; 2.DepartmentofComputerScience,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China; 3.EditorialDepartmentofJournal,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China)

By introducing a parameterσ, a Hilbert-type integral inequality with a non-monotone and non-homogeneous kernel and a best constant factor was established by the way of weight functions. The equivalent forms and some particular cases are also considered.

Hilbert-type integral inequality; weight coefficient; parameter; equivalent form; non-homogeneous kernel

2016-04-01.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61370186,61640222)；廣東省省級科技計(jì)劃項(xiàng)目(2013A011403002,2014B010116001);廣東第二師范學(xué)院教授科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)研究項(xiàng)目(2015ARF25).

鐘建華(1962-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-6094-7920,男，副教授，主要從事幾何與Hilbert型不等式研究.

*通信作者，ORCID:http://orcid.org/0000-0001-8010-6398,E-mail:cq_c@gdei.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.02.005

O 178

A

1008-9497(2017)02-150-04

A Hilbert-type integral inequality with a non-monotone and non-homogeneous kernel. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(2):150-153