例談衛(wèi)星的變軌問題

摘要：本文從中學(xué)物理的角度，通過實(shí)例解析人造衛(wèi)星發(fā)射過程中的變軌運(yùn)動(dòng)，并給出變軌過程小結(jié).

關(guān)鍵詞：人造衛(wèi)星；軌道變化；運(yùn)動(dòng)

作者簡(jiǎn)介：許文，1988年畢業(yè)于華中師范大學(xué)物理系，從事中學(xué)物理教學(xué)與物理競(jìng)賽輔導(dǎo)工作近28年，擅長(zhǎng)于高中物理教學(xué)與研究，主研2個(gè)省級(jí)教科研課題，發(fā)表260余篇教學(xué)論文及20個(gè)多媒體教學(xué)課件，參加過湖北省試驗(yàn)教材的開發(fā)與編寫，為省級(jí)中學(xué)物理骨干教師舉行師資培訓(xùn)工作，榮獲全國(guó)教改優(yōu)秀教師稱號(hào).

我國(guó)的天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室與神舟十一號(hào)載人飛船分別于2016年9月15日22時(shí)4分、10月17日7時(shí)30分發(fā)射升空.天宮二號(hào)入軌后先在離地面393km的圓軌道上運(yùn)行，于10月19日凌晨與神舟十一號(hào)飛船在離地380km的圓軌道上順利實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接，兩名航天員進(jìn)駐天宮二號(hào)進(jìn)行一系列的科學(xué)實(shí)驗(yàn).飛船與天宮交會(huì)對(duì)接相關(guān)的一些物理問題將成為高考關(guān)注的熱點(diǎn).本文通過實(shí)例從中學(xué)物理的角度解析衛(wèi)星變軌與軌道調(diào)整中的相關(guān)物理問題.

一、衛(wèi)星的圓周運(yùn)動(dòng)

如圖1所示，設(shè)地球的質(zhì)量為M、半徑為R、表面的重力加速度為g、距地心O點(diǎn)r（r≥R）處繞地球圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星質(zhì)量為m、線速度大小為v、角速度大小為ω、周期為T.有G MmR2= mg；G Mmr2=mv2r=mω2r = m2πT2r，可得

v=GMr∝1r；ω=GMr3∝1r3；

T=4πr3GM∝r3.

二、衛(wèi)星的變軌問題

衛(wèi)星速度改變時(shí)，衛(wèi)星將變軌運(yùn)行.當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時(shí)，衛(wèi)星將會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，其周期變長(zhǎng)，機(jī)械能增加，最終穩(wěn)定在高軌道上圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度比在低軌道上??；當(dāng)衛(wèi)星速度減小時(shí)，衛(wèi)星將做向心運(yùn)動(dòng)，其周期變短，機(jī)械能減少，最終穩(wěn)定在低軌道上時(shí)的速度比在高軌道上大.

1同一運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的變軌

例12016年9月15日，我國(guó)“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室飛船發(fā)射升空，由長(zhǎng)征運(yùn)載火箭將飛船送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，B點(diǎn)距離地面高度為h，地球的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.“天宮二號(hào)”飛行幾周后進(jìn)行變軌，進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖2所示.已知“天宮二號(hào)”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，萬有引力常量為G，地球半徑為R.則下列說法正確的是

A“天宮二號(hào)”在橢圓軌道B點(diǎn)的向心加速度大于在預(yù)定圓軌道B點(diǎn)的向心加速度

B“天宮二號(hào)”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B點(diǎn)運(yùn)行的過程中，其機(jī)械能守恒

C“天宮二號(hào)”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B點(diǎn)運(yùn)行的過程中，動(dòng)能先減小后增大

D由題中給出的信息可以計(jì)算出地球的質(zhì)量為M=4π2n2（R+h）3Gt2

解析在B點(diǎn)，由GMmr2=ma知，無論在哪個(gè)軌道上的B點(diǎn)，其向心加速度相同；“天宮二號(hào)”在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)其機(jī)械能守恒；“天宮二號(hào)”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B點(diǎn)運(yùn)行的過程中，動(dòng)能一直減?。粚?duì)“天宮二號(hào)”在預(yù)定圓軌道上運(yùn)行，有GMm（R+h）2=m（R+h）4π2T2，而T=tn，故M=4π2n2（R+h）3Gt2.

答案BD

小結(jié)航天器在同一運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)變軌問題主要表現(xiàn)在對(duì)軌道高度進(jìn)行調(diào)整，要注意幾點(diǎn)：

（1）航天器變軌時(shí)軌道半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新軌道上的運(yùn)行速度變化由v=GMr判斷；

（2）航天器在變軌運(yùn)行時(shí)，若速度突然增大（發(fā)動(dòng)機(jī)短時(shí)間內(nèi)對(duì)其做正功）會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑增大，萬有引力做負(fù)功，其動(dòng)能減小，但機(jī)械能變大；若速度突然減小（發(fā)動(dòng)機(jī)短時(shí)間內(nèi)對(duì)其做負(fù)功）會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑減小，萬有引力做正功，其動(dòng)能增大，但機(jī)械能減?。辉谧冘夁^程中關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行時(shí)其機(jī)械能守恒；

（3）航天器經(jīng)過不同軌道相切的同一點(diǎn)時(shí)其加速度相等，但外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度.

例2我國(guó)的國(guó)土范圍在東西方向上大致分布在東經(jīng)70°到東經(jīng)135°，所以我國(guó)發(fā)射的通信衛(wèi)星一般定點(diǎn)在赤道上空36萬公里，東經(jīng)100°附近.假設(shè)某顆通信衛(wèi)星計(jì)劃定點(diǎn)在赤道上空東經(jīng)104°的位置，經(jīng)測(cè)量衛(wèi)星剛進(jìn)入軌道時(shí)位于赤道上空36萬公里，東經(jīng)103°處，為了把它調(diào)整到東經(jīng)104°處，可以短時(shí)間啟動(dòng)衛(wèi)星上的小型噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)整衛(wèi)星的高度，改變其周期，使其“漂移”到預(yù)定經(jīng)度后，再短時(shí)間啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)整衛(wèi)星的高度，實(shí)現(xiàn)定點(diǎn).關(guān)于兩次調(diào)整高度的方向依次是

A向下、向上B向上、向下

C向上、向上D向下、向下

解析同步衛(wèi)星運(yùn)行在地球赤道上空一定高度處，且衛(wèi)星的運(yùn)行方向應(yīng)與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，即由西向東轉(zhuǎn)，故應(yīng)向東調(diào)整.但調(diào)整衛(wèi)星高度和速度與調(diào)整前相比應(yīng)不變.我們從北極點(diǎn)上空俯視地球（如圖3所示），在同步軌道東經(jīng)103°處應(yīng)先將衛(wèi)星向下調(diào)低軌道，使其角速度變大，讓衛(wèi)星相對(duì)地球向東運(yùn)動(dòng)，再向上調(diào)高軌道，使其角速度減小，最終可使衛(wèi)星到達(dá)地球同步軌道東經(jīng)104°處相對(duì)地球靜止.

答案A

點(diǎn)評(píng)本題以同步衛(wèi)星為背景，考查萬有引力定律在人造衛(wèi)星上的應(yīng)用，定性分析人造衛(wèi)星運(yùn)行的線速度、角速度、周期的變化問題.問題的求解要具有一定的空間想象能力，能夠轉(zhuǎn)換角度從“北極點(diǎn)”上空俯視地球，合理構(gòu)建地球與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)情景的示意圖.

2不同運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的變軌

例3（2015全國(guó)卷Ⅱ）由于衛(wèi)星的發(fā)射場(chǎng)不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過調(diào)整再進(jìn)入地球同步軌道.當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運(yùn)行.已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為31×103 m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時(shí)的速度為155×103 m/s，此時(shí)衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖4所示，發(fā)動(dòng)機(jī)給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為

A西偏北方向，19×103 m/sB東偏南方向，19×103 m/s

C西偏北方向，27×103 m/sD東偏南方向，27×103 m/s

解析試題給出的一平面示意圖，在理解題意后，我們可以畫出如圖5所示的立體示意圖，這有利于從全方位把握對(duì)問題的分析.衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道與同步軌道相同高度處（即兩軌道的交點(diǎn)處），轉(zhuǎn)移軌道上的速度大小為v1=31×103 m/s，同步軌道上的速度大小為v2 =155×103 m/s.啟動(dòng)衛(wèi)星上發(fā)動(dòng)機(jī)使衛(wèi)星獲得一個(gè)附加速度Δv后，衛(wèi)星的速度應(yīng)由v1調(diào)整到v2 .如圖5所示，v1、v2、Δv應(yīng)組成一個(gè)矢量三角形.由余弦定理Δv=v21+v22-2v1v2cos30°=19×103m/s，方向?yàn)闁|偏南方向.

答案B

感悟衛(wèi)星在不同運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的變軌問題，除了考慮衛(wèi)星運(yùn)行的線速度、角速度、周期隨軌道半徑的變化外，還要考慮在變軌瞬時(shí)速度的合成與分解.問題的求解需要考生有一定的理解與分析能力，具有一定的空間想象力，合理地將衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的平面視圖轉(zhuǎn)化為立體視圖，靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問題.

練習(xí)

1如圖6所示，“神舟十一號(hào)”與“天宮二號(hào)”在交會(huì)對(duì)接前“神舟十一號(hào)”飛船先在較低圓軌道1上運(yùn)動(dòng)，在適當(dāng)位置經(jīng)變軌與在圓軌道2上運(yùn)動(dòng)的“天宮二號(hào)”對(duì)接.M、Q兩點(diǎn)在軌道1上，P點(diǎn)在軌道2上，三點(diǎn)連線過地球球心，把飛船的加速過程簡(jiǎn)化為只做一次短時(shí)加速.下列關(guān)于“神舟十一號(hào)”變軌過程的描述，正確的有

A“神舟十一號(hào)”在M點(diǎn)加速，可以在P點(diǎn)與“天宮二號(hào)”相遇

B“神舟十一號(hào)”在M點(diǎn)經(jīng)一次加速，即可變軌到軌道2

C“神舟十一號(hào)”經(jīng)變軌后速度大于變軌前的速度

D“神舟十一號(hào)”變軌后的運(yùn)行周期大于變軌前的運(yùn)行周期

2某人造地球衛(wèi)星在半徑為r的軌道1上做圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能為Ek，變軌到軌道2上后，動(dòng)能比在軌道1上減小了ΔE，在軌道2上也做圓周運(yùn)動(dòng)，則軌道2的半徑為