整合教學(xué)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)有效復(fù)習(xí)

廣東省廣州市第97中學(xué)(510260) 林佳娜

整合教學(xué)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)有效復(fù)習(xí)

廣東省廣州市第97中學(xué)(510260) 林佳娜

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不是簡(jiǎn)單的知識(shí)重復(fù),而是再認(rèn)識(shí)、再提高的過程.復(fù)習(xí)中的最大矛盾是時(shí)間短、內(nèi)容多,學(xué)生之間的能力差距大.運(yùn)用教學(xué)內(nèi)容的整合,可以有效地解決這些矛盾.

林少杰老師指出:教材的內(nèi)容從總體上看,有主次之分,枝干之別.因此,內(nèi)容的提煉與整合應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)設(shè)計(jì)的核心,削枝強(qiáng)干、優(yōu)化結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn);教師應(yīng)建立有效的課內(nèi)技能訓(xùn)練系統(tǒng),在每位學(xué)生都在完成適合自己的任務(wù)的同時(shí),教師利用課內(nèi)的其余時(shí)間,從講臺(tái)上“解放”出來,走到學(xué)生中去,充分利用“非線性主干結(jié)構(gòu)”為不同的學(xué)生提供不同的“最近發(fā)展區(qū)”;教師要設(shè)計(jì)出適合于學(xué)生課內(nèi)外研討的問題系統(tǒng),組織起有效的活動(dòng),發(fā)展學(xué)生的潛能.這些觀點(diǎn)正是數(shù)學(xué)教育改革的需要.如今的數(shù)學(xué)教育就是“要建立以促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展為本的,以學(xué)科知識(shí)體系與人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的全面整合為中心的課程體系.”對(duì)于中考的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),要求“尤其要抓好初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容(包括基本概念、定理、公式、法則等)的教學(xué),不僅要重視知識(shí)和技能學(xué)習(xí)的落實(shí),而且要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,把握蘊(yùn)涵其中的的數(shù)學(xué)思想方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓和本質(zhì).”因此,我們?cè)谥锌紡?fù)習(xí)中要充分實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)與社會(huì)發(fā)展需求的有機(jī)結(jié)合.這就要求我們要更好地把握教材、把握考綱,整合出有利于學(xué)生復(fù)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容.本文從系統(tǒng)論的觀點(diǎn),探討復(fù)習(xí)整合的有效方法與策略.

一、關(guān)于整合教學(xué)內(nèi)容的探索

系統(tǒng)論告訴我們:一個(gè)系統(tǒng)的功能不僅取決于它內(nèi)部的要素,更取決于各要素之間的結(jié)構(gòu),具有良好結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),往往會(huì)出現(xiàn)“整體大于部分之和”的效果.

對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整合,就是要把學(xué)科的工具類知識(shí)和非工具類的重點(diǎn)知識(shí),整合為學(xué)習(xí)系統(tǒng)的主干.而對(duì)于學(xué)科的經(jīng)驗(yàn)類、非重點(diǎn)內(nèi)容,讓學(xué)生在活動(dòng)中形成經(jīng)驗(yàn)和完善知識(shí)結(jié)構(gòu),教師只在適當(dāng)時(shí)候點(diǎn)撥.

(一)整體知識(shí)的發(fā)散整合

數(shù)學(xué)里的各個(gè)概念、各個(gè)定理不是各自孤立,互不相干的,而是緊密聯(lián)系、互相制約、互為因果的,并按數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律形成一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系.對(duì)整體知識(shí)的復(fù)習(xí),教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要,提供給學(xué)生完整的、能夠引起主動(dòng)學(xué)習(xí)的任務(wù).

1.搭架式.搭建一個(gè)“支架”,把系統(tǒng)歸納的責(zé)任還給學(xué)生.

比如,在一章的復(fù)習(xí)前,提出問題:本章書有什么知識(shí)點(diǎn)?各知識(shí)之間有什么聯(lián)系?等等.要求學(xué)生自己去歸納,用自己的方式去建構(gòu)知識(shí)序列.用自己的語言(可以是文字語言、也可以是圖形語言)去描述所學(xué)的定義、定理、規(guī)則,并把它記錄下來,然后給同組的同學(xué)看,他歸結(jié)得對(duì)不對(duì),有什么地方可以進(jìn)行補(bǔ)充、修正.這樣,在同學(xué)的互相指正下,完成對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的整理.

2.主干式.在進(jìn)行每章書的復(fù)習(xí)時(shí),抓住知識(shí)的主干,把枝葉部分留給學(xué)生完成.

例如:圓的知識(shí)系統(tǒng)可以由兩種途徑進(jìn)行復(fù)習(xí):(1)抓性質(zhì)——中心對(duì)稱性與軸對(duì)稱性,(2)抓關(guān)系——圓與各種圖形的關(guān)系.復(fù)習(xí)時(shí),把這兩個(gè)線索抓住了,留給學(xué)生的是按圖索驥.這可以最大限度地留給學(xué)生主動(dòng)復(fù)習(xí)的機(jī)會(huì).

3.主題式.對(duì)于具有整體效應(yīng)的知識(shí),在復(fù)習(xí)時(shí)提出來加以類化.

例如:初中代數(shù)中有很多“不等于0”的規(guī)定.這些規(guī)定往往是考題里面的難點(diǎn).這些知識(shí)點(diǎn)包括:

(1)分式的分母“不等于零”.

(2)一元一次方程中的一次項(xiàng)系數(shù)“不等于零”.

(3)一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)“不等于零”.

(4)函數(shù)中有關(guān)系數(shù)“不等于零”.

(5)等比性質(zhì)中“不等于零”的規(guī)定.

這些問題要求學(xué)生自己去把它們挖掘出來,各自舉出相應(yīng)的例子,可以通過小組學(xué)習(xí)完成.

(二)局部知識(shí)的關(guān)聯(lián)整合

“非線性”教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)“循環(huán)向前”,學(xué)生對(duì)整體知識(shí)的認(rèn)識(shí)是忽略細(xì)節(jié)與技巧,較為粗糙的,要使學(xué)生真正把握知識(shí),就必須設(shè)計(jì)有效的對(duì)局部知識(shí)的強(qiáng)化訓(xùn)練.通過呈現(xiàn)問題,進(jìn)行有效的訓(xùn)練,要求問題要具備以下特點(diǎn):(1)目的性明確,有針對(duì)性;(2)有啟發(fā)性,能啟迪思維;(3)能活躍氣氛,使興趣加濃.在實(shí)踐中,以下的呈現(xiàn)方式是比較有效的:

1.一串問題,一個(gè)知識(shí)

G.波利亞指出,學(xué)習(xí)解題的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn).在學(xué)習(xí)過程中,教師要為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)適合他自己去尋找知識(shí)的意境,使學(xué)生經(jīng)常處于“憤”與“悱”的境地,引導(dǎo)學(xué)生去做力所能及的事.“一串問題,一個(gè)知識(shí)”就是讓學(xué)生體驗(yàn)做力所能及的事的最好的方法.它主要用于處理重要知識(shí)點(diǎn)的不同側(cè)面的理解與熟練運(yùn)用上.比如:在復(fù)習(xí)“一元二次方程的根的判別式”時(shí),給出問題:

例1:(1)寫出一個(gè)兩根之和是1的一元二次方程.

(2)寫出一個(gè)兩根之積是1000的一元二次方程.

(3)寫出一個(gè)兩根相等的一元二次方程.

(4)試寫出k的值,使含未知數(shù)的方程x2+3x+4k=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解.

以上問題學(xué)生一看就會(huì),一下子就能寫出自以為正確的答案,例如:寫出(1)的方程:x2?x+1=0.初看:是一元二次方程;根據(jù)韋達(dá)定理,兩根之和是1.好象沒有錯(cuò).教師先不必點(diǎn)破,讓學(xué)生把結(jié)果展現(xiàn)出來,給全班同學(xué)評(píng)判,這時(shí)學(xué)生間的一句:“這方程的根的判別式小于0,它根本就沒有實(shí)數(shù)根”.學(xué)生恍然大悟,其他同學(xué)也會(huì)馬上檢查自己其他各題是否也犯了同樣的錯(cuò)誤.這比老師講多少遍都有效.

2.一個(gè)問題(條件),一串知識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)特殊的認(rèn)識(shí)過程,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中,學(xué)生需要具備一定的能力,而能力是有層次的,它從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從低級(jí)到高級(jí),分階段出現(xiàn).提出一個(gè)問題(條件),串出一連串的知識(shí).這是最容易檢查學(xué)生的能力到達(dá)的層次,從而組織有針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練的方法,這對(duì)于連帶知識(shí)的復(fù)習(xí)很有效.

例2:已知:三點(diǎn)的坐標(biāo):(1,?4),(2,?3),(4,5).

(1)求經(jīng)過這三點(diǎn)的拋物線的解析式.

(2)求出拋物線的開口方向,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

(3)x取何值時(shí),函數(shù)有最值,最值是多少?

(4)求拋物線與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo).

(5)求拋物線與x軸的交點(diǎn)C、D的坐標(biāo).

(6)作出函數(shù)的圖象.

(7)求△ACD和△BCD的面積.

學(xué)生看到這些題目,很容易就一步一步做下去了,學(xué)生做完了,二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)也復(fù)習(xí)得差不多了.這時(shí)老師要及時(shí)總結(jié)、提升.關(guān)注學(xué)生哪些問題可以過關(guān)、哪些問題沒有過關(guān),并點(diǎn)明解題過程用到的知識(shí)和方法.如:這些方法包括:(1)用到待定系數(shù)法,(2)和(3)用到配方法,(4)和(5)用到方程思想,(6)和(7)用到數(shù)形結(jié)合思想.

借助于建構(gòu)主義的觀點(diǎn),用“一串問題,一個(gè)知識(shí)”和“一個(gè)問題,一串知識(shí)”,有效組織學(xué)生的課堂技能訓(xùn)練,教師從講臺(tái)上“解放”出來,更多地去關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑,為不同的學(xué)生提供不同的“最近發(fā)展區(qū)”,并給以最及時(shí)的引導(dǎo)和幫助.

(三)以數(shù)學(xué)思想方法為主線的整合

經(jīng)常聽到學(xué)生這樣說:“我上課時(shí),例題都能聽明白,但自己做題就不會(huì)了”,“同例題類似的題,我會(huì)做,一變樣就不會(huì)了”.究其原因是學(xué)生并沒有真正理解例題的本質(zhì)及掌握解法的實(shí)質(zhì).如果用數(shù)學(xué)的思想方法來指導(dǎo)解題,就能從根本上改變這種狀況.復(fù)習(xí)中可以從以下方面進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的整合.

1.突出統(tǒng)帥作用的整合

就是要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到用數(shù)學(xué)思想的高度來總結(jié)學(xué)過的知識(shí),好比用一根線把一串珍珠(知識(shí)點(diǎn))連起來,既有條理,又不易遺忘.如:復(fù)習(xí)平面幾何的“面積、勾股定理”這一章,要建立起各圖形的面積公式之間的聯(lián)系,找出本章的特殊思想方法“割補(bǔ)法”與“等積變形”,用這一思想方法概括,才能達(dá)到對(duì)知識(shí)整合的目的.

2.深刻領(lǐng)會(huì)細(xì)節(jié)的整合

就是要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法在具體運(yùn)用上的細(xì)微的差別.如:在解一元二次方程和求函數(shù)的最值及代數(shù)證明題都會(huì)用到配方法,但它們?cè)谶\(yùn)用上是有區(qū)別的,可以通過例題進(jìn)行對(duì)比講解,讓學(xué)生明白它們之間的共同點(diǎn)與差別.

例3:(1)用配方法解方程:2x2+7x?16=0.

(2)用配方法求二次函數(shù)y=2x2+7x?16的頂點(diǎn)坐標(biāo).

(3)證明m不論取何值時(shí),方程x2?2(m+1)x+4m?1= 0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

同樣是用配方法解題,(1)和(2)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的處理就完全不同,而(3)用到配方法是比較隱蔽的,同時(shí),用配方法是解此題的必經(jīng)之路,需要自己的主動(dòng)構(gòu)造.

3.經(jīng)歷總結(jié)提高的整合

在中考復(fù)習(xí)進(jìn)行到一定的階段以后,要強(qiáng)化對(duì)以下幾個(gè)數(shù)學(xué)思想方法的理解運(yùn)用:

(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.轉(zhuǎn)化是指化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體、化高次為低次、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的解題策略.任何數(shù)學(xué)問題都是通過數(shù)或形的逐步轉(zhuǎn)化,從而揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系而使問題獲得解決的.

(2)數(shù)形結(jié)合的思想.“數(shù)”與“形”是密切相關(guān)的兩個(gè)數(shù)學(xué)表象,也是數(shù)學(xué)研究的兩大對(duì)象.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微.”在解題中把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合是優(yōu)化思維品質(zhì)的有效途徑.

求:k滿足什么條件時(shí),這兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)這時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,試比較∠AOB與90°的大小.

分析:問何時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn),可以轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程,進(jìn)一步用判別式得到.而判斷角的大小,就必須通過畫圖,用圖象幫助理解.兩個(gè)函數(shù):一個(gè)的圖象是直線、另一個(gè)是雙曲線.直線是明確的,過一、二、四象限,而求出的雙曲線的k＜16,也就是k值可正可負(fù),導(dǎo)致結(jié)果必須分類.

(3)運(yùn)用方程的思想.簡(jiǎn)單地說就是利用已知條件構(gòu)造方程(組)解題.

例6:如圖,在△ABC中, AB=5,AC=7,∠B=60°,求BC的長(zhǎng).

分析:通過作BC邊上的高,把圖形分成兩個(gè)直角三角形,列出方程,馬上可以得解.

圖1

(4)運(yùn)用分類討論的思想.分類討論的思想在代數(shù)、幾何的學(xué)習(xí)中是常見的,如一元二次方程根的判別式、一次函數(shù)的性質(zhì)、兩個(gè)幾何圖形的位置關(guān)系(點(diǎn)和直線、直線與直線、直線和圓)等.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),當(dāng)研究對(duì)象不惟一時(shí),需要對(duì)可能出現(xiàn)的情況一一加以討論,這種對(duì)事情分情況加以討論的思想,復(fù)習(xí)時(shí)要注意對(duì)它的研究,要理解什么時(shí)候要分類,如何分類.

例7:試判斷關(guān)于x的方程(m2?m?2)x2+2(m?2)x+1=0的根的情況.

分析:對(duì)字母系數(shù)的方程ax2+bx+c=0的解,在同一層次上存在兩大類情況:a/=0和a=0.即:在m2?m?2/=0的前提下,即m/=?1且m/=2時(shí),存在第二個(gè)層次的3種情況(判別式).在m2?m?2/=0的前提下,即m=?1或m=2時(shí),第二層次中存在2種情況(m值不同,解也不同).

二、整合案例—–函數(shù)的復(fù)習(xí)

(一)整體分析:本部分的知識(shí)點(diǎn)包括:平面直角坐標(biāo)系、常量和變量、函數(shù)概念、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù).結(jié)合復(fù)習(xí)指導(dǎo)書和初三代數(shù)教材,復(fù)習(xí)用5個(gè)課時(shí):

第一課時(shí):勾畫本章的知識(shí)樹(整體感知和建構(gòu)).通過“平面直角坐標(biāo)系”和“函數(shù)概念”熟悉對(duì)應(yīng)思想.進(jìn)行平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)自變量取值范圍和求函數(shù)值的局部訓(xùn)練.

第二課時(shí):求函數(shù)的解析式.熟悉對(duì)應(yīng)思想—–能根據(jù)問題特點(diǎn)確定用哪種函數(shù)解析式.待定系數(shù)法的局部訓(xùn)練.

第三課時(shí):各類函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù))的圖象與性質(zhì),熟悉用方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想找出圖象與某些圖形(坐標(biāo)軸或其他)的交點(diǎn)問題.進(jìn)行求交點(diǎn)和圖形面積的局部訓(xùn)練.

第四課時(shí):數(shù)形結(jié)合研究二次函數(shù)的圖象特點(diǎn).熟悉配方法求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)等.第五課時(shí):函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

(二)一個(gè)課例:—–求函數(shù)的解析式

設(shè)計(jì)意圖:這是初三復(fù)習(xí)課中,函數(shù)復(fù)習(xí)的第2節(jié)課.通過本節(jié)課的教學(xué),希望達(dá)到以下幾個(gè)目的:

1.通過函數(shù)解析式的求解,使學(xué)生熟悉掌握求函數(shù)解析式的幾種方法.

2.理解待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì),能夠靈活運(yùn)用待定系數(shù)法解題.

3.熟悉幾類函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,學(xué)會(huì)“對(duì)號(hào)入座”,從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.

教學(xué)過程:

1.提出問題,搭建支架

1.1 求函數(shù)的解析式的方法:

(1)待定系數(shù)法:先根據(jù)函數(shù)的類型,作出假設(shè),設(shè)出式子中的未知系數(shù),再根據(jù)條件求出未知系數(shù),從而寫出這個(gè)式子.

(2)圖象信息法:根據(jù)圖象中給出的信息,尋找相關(guān)的條件求解.

(3)題意與圖形結(jié)合法:注意讀懂題意和圖形,挖掘隱含條件,按需要列式求解.

1.2 幾種類型的函數(shù)解析式及其求法:

函數(shù)類型函數(shù)解析式求解條件正比例函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)一般式頂點(diǎn)式交點(diǎn)式

2.局部訓(xùn)練,關(guān)聯(lián)整合

2.1 一串問題,一個(gè)知識(shí)—–待定系數(shù)法

練習(xí):(1).若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(?9,2),則正比例函數(shù)的解析式是____.

(3).若一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,?3),B(3,1),則解析式為____.

(4).一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1)且平行于直線y=2x+3,這個(gè)一次函數(shù)的解析式為____.

(5).寫出一個(gè)過點(diǎn)(0,3)的函數(shù)的解析式____.

(6).設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,3),且過點(diǎn)(1,1),則此函數(shù)解析式為___.

(7).寫出符合下列圖意的函數(shù)解析式:

2.2 一個(gè)問題,一串知識(shí)——函數(shù)解析式、自變量取值范圍、圖形面積;數(shù)形結(jié)合法等

例題:

已知直線y=6?x與兩條坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P(x,y)在線段AB上,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,0),△POM的面積為S.

(1)S與y具有怎樣的函數(shù)關(guān)系?寫出其中自變量y的取值范圍;

圖3

(2)S與x具有怎樣的函數(shù)關(guān)系?寫出其中自變量x的取值范圍;(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為何值時(shí),△PMB與△AOP的面積相等?

3.練習(xí)鞏固,總結(jié)提高

3.1 小結(jié):

求函數(shù)解析式時(shí),要注意分清問題是否提供了函數(shù)的類型.如果有,按照類型進(jìn)行假設(shè),然后用待定系數(shù)法求解;如果沒有,要注意審題,根據(jù)題意去尋找函數(shù)關(guān)系.

3.2 課堂練習(xí):

(1).設(shè)拋物線交x軸于點(diǎn)(?1,0)、(7,0),且過點(diǎn)(3,?8),則此函數(shù)解析式為___.

(2).若直線y=kx+b的圖象平行直線y=?2x+1,并與y軸交于點(diǎn)(0,4),則這條直線的解析式是___.

(3).如圖,在△ABC中,∠C=90°,P為AB上一點(diǎn),且P不與點(diǎn)A重合,過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC邊于E點(diǎn),E不與點(diǎn)C重合,若AB=10, AC=8,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,四邊形PECB的周長(zhǎng)為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.并求自變量x的取值范圍.