系統(tǒng)設(shè)計(jì)學(xué)會(huì)思考
——『運(yùn)算定律』教材重組教學(xué)的探索實(shí)踐

倪斌強(qiáng)

【研究緣起與思考】

在一次運(yùn)算定律的專題研究活動(dòng)中，筆者發(fā)現(xiàn)不同版本教材運(yùn)算定律的編排主要分為兩類：A類教材（如下圖），把五大定律和兩大性質(zhì)（減法的性質(zhì)和除法的性質(zhì)），分成了兩塊：一塊是加法的運(yùn)算定律及應(yīng)用，其中還包括了減法的性質(zhì)；另一塊是乘法的運(yùn)算定律及應(yīng)用，其中也滲透了除法的性質(zhì)。也就是把加法交換律與乘法交換律、加法結(jié)合律與乘法結(jié)合律分散編排。B類教材，把加法交換律和乘法交換律合在一起統(tǒng)稱為交換律，并且也把加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律合為一節(jié)課，統(tǒng)稱為結(jié)合律。也就是把加法交換律與乘法交換律、加法結(jié)合律與乘法結(jié)合律集中編排。

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)：A類教材看似脈絡(luò)清晰、結(jié)構(gòu)完整，但如果細(xì)想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)加法交換律和乘法交換律如同孿生兄弟，聯(lián)系的更緊密，如果統(tǒng)稱為“交換律”更有利于學(xué)生系統(tǒng)的構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)；加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律也是如此，合為一體統(tǒng)稱為“結(jié)合律”也更合理；還有減法的性質(zhì)和除法的性質(zhì)也有類似之處，也可合二為一進(jìn)行教學(xué)。

正因如此，激起筆者對(duì)“運(yùn)算定律”這一內(nèi)容教材重組的研究興趣和探索思考：

一是對(duì)于運(yùn)算定律這部分內(nèi)容，教材怎樣調(diào)整重組更有利于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)？更有利于培養(yǎng)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力？

二是五大定律和兩大性質(zhì)都是屬于數(shù)與代數(shù)重要的定律、性質(zhì)，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)方式是不是都可以利用相同的模式（猜想——驗(yàn)證——結(jié)論——聯(lián)想——驗(yàn)證——新的結(jié)論）？

【教學(xué)過(guò)程】

引導(dǎo)學(xué)生怎么“走”——了解探索規(guī)律的方法

案例《交換律》

一、引出猜想，初感規(guī)律

1.觀察下圖，列式計(jì)算。

2.觀察列出的等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

12+16=287+21=284+24=28

16+12=2821+7=2824+4=28

12+16=16+12 7+21=21+7 4+24=24+4

引出猜想：在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變。

二、驗(yàn)證猜想，獲得新知

1.討論：怎樣驗(yàn)證？

（舉幾個(gè)加法算式，交換加數(shù)的位置，看看和是否不變）

2.學(xué)生獨(dú)自舉例驗(yàn)證，教師巡視了解學(xué)情。

3.集體交流。

教師有選擇地出示學(xué)生可能出現(xiàn)的幾種情況：（1）舉例驗(yàn)證方法的比較。（2）舉例的全面性比較。

4.揭示課題。

師：有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)交換兩個(gè)加數(shù)的位置和變了的例子？如果沒(méi)有，那猜想應(yīng)該是成立的，你能給這個(gè)結(jié)論取個(gè)名嗎？

5.能用自己喜歡的方式表示加法交換律嗎？

三、聯(lián)想遷移，得出結(jié)論

1.引導(dǎo)聯(lián)想。

師：從個(gè)例中形成猜想并舉例驗(yàn)證，是獲取結(jié)論的一種方法，但有時(shí)還可以從已有的結(jié)論通過(guò)聯(lián)想進(jìn)而形成新的結(jié)論。從加法交換律中，我們通過(guò)聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？

生：在加法中，交換幾個(gè)加數(shù)的位置，和不變。

生：在減法中，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，差不變。

生：在乘法中，交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變。

生：在除法中，交換被除數(shù)和除數(shù)的位置，商不變。

2.分組驗(yàn)證。（略）

3.反饋交流。

師：在減法中是否成立？

生：不成立，如 5-3=2，交換位置后3減5不能計(jì)算。

生：有成立的，如 6-6=0，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，還是成立的。

師：在驗(yàn)證猜想時(shí)，如果有一個(gè)例子不成立，這樣的例子叫反例，反例舉出一個(gè)就可以證明猜想不成立。

（乘法、除法略）

4.得到新的結(jié)論。

5.小結(jié)：加法交換律和乘法交換律可以統(tǒng)稱為交換律。

四、鞏固練習(xí)，拓展延伸（略）

【分析：本課學(xué)生通過(guò)討論“怎樣驗(yàn)證？”了解科學(xué)驗(yàn)證的方法。當(dāng)學(xué)生得出一個(gè)結(jié)論時(shí)，教師又進(jìn)行了“從個(gè)例中形成猜想并舉例驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法，但有時(shí)還可以從已有的結(jié)論通過(guò)聯(lián)想進(jìn)而形成新的結(jié)論。從加法交換律中，我們通過(guò)聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？”的引導(dǎo)，使學(xué)生聯(lián)想到減法、乘法、除法算式中的各種情況。讓學(xué)生明白科學(xué)地獲取結(jié)論的兩種方法：①個(gè)例——猜想——結(jié)論；②結(jié)論——聯(lián)想——新的結(jié)論。本節(jié)課凸顯“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論——聯(lián)想——驗(yàn)證——新的結(jié)論”的探究規(guī)律思考路線，使學(xué)生初步了解了探索規(guī)律的方法。】

扶著學(xué)生“走”一程——理解運(yùn)用方法探索規(guī)律

案例《結(jié)合律》

一、引出猜想，初感規(guī)律

1.計(jì)算下面各式的得數(shù)。

（67+48）+52=67+（48+52）=

（4+9）+41=4+（9+41）=

（155+145）+207=155+（145+207）=

2.觀察上面這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

引出猜想：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。

二、驗(yàn)證猜想，獲得新知

1.討論：怎樣驗(yàn)證？

（舉幾個(gè)連加算式，改變運(yùn)算順序，看看和是否不變）

2.學(xué)生獨(dú)自舉例驗(yàn)證，教師巡視了解學(xué)情。

3.集體交流：我們?cè)隍?yàn)證猜想時(shí)要注意什么？

4.有沒(méi)有反例？如果沒(méi)有，那猜想應(yīng)該是成立的，你能給這個(gè)結(jié)論取個(gè)名嗎？

（揭示課題：加法結(jié)合律）

三、聯(lián)想遷移，得出結(jié)論

1.從加法結(jié)合律中，我們通過(guò)聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？

生：在連減中，先把前兩個(gè)數(shù)相減，或者先把后兩個(gè)數(shù)相減，差不變。

生：在連乘中，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。

生：在連除中，先把前兩個(gè)數(shù)相除，或者先把后兩個(gè)數(shù)相除，商不變。

2.分組驗(yàn)證。

3.集體交流：是否都成立？有沒(méi)有反例？

4.得到新的結(jié)論。

5.小結(jié)：加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律可以統(tǒng)稱結(jié)合律。

四、練習(xí)（略）

【分析：本節(jié)課緊緊圍繞兩個(gè)方面進(jìn)行：一方面是再次明確舉例驗(yàn)證應(yīng)該遵循怎樣的規(guī)則；另一方面進(jìn)一步理解探索規(guī)律的方法。獲得結(jié)論有兩條途徑：一是從一組算式中發(fā)現(xiàn)帶有規(guī)律性的東西，再舉例驗(yàn)證猜想；另一條是從已獲得的結(jié)論中，引發(fā)新的猜想?！皬募臃ńY(jié)合律中，我們通過(guò)聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？”學(xué)生在聯(lián)想過(guò)程中進(jìn)一步熟悉由“此知”及“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想?！?/p>

看著學(xué)生“走”一段——嘗試運(yùn)用方法探索規(guī)律

案例《減法的性質(zhì)和除法的性質(zhì)》

一、引出猜想，初感規(guī)律

1.回顧：我們前面學(xué)了交換律和結(jié)合律，同學(xué)們回憶一下，我們是怎么學(xué)的？學(xué)的方法有什么類似之處？

生：都是從一組算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生：都是用具體的例子驗(yàn)證猜想。

生：還有從一個(gè)結(jié)論通過(guò)聯(lián)想來(lái)引出新的猜想。

師：這節(jié)課我們還是用這樣的方法去研究。

2.先計(jì)算下面各式的得數(shù)，再看看發(fā)現(xiàn)了什么？

367-89-11=367-（89+11）=

524-164-36=524-（164+36）=

1235-235-65=1235-（235+65）=

3.引出猜想。

一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以把這兩個(gè)減數(shù)加起來(lái)再減。

二、驗(yàn)證猜想，獲得新知

1.有了猜想，接下去怎么研究？

生：先舉一些例子驗(yàn)證一下是否成立。

師：好的，我們四人一組進(jìn)行研究。

2.學(xué)生獨(dú)自舉例，小組交流舉的例子。

3.集體交流。

（1）所舉的例子都符合猜想嗎？

（2）有沒(méi)有反例？

（3）驗(yàn)證猜想的時(shí)候要注意什么？

4.能給這個(gè)猜想取個(gè)名稱嗎？（減法的性質(zhì)）

如果用字母表示減法的性質(zhì)怎么表示？

三、聯(lián)想遷移，得出結(jié)論

師：接下去我們?cè)趺囱芯浚?/p>

生：從“減法的性質(zhì)”通過(guò)聯(lián)想引發(fā)新的猜想，再用具體的算式驗(yàn)證，看看有沒(méi)符合其它的性質(zhì)。

師：那從“減法的性質(zhì)”通過(guò)聯(lián)想又有哪些新的猜想呢？

生：一個(gè)數(shù)連續(xù)加兩個(gè)數(shù)，可以先把后兩個(gè)加數(shù)相減再加。

生：一個(gè)數(shù)連續(xù)乘兩個(gè)數(shù)，可以先把后兩個(gè)乘數(shù)相除再乘。

生：一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以把兩個(gè)除數(shù)乘起來(lái)再除以第一個(gè)數(shù)。

1.驗(yàn)證猜想。

2.得出除法的性質(zhì)：a÷b÷c=a÷（b×c）。

四、練習(xí)（略）

【分析：學(xué)生在前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)中已比較熟悉探究規(guī)律的方法和驗(yàn)證猜想的方法，本節(jié)課教師讓學(xué)生嘗試運(yùn)用方法探索規(guī)律——通過(guò)一系列的問(wèn)題“扶”著學(xué)生進(jìn)行探究新知?！拔覀兦懊鎸W(xué)了交換律和結(jié)合律，同學(xué)們回憶一下，我們是怎么學(xué)的？學(xué)的方法有什么類似之處？有了猜想，接下去怎么研究？得到結(jié)論后我們又怎么進(jìn)行下一步的研究？”學(xué)生在教師的引導(dǎo)幫助下，順利地完成了新知的探究。學(xué)生在本節(jié)課中繼續(xù)鞏固了舉例驗(yàn)證的方法，運(yùn)用了由“此知”及“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想，進(jìn)一步熟悉了獲得結(jié)論的兩種方式?！?/p>

“奔跑吧”，孩子——自主運(yùn)用方法探索規(guī)律

課例一 《乘法分配律》

一、回顧方法

師：我們前面學(xué)了交換律、結(jié)合律以及減法性質(zhì)、除法性質(zhì)，同學(xué)們回憶一下，我們是怎么學(xué)習(xí)的？學(xué)習(xí)的方法有什么類似之處？

生：都是從一組算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再舉具體的算式驗(yàn)證。

生：獲得結(jié)論后，再通過(guò)聯(lián)想發(fā)現(xiàn)新的猜想，再舉例驗(yàn)證。

師：我們這節(jié)課繼續(xù)用這樣的方法進(jìn)行研究。老師給大家提供一些素材，四人一組進(jìn)行合作研究。

二、自主探究

1.出示。

（4+7）×25=4×25+7×25=

（5+12）×24=5×24+12×24=

（120+18）×6=120×6+18×6=

計(jì)算后引出猜想：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。

2.四人一組合作研究。

3.教師巡視指導(dǎo)。

4.集體交流。

5.給這個(gè)規(guī)律取個(gè)名稱，引出：乘法分配律。

三、練習(xí)（略）

課例二《帶符號(hào)搬家》

一、回顧方法

師：我們前面幾節(jié)課都是探索規(guī)律的內(nèi)容，同學(xué)們回憶一下，像這一類課我們是怎么學(xué)的？

師：我們這節(jié)課繼續(xù)用這樣的方法進(jìn)行研究。

二、自主探究

1.出示：

125+47-25=25-25+47=

234-48+66=34+66-48=

357-149-57=357-57-149=

2.四人一組合作研究。

3.教師巡視指導(dǎo)。

4.集體交流。

5.給這個(gè)規(guī)律取個(gè)名稱。引出：帶符號(hào)搬家。

三、練習(xí)（略）

【分析：這兩節(jié)課教師就顯得比較輕閑，先回顧一下研究的方法，然后只出示一組研究的素材，完全放手讓學(xué)生自主探究《乘法分配律》和《帶符號(hào)搬家》兩個(gè)課例，學(xué)生因?yàn)橛辛饲皫坠?jié)課的學(xué)習(xí)和鋪墊，對(duì)于如何探究規(guī)律已很熟悉，很自然地運(yùn)用探究的方法（猜想——驗(yàn)證——結(jié)論——聯(lián)想——驗(yàn)證——新的結(jié)論），不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，而且也進(jìn)一步鞏固舉例驗(yàn)證的方法，再次運(yùn)用了由“此知”及“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想，學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)的思考方法?！?/p>