從多樣到靈活
——浙教版《圖形的周長（二）》課例分析報告

王靜文

一、課前思考

1.設(shè)計簡說。

學生在學習本課前已經(jīng)掌握了求長方形周長的多種方法，如利用公式直接計算周長、利用平移法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為長方形或正方形再求周長等。本節(jié)課的教學重點是引導學生在圖形組合中進一步理解和掌握周長的概念，探求新的算法，并從自主的方法多樣化過渡到自覺地選擇合理簡潔的計算方法。

2.教學目標。

（1）在稍復雜的情境中進一步鞏固周長的概念，自主探求組合圖形周長的計算方法，能自覺選擇合理簡潔的方法計算組合圖形的周長。

（2）經(jīng)歷對多連方圖形周長變化的研究過程，體會在多連方中公共邊越多，周長越短，積累分析、比較、概括等數(shù)學思維經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念及推理能力。

（3）借助學具，提倡手、眼、腦并用，增加學習的趣味性和直觀性，激發(fā)更多學生的探索欲和成就感。

3.教學環(huán)節(jié)。

基于以上教學分析，本課將教學主線定為：策略鞏固→策略新探→策略的靈活應用。

（1）策略鞏固：通過分類，復習已知的周長算法，并形成結(jié)構(gòu)。

（2）策略新探：探求多連方的周長，將減公共邊的方法納入已有的方法中；感知公共邊越多，周長越短。

（3）策略的靈活應用：在更復雜的變化中進一步深化周長的概念，靈活選擇計算周長的方法。

二、教學片斷與評析

片斷一：策略多元，分類研究

1.下面哪些圖形的周長能直接用公式進行計算？

2.根據(jù)周長計算方法把圖形分類。

①、⑤可以直接利用長方形或正方形周長公式計算。

②、③、⑥、⑦這樣的“凸”字型不規(guī)則圖形可以經(jīng)平移轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進行計算。

④、⑧這樣“凹”字型的可以采用先平移再增加的方法。

【評析：數(shù)學分類思想，既是一種重要的數(shù)學思想又是一種重要的數(shù)學邏輯方法。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。本課起始通過分類討論哪些圖形的周長可直接用公式計算，促進學生將已掌握的周長求法進行梳理，并清楚各方法的適用之處。省時高效，能快速進入下一重要環(huán)節(jié)?！?/p>

片斷二：借助圖形，感受新知

1.創(chuàng)設(shè)情境。

師：我們把①號、⑤號圖形放大。想象一下，將這兩個圖形拼成一個大長方形，它的周長是多少？是不是就等于“10+12=22cm”？你是怎么想的？

2.了解學情。

（學生用投票器進行選擇，各方代表陳述自己的想法，教師根據(jù)學情及時調(diào)整教學內(nèi)容）

師：到底變了還是沒變？到底變長了還是變短了？請你列式算一算。

3.把握周長含義。

方法一：（新長+新寬）×2=（5+3）×2=16cm

方法二：10+12-3×2=16cm

引導學生聚焦方法二：為什么要減？減的是什么？

（結(jié)合圖形，強調(diào)“公共邊”）

【評析：本課選擇實時反饋系統(tǒng)和實物投影機來輔助教學。將①號和⑤號圖形拼成一個大長方形，它的周長是否簡單地等于原圖形周長之和呢？學生用數(shù)字遙控器來傳輸選擇的答案，答案的分布以直方圖顯示，教師和學生可以實時了解全班答案的分布狀況和對錯比例。在此過程中可以訓練學生用數(shù)據(jù)解讀統(tǒng)計圖表的能力，提高學生的信息素養(yǎng)。進而通過學生的選擇分布，可以翻牌查看每位學生的答案，并請各種選擇的學生代表來陳述自己的想法，教師可以根據(jù)學情及時反思教學中要調(diào)整和關(guān)注的點。

不論利用周長公式還是減公共邊的方法，都需要學生緊扣周長概念來展開。新方法的引進，引出“公共邊”的概念及“公共邊×2”的算法，能促進學生觀察能力與空間想象能力的培養(yǎng)?！?/p>

片斷三：活動探究，優(yōu)化新法

1.活動一：磁力片模擬實驗，用兩個邊長是1厘米的正方形拼成一個長方形，周長是多少？

2.活動二：拼拼樂游戲。動手拼一拼，比一比哪個四連方圖形的周長最短？為什么？

（1）每個人領(lǐng)取個人任務卡，組長統(tǒng)籌和指導。

（2）利用小組合作單，組長組織小組成員開展討論，匯總、歸納學習成果。

（3）學生代表發(fā)言，集體總結(jié)：田字型四連方圖形的周長最短，其它四連方圖形的周長一樣。進一步探究原因，得到結(jié)論：用相同的正方形拼四連方，公共邊數(shù)量越多，周長越短。

【評析：學生計算新圖形的周長會出現(xiàn)許多方法，通過對比、討論、動手操作，教師可在多種策略中著重優(yōu)化新法：探究并初步掌握“組合圖形的周長=兩個圖形周長之和-公共邊長度×2”的計算方法。例如“磁力片模擬實驗”通過實物操作兩個正方形拼在一起后發(fā)生的變化，更有助于學生理解掌握“把①號、⑤號圖形拼成一個大長方形”中周長減少與公共邊有關(guān)，而且每條公共邊長度要×2。經(jīng)過“拼拼樂游戲”動手探究中的活動操作、合作討論，有助于積累感性經(jīng)驗，體驗公共邊越多，周長越短的道理。在此過程中，ez Vision實物投影機可以實現(xiàn)多幅學生作品對比分析并實時標注，突破了投影儀單幅反饋的局限，有利于對比分析?！?/p>

片斷四：拓展提升，合情選擇

【評析：課的最后，給出兩道習題，請學生動筆思考后拿起投票反饋器選擇計算周長的最合理方法并陳述理由。通過此活動，引導學生了解每種方法都有自己適用的圖形、題型，溫故知新，培養(yǎng)學生根據(jù)問題條件來選擇合適方法的意識和能力?！?/p>

三、課例綜述，從多樣到靈活

1.方法多樣化。

本課是學習了長方形周長計算方法后的綜合運用課，通過這節(jié)課的學習，學生將掌握更多計算周長的方法。方法的多樣性是學生思維靈活的表現(xiàn)，多樣的方法也幫助學生從更多的角度、更好地理解“周長”的含義。

不同的圖形可以有不同的周長算法。對于規(guī)則圖形，利用公式計算；對于凹凸的不規(guī)則圖形，先平移再計算可以化繁為簡。而當多個同樣的圖形拼成組合圖形時，如何拼出周長最長或最短的圖形，只要利用公共邊數(shù)量就能一下找到需要構(gòu)建的模型了。

如：下面都是邊長為1厘米的正方形拼成的五連方圖形，請分別寫出它們的周長。

顯然，這時可以利用平移的方法來分別計算。也應該發(fā)現(xiàn)，這些五連方圖形沒有拼合之前的周長總和都為20，即它們的周長都是“20-公共邊長和”，從而圖形被分成兩類：第二個圖形單獨一類，有五條公共邊；其余一類，有四條公共邊。分別計算，得到兩個答案：第二個圖形——20-5×2=10cm；其余圖形——20-4×2=12cm。

又如：小虎用六個邊長均為1的等邊三角形在桌面上無重疊地拼接圖形，每個三角形都至少有一條邊與另一個三角形的一條邊完全重合，下圖是拼接出的兩個圖形。那么，在所有拼接出的圖形中，最小的周長是（）。（第二十屆華杯賽真題）

因為讓六個等邊三角形組成的新圖形公共邊越多，周長就越短，所以答案如圖。

本課采用組塊訓練，圍繞“公共邊”問題展開新算法的探究。先研究二連方，在學生自主嘗試的基礎(chǔ)上，引導學生根據(jù)周長的概念來評議算法的正確與否，結(jié)合操作、圖示，明確了拼成圖形的周長不能簡單等于原來圖形的周長之和。接著再研究四連方，經(jīng)過學生個體操作反思——學習小組合作交流——班級集體聚焦強化，逐步引導學生發(fā)現(xiàn)、量化周長與公共邊之間的關(guān)系。

2.方法的靈活選擇。

現(xiàn)實中，題目千變?nèi)f化，學生如何根據(jù)題目信息，選擇和建構(gòu)最合理的方法往往是教師比較期待的高水平的解題表現(xiàn)。

在周長計算策略多元與優(yōu)化后，我們更希望看到學生能巧求周長，即能夠根據(jù)圖形特點和題目要求，選擇比較簡便、靈動的周長算法來解決問題，而不是生搬硬套。如果說為了策略優(yōu)化，我們使用的是同一類型題目的共性比較，那策略的合理選擇就是不同題目的個性比較，以幫助學生提高甄別和選擇的能力。

本課中教師提供了兩道題目，希望幫助學生認識到新方法有自己的局限性，舊方法有自己的優(yōu)點，促使學生擇法而用，提高分析和判斷能力。