舉例說(shuō)明應(yīng)用輔助角公式的注意細(xì)節(jié)

蔡英峰

從近幾年數(shù)學(xué)高考試題來(lái)看，運(yùn)用誘導(dǎo)公式以及和、差、倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)恒等變形，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，是各省高考的熱點(diǎn)。

要想解決這一類問(wèn)題，要用到如的“一角、一名、一次”形式，進(jìn)而求解周期、最值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心以及判定函數(shù)單調(diào)性與奇偶性等函數(shù)綜合性問(wèn)題。但在最后的化簡(jiǎn)過(guò)程中一定要用到輔助角公式：（其中）。

例1.已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

解析：欲求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，必須先化簡(jiǎn)，其中，接著求出角的值。

有的學(xué)生說(shuō)：“?！睂⑦@個(gè)結(jié)果代入檢驗(yàn)，卻發(fā)現(xiàn)解答錯(cuò)誤。因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有注意到公式中點(diǎn)（a，b）一定在角的終邊上，即角的終邊所在的象限和點(diǎn)（a，b）所在象限是一致的。因?yàn)辄c(diǎn)（a，b）在第三象限，所以相應(yīng)的角也應(yīng)在第三象限取值，即。所以，然后利用整體思想求單調(diào)區(qū)間。

解：依題意可知： ，則

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：

這道題目可以變式成以下三種形式：

①將函數(shù) 變式成 的形式；

②將函數(shù) 變式成 的形式；

③將函數(shù) 變式成 的形式。

在做完以上題目后，筆者會(huì)綜合知識(shí)，要求學(xué)生完成下面的例題。

例2.設(shè)函數(shù)的最小正周期為。①求實(shí)數(shù)的值；②若函數(shù)的圖像是由的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求的單調(diào)增區(qū)間。

解析：

①依題意可知：，故實(shí)數(shù)的值為。

②依題意可知：

由

解得

故的單調(diào)增區(qū)間為：

綜上可知，輔助角公式：

（其中）

學(xué)生只有確定角的取值，才能正確解答此類題型：即角的終邊所在象限和點(diǎn)（a，b）所在象限是一致的，所以角必須在相應(yīng)的象限內(nèi)取值。

（作者單位：江西省南昌縣蓮塘一中）