二階Emden-Fowler型非線性變時(shí)滯微分方程的振蕩準(zhǔn)則

楊 甲 山

(1.梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學(xué)院 復(fù)雜系統(tǒng)仿真與智能計(jì)算實(shí)驗(yàn)室， 廣西 梧州 543002)

二階Emden-Fowler型非線性變時(shí)滯微分方程的振蕩準(zhǔn)則

楊 甲 山1,2

(1.梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學(xué)院 復(fù)雜系統(tǒng)仿真與智能計(jì)算實(shí)驗(yàn)室， 廣西 梧州 543002)

研究了一類具有變時(shí)滯的二階Emden-Fowler型非線性中立型泛函微分方程的振蕩性. 借助Riccati變換、積分平均技術(shù)和微分不等式等技巧，獲得了該類方程振蕩的新判別準(zhǔn)則和比較判別定理，推廣、改進(jìn)并豐富了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果.

振蕩性；變時(shí)滯；泛函微分方程；Riccati變換

近來，中立型變時(shí)滯泛函方程的振蕩性研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛興趣[1-25]. 本文考慮如下形式的二階非線性中立型變時(shí)滯微分方程

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0

(1)

的振蕩性.式(1)中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0為實(shí)常數(shù))；而函數(shù)a,p,q∈C([t0,+∞),R)；函數(shù)f∈C(R,R)，當(dāng)u≠0且uf(u)>0時(shí)，有

(H1)a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(H3) 存在常數(shù)L>0使得當(dāng)u≠0時(shí)，f(u)/u≥L.

若函數(shù)x(t)滿足a(t)φ1(z′(t))∈C1([Tx,+∞),R)且在區(qū)間[Tx,+∞)上滿足方程(1)，則稱函數(shù)x(t)∈C1([Tx,+∞),R)(Tx≥t0)是方程(1)的一個(gè)解. 本文只討論方程(1)的非平凡解. 若方程(1)的解x(t)既不最終為正也不最終為負(fù)，則稱解x(t)是振蕩的，否則是非振蕩的；若方程(1)的所有解都是振蕩的，則稱方程是振蕩的.

{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|β-1× [x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0

(E)

的振動(dòng)性，得到了方程(E)的若干振動(dòng)準(zhǔn)則，推廣、改進(jìn)并豐富了現(xiàn)有的一些結(jié)果. 但文獻(xiàn)[14]有限制條件“a′(t)≥0且0≤p(t)<1”，而且當(dāng)β<λ時(shí)沒有得到方程(E)的振動(dòng)準(zhǔn)則. 筆者將在條件

(2)

成立的情況下研究方程(1)的振蕩性，建立了方程(1)振蕩的一個(gè)較為精準(zhǔn)的判別準(zhǔn)則和比較判別定理，改善了對中立項(xiàng)系數(shù)函數(shù)的限制條件0≤p(t)<1，去掉了條件a′(t)≥0,且β>γ和β<λ2種情形均有方程的振蕩準(zhǔn)則, 所得準(zhǔn)則在β=λ的特殊情形下推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一系列結(jié)果.

引理1[18]設(shè)X,Y為非負(fù)實(shí)數(shù),則

(1)當(dāng)0<λ≤1時(shí)，Xλ+Yλ≥(X+Y)λ,當(dāng)且僅當(dāng)X=Y時(shí)等號成立.

(2)當(dāng)λ>1時(shí)，Xλ+Yλ≥21-λ(X+Y)λ,當(dāng)且僅當(dāng)X=Y時(shí)等號成立.

1 主要結(jié)果及其證明

為了敘述方便，引入下列3個(gè)記號：

Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，

φ+(t)=max{0,φ(t)}，

定理1 設(shè)條件(2)成立且0≤p(t)≤p0<+∞(p0為常數(shù))，如果存在函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得當(dāng)λ≤β時(shí)，有

(3)

當(dāng)λ>β時(shí)，有

(4)

證明 反證法.設(shè)方程(1)存在一個(gè)非振蕩解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解(當(dāng)x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證)，則?t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時(shí)，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，于是由z(t)的定義知，z(t)>0且(t≥t1).由方程(1)得

[a(t)φ1(z′(t))]′=-q(t)f(φ2(x(δ(t))))≤

-Lq(t)(x(δ(t)))β<0，

(5)

注意到條件(2)，于是由式(5)不難推出z′(t)>0(t≥t1).應(yīng)用式(5)，當(dāng)t≥t1時(shí)，有

Lq(τ(t))(x(δ(τ(t))))β≤0，

(6)

于是，綜合式(5)及(6)，當(dāng)t≥t1時(shí)，可得

[a(t)φ1(z′(t))]′+Lq(t)(x(δ(t)))β+

當(dāng)0<β≤1時(shí)，注意到τ′(t)≥τ0>0，τ°δ=δ°τ及z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))以及引理1，則上式可進(jìn)一步寫成

-LQ(t)[x(δ(t))+p0x(δ(τ(t)))]β≤

-LQ(t)zβ(δ(t))≤0.

當(dāng)β>1時(shí)，注意到引理1，類似地，有

-L21-βQ(t)[x(δ(t))+p0x(δ(τ(t)))]β≤

-L21-βQ(t)zβ(δ(t))≤0.

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

(7)

考慮到γ和β的取值范圍，下面分2種情形進(jìn)行討論.

情形1λ≤β.

做Riccati變換：

(8)

則w(t)>0(t≥t1)，注意到τ′(t)≥τ0>0，由式(8)有

(9)

由z(t)>0，z′(t)>0知，存在常數(shù)η>0使得當(dāng)t≥t1時(shí)，有z(τ(t))≥η.于是，綜合式(9)和(8)，并注意到引理2的不等式，得

(10)

再做Riccati變換：

(11)

則v(t)>0(t≥t1)，類似于上面的推導(dǎo)過程，可得

(12)

綜合式(10)和(12)，并注意到式(7)及z′(t)>0，有

(13)

由式(5)知，a(t)[z′(t)]λ(t≥t1)是單調(diào)減小的，因此有

即

(14)

將式(14)代入式(13)，得

于是有

與式(3)矛盾.

情形2λ>β.

(15)

再做如式(11)所示的Riccati變換，與式(12)的推導(dǎo)過程類似，可得

(16)

綜合式(15)、(16)，z′(t)>0及式(7)和(14)，可得

-L0φ(t)Q(t)Ψβ(t,t1)+

因此，

與式(4)矛盾. 定理證畢.

定理2 設(shè)條件(2)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0為常數(shù))，如果一階微分不等式

yβ/λ(δ(t))≤0

(17)

證明 反證法：設(shè)方程(1)存在一個(gè)非振蕩解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解(當(dāng)x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證)，則?t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時(shí)，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由定理1的證明知，式(7)成立，于是由式(7)得

(18)

由于當(dāng)t≥t1時(shí),z′(t)>0，[a(t)φ1(z′(t))]′=[a(t)(z′(t))λ]′<0，所以當(dāng)t≥s≥t1時(shí)，有a(t)(z′(t))λ≤a(s)(z′(s))λ，即a1/λ(s)z′(s)≥a1/λ(t)z′(t)，因此

a1/λ(t)z′(t)[θ(t)-θ(t1)]，

由式(18)并記y(t)=a(t)(z′(t))λ，于是可得

L0Q(t)aβ/λ(δ(t))(z′(δ(t)))β[θ(δ(t))-θ(t1)]β=

θ(t1)]βyβ/λ(δ(t))，

表明y(t)是式(17)的一個(gè)正解，矛盾. 定理證畢.

注1 顯然, 本文給出了一類非常廣泛的二階Emden-Fowler泛函微分方程(1)振蕩的2個(gè)判別準(zhǔn)則，改善了現(xiàn)有研究(如文獻(xiàn)[14])對中立項(xiàng)系數(shù)函數(shù)的限制條件：0≤p(t)<1. 從定理1可看出，λ>β和λ<β方程的振蕩條件是有差別的. 此外，從以下例子還可以看出，本文結(jié)果的特殊情形即定理1中當(dāng)λ=β且p0=1時(shí)，其振蕩結(jié)果也是較“精細(xì)的”，這些結(jié)果推廣、改進(jìn)并豐富了現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)論.

2 實(shí)例分析

例1 對常數(shù)q0>0，考慮二階時(shí)滯微分方程

(E1)

由文獻(xiàn)[11]定理2.1知，當(dāng)q0>1.25時(shí)方程(E1)是振蕩的. 因此，本文定理1不僅包括了文獻(xiàn)[11]中的定理2.1，而且改進(jìn)了文中的相關(guān)定理.

例2 考慮二階泛函微分方程

(E2)

取f(u)=u[1+ln(1+u4)]，由于

顯然條件(H1)～(H3)全部滿足. 又因?yàn)?/p>

取φ(t)=1，則

定理1的條件均滿足，故由定理1知，方程(E2)是振蕩的.

注3 由于方程(E2)的中立項(xiàng)系數(shù)函數(shù)p(t)>1,λ≠β且不滿足a′(t)≥0，因此文獻(xiàn)[1-8,11-19]中的定理均不能用于方程(E2). 值得注意的是,本文定理?xiàng)l件(H2)中要求τ°δ=δ°τ, 因此當(dāng)τ°δ≠δ°τ時(shí),尋找新的技術(shù)手段來研究方程(1)的振蕩性, 這將是非常有意義的事情.

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YANG Jiashan1，2

(1.SchoolofInformationandElectronicEngineering,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China; 2.LaboratoryofComplexSystemsSimulationandIntelligentComputing,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China)

The purpose of this article is to study the oscillatory behavior of second-order Emden-Fowler nonlinear neutral functional differential equations with variable delay. By using the Riccati transformation, integral averaging technique and differential inequalities, we established a new oscillation criteria and a comparison theorem for the oscillation of the equations. These criteria dealing with some cases have not been covered by the existing results in the literature.

oscillation; variable delay; functional differential equation; Riccati transformation

2016-03-26.

梧州學(xué)院2014年校級科研重大項(xiàng)目(2014A003); 碩士學(xué)位授予單位立項(xiàng)建設(shè)項(xiàng)目(桂學(xué)位[2013]4號);廣西教育廳科研項(xiàng)目(2013YB223).

楊甲山(1963-), ORCID:http://orcid.org/0000-0002-0340-097X, 男, 學(xué)士， 教授, 主要從事微分方程的理論與應(yīng)用研究，E-mail:syxyyjs@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.02.004

O 175. 7

A

1008-9497(2017)02-144-07

Oscillation criteria of second-order Emden-Fowler nonlinear variable delay differential equations. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(2):144-149,160