函數(shù)項(xiàng)級數(shù)非一致收斂判別方法的探討

王菲菲+任曉陽

【摘要】一致收斂和非一致收斂是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的重要性質(zhì)，其中一致收斂的判別所依循的定理和方法較多，而居于同樣地位的非一致收斂的判別方法中，除了定義法外其余方法并不常見。因此本文重新歸納探討判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)非一致收斂的方法，以方便解決函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的相關(guān)問題。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)項(xiàng)級數(shù)；；和函數(shù)；非一致收斂；判別

【中圖分類號】O173

一，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的相關(guān)知識

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在收斂時(shí)是函數(shù)的一種表示方法，這種表示方法可以從更深刻的背景上描述一個(gè)函數(shù)的性態(tài)：連續(xù)性，可積性，可微性等。在有了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的知識后，就存在了討論如何通過無窮多個(gè)函數(shù)的疊加來產(chǎn)生新函數(shù)以及研究這樣產(chǎn)生的新函數(shù)的性質(zhì)的可能性，而函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性和非一致收斂性在其中起了關(guān)鍵作。

定義：設(shè){ }是定義在數(shù)集D上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式 稱為定義在D上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，簡記為 ， 稱 為函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的部分和函數(shù)列。

若 ，數(shù)項(xiàng)級數(shù) 收斂，即部分和 ，

當(dāng) 時(shí)極限存在，則稱級 在點(diǎn) 收斂。若在 處， 均收斂，則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在D上收斂。

級數(shù) 在D上每一點(diǎn) 與其對應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的和 構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù)，稱 為級數(shù) 的和函數(shù)，即 = 。

二，非一致收斂的定義

若 ，則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

在D上非一致收斂。

三，引進(jìn)非一致收斂的意義

函數(shù)列理論中的重要問題是{ （x）}的相關(guān)性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性等）在極限過程中是否依舊保持？而在函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中，即 確定的和函數(shù)s（x）是否有有限和的相關(guān)性質(zhì)，即：

⒈若

則

即 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和符號與極限符號能否交換？

⒉若對任何正整數(shù)n， 在 上均黎曼可積，則和函數(shù)s（x）是否在 上也黎曼可積？若此時(shí)可積，

即 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和符號和積分符號能否交換？

⒊若對任何正整數(shù)n， 在 上可導(dǎo)，則s（x）在 是否可導(dǎo)？

即 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和符號與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算能否交換（逐項(xiàng)可導(dǎo)）？

上述三種情形在 收斂的情況下并不一定成立，進(jìn)而猜測，在附加一定的充分條件下使上述結(jié)論成立，因此引進(jìn)了收斂性較強(qiáng)的一致收斂，從而深入研究和函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。綜上，如何判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的非一致收斂就變成一個(gè)重要且亟待解決的問題。

四， 非一致收斂的判別方法

1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)非一致收斂的 定義

，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間D上非一致收

斂。

例1.試討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的斂散性。

解： 當(dāng) 時(shí)，有

S（x）= ， 取 ，無論n取多大，只要取 ，就有 =

，綜上，由非一致收斂的定義知

非一致收斂。

2.確界法

若函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的余項(xiàng)為 ，且 =

，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在D上非一致收斂。

例2.求證函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上非一致收斂。

證明：因?yàn)?，則有s（x）= ，又因?yàn)?/p>

，即 在 上非一致收斂。

3.利用柯西收斂準(zhǔn)則

（1）柯西收斂準(zhǔn)則否定形式： 在D上非一致收斂

，使 。

（2）柯西收斂準(zhǔn)則推論1的逆否命題：若函數(shù)列 非一致收斂于0，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

非一致收斂。

（3）柯西收斂準(zhǔn)則推論2：若函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間D上點(diǎn)點(diǎn)收斂，且在區(qū)間D上 存在一點(diǎn)列 ，使 ，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間D上非一致收斂。

例3.討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上的一致收斂性。

解：取 ，從而使得

。綜上，由柯西收斂準(zhǔn)則知函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上一致收斂。

例4.討論 在 上的一致收斂性。

解：顯然函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上點(diǎn)點(diǎn)收斂，又知， ，有 ，則由柯西收斂準(zhǔn)則的推論2知 在 上非一致收斂。

例5. 證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上非一致收斂。

證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上點(diǎn)點(diǎn)收斂，取 ，此時(shí)有

，所以， 不趨于0，則由柯西收斂準(zhǔn)則的推論2知 在區(qū)間 上非一致收斂。

4.利用和函數(shù)的不連續(xù)性

若連續(xù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間D上點(diǎn)點(diǎn)收斂于和函數(shù)s（x），且存在 ，使s（x）在

處不連續(xù)，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間D上非一致收斂于s（x）。

（1）此方法在和函數(shù)比較容易求得的情況下應(yīng)用簡便。

例6. 證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 上非一致收斂。

證明：由題知 ，且 ，當(dāng)x=1時(shí)， ，

，而 ， 在

x=1處不連續(xù)，而 在區(qū)間上連續(xù)，綜上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 上非一致收斂。

5.利用端點(diǎn)發(fā)散性判別

若函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上點(diǎn)點(diǎn)收斂，但在左端點(diǎn) 處發(fā)散，

且 在左端點(diǎn) 處右連續(xù)，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上非一致收斂。

證明：假設(shè) 在 上一致收斂，則

，則在上式中，令 ，得 ，再由柯西收斂準(zhǔn)則知 收斂，這與已知矛盾。即得函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上非一致收斂。（定義域?yàn)?的情況，同理可證）

例7. 討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上的一致收斂性。

解：顯然函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上點(diǎn)點(diǎn)收斂，且每一項(xiàng)均在x=1處連續(xù)，而函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在x=1處，即數(shù)項(xiàng)級數(shù) 發(fā)散，故該函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間 上非一致收斂。

例8. 討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上的一致收斂性。

解： 顯然函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上點(diǎn)點(diǎn)收斂，且每一項(xiàng)均在x=0處連續(xù)，而函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在x=0處發(fā)散， 故該函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間 上非一致收斂。

例9. 證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上非一致收斂。

證明：假設(shè) 在區(qū)間 上一致收斂，則將區(qū)間 看成 ，則由

，知數(shù)項(xiàng)級數(shù) 收斂，顯然矛盾。綜上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間 上非一致收斂。

五，小結(jié)

在判別非一致收斂的過程中，某一種方法對某一類函數(shù)項(xiàng)級數(shù)較為簡便，非一致收斂的判別往往與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的某種特殊性相關(guān)，以某端點(diǎn)的性質(zhì)最為常見。實(shí)際上，對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的非一致收斂性的證明除了以上較常用的詳細(xì)介紹的五種方法外還有多種方法，如：①若連續(xù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間D上點(diǎn)點(diǎn)收斂于s（x），且 ， ，有 ，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 非一致收斂于s（x）。 ②設(shè)對任意的自然數(shù)n，函數(shù) 在區(qū)間D上都是單調(diào)增加（或單調(diào)減?。┑?，如果存在數(shù)列 ，使級數(shù) 發(fā)散，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間D上

非一致收斂。 ③設(shè)對任意的 ， 為單調(diào)數(shù)列，如果存在數(shù)列 使 不存在，或者 存在但不為0，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在區(qū)間D上非一致收斂。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 同濟(jì)大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）第7版.[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 薛志純.高等數(shù)學(xué).[M].背景：清華大學(xué)出版社，2008.

[3] 同濟(jì)大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南.[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 張選群.醫(yī)用高等數(shù)學(xué).[M].北京：人民衛(wèi)生出版社，2013.

[5] 李忠.高等數(shù)學(xué).[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009.

吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精解（第五冊）. [M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.