一種基于子域分解的表面混合網(wǎng)格生成方法

汪 攀 韓 磊 鞠傳明 池寶濤 張見明

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙,410082

一種基于子域分解的表面混合網(wǎng)格生成方法

汪 攀 韓 磊 鞠傳明 池寶濤 張見明

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙,410082

提出了一種新的基于子域分解的混合網(wǎng)格生成方法。該方法首先用映射法生成結(jié)構(gòu)化背景網(wǎng)格，并確定實(shí)體表面上包含的小孔、鍵槽等小特征在背景網(wǎng)格中的位置，然后刪除這些小特征覆蓋的背景網(wǎng)格，并在這些區(qū)域內(nèi)生成三角形網(wǎng)格，最后將剩余的背景網(wǎng)格和生成的三角形網(wǎng)格合并，得到整個(gè)目標(biāo)域的網(wǎng)格。該算法綜合了映射法效率高、網(wǎng)格質(zhì)量好、四邊形網(wǎng)格計(jì)算精度高，以及三角形網(wǎng)格幾何適應(yīng)能力強(qiáng)的優(yōu)勢。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，針對復(fù)雜的實(shí)體表面，新方法能夠全自動(dòng)地生成質(zhì)量較好的混合網(wǎng)格，生成的網(wǎng)格質(zhì)量及算法效率均優(yōu)于傳統(tǒng)的推進(jìn)波前法和鋪磚法。

混合網(wǎng)格; 背景網(wǎng)格; 網(wǎng)格生成; 子域分解

0 引言

在求解各類工程和科學(xué)計(jì)算問題時(shí)，有限元法或邊界元法[1-2]已成為最有效的數(shù)值分析方法，其中，網(wǎng)格的劃分直接影響計(jì)算精度和計(jì)算效率。在表面網(wǎng)格剖分方法中，三角形網(wǎng)格的自動(dòng)生成技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)成熟，如Delaunay三角剖分算法[3-4]、前沿推進(jìn)法(advancingfrontmethod,AFM)[5]等。在實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)化的四邊形網(wǎng)格在計(jì)算精度和計(jì)算效率上都優(yōu)于三角形網(wǎng)格，但是相對于三角形網(wǎng)格的自動(dòng)生成，四邊形網(wǎng)格的自動(dòng)生成算法不是很成熟。常見的四邊形網(wǎng)格生成算法有映射法[6]、Q-Morph算法[7-8]、鋪磚法[9-10]，這些算法往往比較復(fù)雜，效率低，或者生成的網(wǎng)格質(zhì)量不好。

在機(jī)械產(chǎn)品中，有許多含有小孔、鍵槽等小特征的零部件，若忽略這些小特征，則有一部分零部件的實(shí)體表面可以用映射法或子域映射法生成質(zhì)量非常好的結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格，可是由于這些小特征的存在，無法用映射法生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。為了解決這一問題，本文提出了一種新的基于子域分解的混合網(wǎng)格生成方法。該方法首先將復(fù)雜的目標(biāo)域分解為多個(gè)簡單的子域，然后在各個(gè)子域上進(jìn)行網(wǎng)格剖分，最后將各個(gè)子域的網(wǎng)格數(shù)據(jù)進(jìn)行組裝，從而得到整個(gè)目標(biāo)域的網(wǎng)格。對于帶小孔、鍵槽等小特征的表面，可將目標(biāo)域的網(wǎng)格分為兩塊，第一塊是背景網(wǎng)格中刪除小孔覆蓋的區(qū)域后剩余的網(wǎng)格，這一部分區(qū)域不需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分，取有效的背景網(wǎng)格即可；第二塊是包含小特征的一個(gè)矩形空腔，這一部分區(qū)域相對狹小且無規(guī)則，對這一子塊進(jìn)行網(wǎng)格剖分的時(shí)候，可以選用健壯性較好的算法生成非結(jié)構(gòu)化的三角形網(wǎng)格。本文生成的網(wǎng)格用于邊界元軟件開發(fā)的前處理過程，由于邊界元法特殊的優(yōu)勢，面與面之間的網(wǎng)格可以不連續(xù)。

1 四邊形質(zhì)量因子

網(wǎng)格質(zhì)量直接影響計(jì)算精度，本文采用幾何準(zhǔn)則對生成的網(wǎng)格質(zhì)量進(jìn)行評價(jià)。圖1所示的四邊形ABCD中，連接其對角線AC、BD，得到4個(gè)三角形△ABC、△ABD、△CDB、△CDA，先計(jì)算這4個(gè)三角形的質(zhì)量因子，然后根據(jù)這4個(gè)質(zhì)量因子，得到四邊形ABCD的質(zhì)量因子。

三角形的質(zhì)量因子α就是三角形的面積與邊長的平方和之比，即

α越大表示質(zhì)量越好。令4個(gè)三角形△ABC、△ABD、△CDB、△CDA的質(zhì)量因子依次為α1、α2、α3、α4，假設(shè)α1≥α2≥α3≥α4，則四邊形ABCD的質(zhì)量因子β為

2 算法原理

本文提出的算法是一種基于子域分解的網(wǎng)格生成方法，該方法將一個(gè)復(fù)雜實(shí)體表面分解為多個(gè)子域，然后在子域上進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最后將子域網(wǎng)格合并，得到整個(gè)目標(biāo)域的網(wǎng)格，其主要步驟如下:

(1)生成背景網(wǎng)格。以外邊界為基礎(chǔ)，用映射或子域映射法生成結(jié)構(gòu)化的四邊形網(wǎng)格。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格有很多優(yōu)點(diǎn)：網(wǎng)格生成的速度快，網(wǎng)格生成的質(zhì)量高，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單，算法效率高。

(2)確定小孔的位置。點(diǎn)在背景網(wǎng)格中的位置用參數(shù)Ncol、Nrow表示，其中Ncol為列數(shù)，Nrow為行數(shù)。為了確定小孔的位置，首先離散小孔邊界得到一系列的點(diǎn)，然后計(jì)算這些點(diǎn)對應(yīng)的Ncol、Nrow，最后通過這些點(diǎn)在背景網(wǎng)格中的位置來確定小孔的位置。

(3)生成三角形網(wǎng)格。去除小孔覆蓋的背景網(wǎng)格，得到一個(gè)空腔，將此空腔和空腔包含的小孔作為前沿，運(yùn)用其他健壯性較強(qiáng)的網(wǎng)格生成算法(本文采用推進(jìn)波前法)生成三角形網(wǎng)格。

(4)數(shù)據(jù)的組裝。將有效的結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格組裝起來，得到整個(gè)目標(biāo)域的網(wǎng)格數(shù)據(jù)。

3 算法實(shí)現(xiàn)過程

3.1 確定小孔在背景網(wǎng)格中的位置

小孔在背景網(wǎng)格中的位置由NcolL、NcolR、NrowD、NrowU4個(gè)參數(shù)確定，其中NcolL、NcolR表示矩形框的左右列數(shù)，NrowU、NrowD表示矩形框的上下行數(shù)。具體方法如下：首先將小孔的邊界離散，得到一系列的點(diǎn)，在參數(shù)空間計(jì)算每一個(gè)點(diǎn)在背景網(wǎng)格中的位置Ncol、Nrow。在圖2所示的背景網(wǎng)格中，假設(shè)點(diǎn)P在參數(shù)空間的坐標(biāo)為(u,v)，第1行1列的點(diǎn)設(shè)為基準(zhǔn)點(diǎn)，即圖2所示的(u0,v0)，設(shè)U向離散段數(shù)為NU，V向離散段數(shù)為NV，則Ncol和Nrow可以通過下式計(jì)算：

Ncol=(u-u0)/(Umax-Umin)NU
Nrow=(v-v0)/(Vmax-Vmin)NV

圖2 點(diǎn)在背景網(wǎng)格1中的位置Fig.2 The point location in background mesh 1

在圖3所示的背景網(wǎng)格中，由于參數(shù)空間相鄰的節(jié)點(diǎn)不是等距的，所以不能用圖2中的方法求Ncol和Nrow。此時(shí)應(yīng)按如下方法計(jì)算：假設(shè)背景網(wǎng)格總行數(shù)為N+1，總列數(shù)為M+1，標(biāo)記背景網(wǎng)格中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(um,vn)，其中m表示列數(shù)，n表示行數(shù)，假定P點(diǎn)的坐標(biāo)為(u,v)，首先確定P點(diǎn)所在的列，若P點(diǎn)在(um,v0)、(um+1,v0)、(um+1,vN)、(um,vN)所構(gòu)成的矩形框內(nèi)，則有Ncol=m，然后確定P點(diǎn)位于哪一行，若點(diǎn)P在(um,vn)、(um+1,vn)、(um+1,vn+1)、(um,vn+1)所構(gòu)成的矩形框內(nèi)，則有Nrow=n，此時(shí)點(diǎn)在背景網(wǎng)格中的位置坐標(biāo)(Ncol,Nrow)為(m,n)。

圖3 點(diǎn)在背景網(wǎng)格2中的位置Fig.3 The point location in background mesh 2

在實(shí)際操作中，可以根據(jù)需要適當(dāng)擴(kuò)大空腔，避免因空腔與小孔邊界構(gòu)成的區(qū)域過于狹長而導(dǎo)致生成的三角形網(wǎng)格質(zhì)量不理想。

3.2 確定有效的背景網(wǎng)格

小孔覆蓋的背景網(wǎng)格是無效的，這一部分的網(wǎng)格數(shù)據(jù)需要去除，如何快速定位這些無效的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，將在很大程度上影響網(wǎng)格生成的效率。假設(shè)小孔在背景網(wǎng)格中的位置參數(shù)(NcolL、NcolR、NrowD、NrowU)已確定，則小孔覆蓋的無效節(jié)點(diǎn)在存儲節(jié)點(diǎn)的一維數(shù)組Node[·]中的位置可以通過下式計(jì)算：

for(i=NrowD+1；i

for(j=NcolL+1；j

Node[k]=NU*i+j

確定了無效節(jié)點(diǎn)后，通過結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的拓?fù)潢P(guān)系搜索到與無效節(jié)點(diǎn)連接的邊，標(biāo)記這些搜索到的邊為無效邊，小孔覆蓋的無效單元在存儲單元的一維數(shù)組Cell[·]的位置可以用下式計(jì)算：

for(i=NrowD；i

for(j=NcolL；j

Cell[k]=(NU-1)*i+j

在背景網(wǎng)格中，去除這些無效的節(jié)點(diǎn)、邊、單元之后，得到一個(gè)空腔。相對于整個(gè)目標(biāo)域，此空腔相對狹小，在此狹小的空腔內(nèi)，本文采用比較成熟且自適應(yīng)能力較強(qiáng)的推進(jìn)波前法生成非結(jié)構(gòu)化的三角形網(wǎng)格。

3.3 得到前沿

用合適的尺寸對小孔進(jìn)行離散，得到一系列的離散點(diǎn)，這一系列的點(diǎn)以及空腔的邊界，即為新的前沿。將新的前沿加入到前沿鏈表中，作為推進(jìn)波前法的初始前沿，在基于八叉樹以及自適應(yīng)尺寸場共同作用的尺寸控制方式下，可以生成質(zhì)量良好且過渡均勻的非結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格。由于每次輸入推進(jìn)波前法的空腔以及空腔內(nèi)包含的小孔必須一一對應(yīng)，因此，當(dāng)實(shí)體表面上包含多個(gè)小孔時(shí)，應(yīng)對其小孔進(jìn)行循環(huán)。每次輸入一個(gè)空腔以及其包含的小孔，若小孔所對應(yīng)的空腔有重疊，會導(dǎo)致前沿相交，無法形成封閉的前沿，此時(shí)應(yīng)對空腔進(jìn)行特殊的處理，將重疊的空腔合并，得到一個(gè)連續(xù)封閉的環(huán)，并將其加入前沿鏈表。合并前后的空腔前沿如圖4所示。

(a)合并前 (b)合并后圖4 空腔前沿Fig.4 The front of cavities

3.4 邊界處網(wǎng)格質(zhì)量的改善

實(shí)際計(jì)算中，邊界處的網(wǎng)格質(zhì)量尤為重要，本文采用的推進(jìn)波前法可以在邊界處生成質(zhì)量較好且過渡均勻的三角形網(wǎng)格，但是在同等條件下，其計(jì)算精度和效率還是低于質(zhì)量較好的結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格。為了改善小孔附近的網(wǎng)格質(zhì)量，可以在小孔邊界處以按層推進(jìn)的方式鋪設(shè)結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格，推進(jìn)的層數(shù)由小孔邊界與空腔的最近距離決定。假設(shè)推進(jìn)的層數(shù)為N，小孔邊界與空腔的最近距離為Dmin，網(wǎng)格尺寸為ksize，則有N=Dmin/ksize-2，其中減2的幾何意義是預(yù)留2層，使得這部分過渡區(qū)域能夠用推進(jìn)波前法生成質(zhì)量相對較好的三角形網(wǎng)格。當(dāng)鋪設(shè)好的四邊形網(wǎng)格邊界與空腔邊界較近時(shí)，即使自適應(yīng)能力較強(qiáng)的推進(jìn)波前法也無法生成質(zhì)量較好的三角形網(wǎng)格。圖5所示為小孔邊界推進(jìn)層數(shù)為2的網(wǎng)格劃分。圖6所示為小孔的邊界與空腔邊界距離較小，推進(jìn)的層數(shù)為0的網(wǎng)格劃分。

圖5 邊界推進(jìn)層數(shù)為2的網(wǎng)格劃分Fig.5 The mesh generation with the layer of 2 boundary advancing

圖6 邊界推進(jìn)層數(shù)為0的網(wǎng)格劃分Fig.6 The mesh generation with the layer of 0 boundary advancing

當(dāng)出現(xiàn)小孔理想的離散尺寸遠(yuǎn)小于全局的網(wǎng)格尺寸的情況時(shí)，為滿足計(jì)算精度，小孔附近的網(wǎng)格尺寸不宜過大；但由于網(wǎng)格連續(xù)性，會導(dǎo)致網(wǎng)格數(shù)目的增加。為了解決這個(gè)問題，本文引入了過渡單元，使小孔附近較小的網(wǎng)格尺寸保證了計(jì)算精度，且背景網(wǎng)格較大的網(wǎng)格尺寸減少了網(wǎng)格數(shù)目。網(wǎng)格劃分如圖7所示。

圖7 添加過渡模塊后的網(wǎng)格劃分Fig.7 The mesh generation with transition template

綜上所述，實(shí)現(xiàn)此算法的流程如下：

(1)用映射法或子域映射法生成結(jié)構(gòu)化的四邊形背景網(wǎng)格。

(2)確定每個(gè)小孔在背景網(wǎng)格中的位置，然后刪除這些小孔覆蓋的背景網(wǎng)格。

(3)根據(jù)小孔在背景網(wǎng)格中的位置，對小孔進(jìn)行分組，將空腔重疊的小孔分為一組，并對其空腔進(jìn)行合并操作，假設(shè)小孔分為N組。

(4)for(i=0;i

{

得到小孔對應(yīng)的空腔的前沿；

離散小孔，得到實(shí)體邊界的前沿；

根據(jù)實(shí)體邊界前沿與空腔的距離，選取合成的推進(jìn)層數(shù)，生成結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格；

將上述前沿輸入推進(jìn)波前法生成三角形網(wǎng)格；

}

(5)將有效的背景網(wǎng)格和生成的三角形網(wǎng)格進(jìn)行組裝，得到整個(gè)目標(biāo)域的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，組裝后的網(wǎng)格在三角形和四邊形的交界處滿足網(wǎng)格連續(xù)性。

4 算例

本文給出4個(gè)常見的機(jī)械零部件模型的混合網(wǎng)格劃分實(shí)例，分別為帶孔洞的墊片(圖8a)、法蘭盤(圖8b)、階梯軸(圖8c)、帶焊縫的鋼架(圖9)。

(a)墊片 (b)法蘭盤

(c)階梯軸圖8 混合網(wǎng)格劃分Fig.8 The hybrid meshe generation

圖9 帶焊縫的鋼架的混合網(wǎng)格劃分Fig.9 The hybrid mesh generation of steel frame with welds

由圖8、圖9可知，本文提出的新方法在實(shí)際應(yīng)用中具有可行性，從網(wǎng)格分布來說大部分區(qū)域具有結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格，少部分區(qū)域具有非結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格。需要特別指出的是，對于帶焊縫的鋼架模型，由于系統(tǒng)誤差或布爾操作等原因，使得CAD數(shù)據(jù)中存在著小短邊、窄面和不光滑邊界等常見人工特征[11]。這些特征使得生成的網(wǎng)格質(zhì)量較差，甚至?xí)?dǎo)致網(wǎng)格劃分失敗(如用鋪磚法生成四邊形網(wǎng)格)。對經(jīng)過拓?fù)湫迯?fù)后的鋼架模型，用傳統(tǒng)的推進(jìn)波前法則對鋼架進(jìn)行網(wǎng)格劃分，會生成43 576個(gè)節(jié)點(diǎn)、 73 786個(gè)單元；采用本文介紹的新方法，會生成36 518個(gè)節(jié)點(diǎn)、43 267個(gè)單元。由此可見，新方法較大幅度地減小了生成網(wǎng)格的規(guī)模。

為了進(jìn)一步說明新方法的優(yōu)越性，將法蘭盤和階梯軸中用新方法進(jìn)行網(wǎng)格劃分的實(shí)體表面分別用推進(jìn)波前法和鋪磚法進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖10、圖11所示。對其生成的網(wǎng)格數(shù)量、質(zhì)量及效率進(jìn)行對比，結(jié)果如表1所示。

由表1可知，相對于推進(jìn)波前法，新方法生成的網(wǎng)格數(shù)量減少了近1/2。對于法蘭盤和階梯軸，用新方法的耗時(shí)分別為推進(jìn)波前法的1/5和1/3左右。相對于鋪磚法，新方法較大程度地提高了生成網(wǎng)格的質(zhì)量，且耗時(shí)分別為鋪磚法的1/18和1/5。

(a)三角形網(wǎng)格 (b)四邊形網(wǎng)格圖10 法蘭盤的網(wǎng)格劃分Fig.10 The mesh generation of flange

(a)三角形網(wǎng)格 (b)四邊形網(wǎng)格圖11 階梯軸的網(wǎng)格劃分Fig.11 The mesh generation of stepped shaft

表1 網(wǎng)格數(shù)量、質(zhì)量及三種方法效率的對比

5 結(jié)論

(1)本文提出的新方法生成的網(wǎng)格由絕大部分區(qū)域的結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格和少數(shù)區(qū)域的三角形網(wǎng)格組成，整個(gè)目標(biāo)域的網(wǎng)格質(zhì)量較好。

(2)新方法充分利用了映射法算法簡單、效率高、生成的網(wǎng)格好等優(yōu)勢，同時(shí)利用了推進(jìn)波前法幾何自適應(yīng)能力強(qiáng)的優(yōu)勢。

(3)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的算法能夠針對復(fù)雜實(shí)體的表面全自動(dòng)地生成質(zhì)量較好的混合網(wǎng)格，且算法效率較高。

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(編輯 王旻玥)

A New Surface Hybrid Mesh Generation Method Based on Subdomain Decomposition

WANG Pan HAN Lei JU Chuanming CHI Baotao ZHANG Jianming

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha，410082

A new hybrid mesh generation method was proposed based on subdomain decomposition. First, the structured background meshes were generated by mapping method and the locations of small features such as hole and keyway were determined. Then, the meshes which covered by small features were eliminated from background meshes, and unstructured triangular meshes were generated in this region. Finally, the meshes of target domain were obtained by combining the background meshes and the unstructured triangular meshes. It is capable of preserving the advantages of mapping’s high efficiency and high quality of the meshes, high computational accuracy of quadrangle meshes and the powerful geometric adaptive capacity of triangle meshes. Numerical experiments show that the proposed method may generate high quality hybrid meshes for complex surfaces automatically, the quality of resulting meshes and the algorithm efficiency are superior to traditional methods such as advancing front method and paving.

hybrid mesh; background mesh; mesh generation; subdomain decomposition

2016-07-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472102)

TP391DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2017.06.008

汪 攀，男，1987年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。主要研究方向?yàn)橛邢拊W(wǎng)格劃分技術(shù)。韓 磊，男，1988年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。鞠傳明，男，1991年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。池寶濤，男，1991年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。張見明(通信作者)，男，1965年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。E-mail:zhangjm@hnu.edu.cn。