數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用

史玉林

數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其知識(shí)、思想和方法始終滲透、貫穿于整個(gè)高中物理的學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中，它為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供了有效的方法，為物理學(xué)中的定量分析和計(jì)算提供了有力的工具.在處理某些物理問(wèn)題時(shí)，常用的數(shù)學(xué)方法有導(dǎo)數(shù)分析法、向量分析法、圓錐曲線(xiàn)法、函數(shù)表達(dá)法、數(shù)列分析法等.

一、導(dǎo)數(shù)分析法

例1 如圖1所示為一單擺的共振曲線(xiàn)，該單擺的擺長(zhǎng)約為m， 發(fā)生共振時(shí)，單擺振動(dòng)過(guò)程中最大速度為m/s.

（π2=10，g=10 m/s2）圖1

解析由圖1可知，該單擺的固有周期為2s，由周期公式T=2πl(wèi)g，可計(jì)算出擺長(zhǎng)約為1 m.由圖像所提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，可知該單擺在共振時(shí)的振動(dòng)方程為x=0.08sin（πt+φ），因dxdt=v，故上述方程對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，即可得共振時(shí)的速度方程為v=0.08πcos（πt+φ）.當(dāng)cos（πt+φ）=1時(shí)，即單擺在發(fā)生共振時(shí)有最大速度，數(shù)值為vmax=0.08πm/s.

二、向量分析法

例2從空中同一點(diǎn)沿水平方向同時(shí)拋出兩個(gè)小球，它們初速度的大小分別為v1和v2，初速度的方向相反，經(jīng)過(guò)t=兩球速度之間的夾角恰為900.（不計(jì)空氣阻力）

解析考慮到兩小球在平拋過(guò)程中水平速度大小不變，豎直速度大小隨時(shí)間呈線(xiàn)性變化.若規(guī)定其中一球速度向量為（v1，gt），則另一球的速度向量可表示為（-v2，gt）.由數(shù)學(xué)知識(shí)知：若兩向量A（x1，y1），B（x2，y2）互相垂直，則滿(mǎn)足x1x2+y1y2=0.那么，對(duì)于本題而言，當(dāng)兩球速度之間的夾角恰為90°時(shí)，有-v1v2+g2t2=0，從而解得t=v1v2g.

三、圓錐曲線(xiàn)法

例3如圖2所示，在雙曲線(xiàn)x216-y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1和F2放置兩個(gè)頻率相同的波源，它們激起的波的波長(zhǎng)為4 cm.就圖中A、B、C、D四個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，下面說(shuō)法中正確的是（）.圖2

A. 若A、B振動(dòng)加強(qiáng)，則C、D振動(dòng)一定減弱

B. 若A、B振動(dòng)加強(qiáng)，則C、D振動(dòng)加強(qiáng)

C. A、B、C、D一定振動(dòng)加強(qiáng)

D. A、B、C、D一定振動(dòng)減弱

解析由于A、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)中雙曲線(xiàn)的基本定義可知，A、B兩點(diǎn)分別到兩焦點(diǎn)F1、F2距離的差值的絕對(duì)值Δx為一定值.由雙曲線(xiàn)的方程可知該定值Δx=8 cm.從高中物理機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波的角度來(lái)理解，該差值恰為振動(dòng)中的波程差，且滿(mǎn)足Δx=2λ.當(dāng)兩振源起振方向相同時(shí)，A、B兩點(diǎn)為振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)，若兩振源起振方向相反時(shí)，A、B兩點(diǎn)為振動(dòng)減弱點(diǎn)，但本題對(duì)兩振源的起振方向并沒(méi)有明確的說(shuō)明，故選項(xiàng)C、D不正確.由于C、D兩點(diǎn)分別到兩振源的距離差值為0，若A、B振動(dòng)加強(qiáng)，C、D也一定振動(dòng)加強(qiáng)，故該題正確選項(xiàng)為B.

四、函數(shù)表達(dá)法

例4為了測(cè)量由兩節(jié)干電池組成的電池組的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如圖3甲所示的實(shí)驗(yàn)電路，其中R為電阻箱， R0=5Ω為保護(hù)電阻.斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，調(diào)整電阻箱的阻值，再閉合開(kāi)關(guān)S，讀取并記錄電壓表的示數(shù)及電阻箱接入電路中的阻值.多次重復(fù)上述操作，可得到多組電壓值U及電阻值R，并以1U為縱坐標(biāo)，以1R為橫坐標(biāo)，畫(huà)出1U-1R的關(guān)系圖線(xiàn)（該圖線(xiàn)為一條直線(xiàn)），如圖3乙所示.由圖線(xiàn)可求得電池組的電動(dòng)勢(shì)E=

V，內(nèi)阻r=Ω.（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

解析根據(jù)閉合回路歐姆定律知：E=U+UR（R0+r），根據(jù)乙圖橫、縱軸信息對(duì)上述表達(dá)式變形可得相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：1U=R0+rE·1R+1E，由乙圖中所反映的截距和斜率信息可得：1E=0.35和R0+rE=1.42-0.350.5，聯(lián)立方程組解得E=

2.9 V，r=1.1 Ω.

五、數(shù)列分析法

例5現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng).在真空中存在著如圖4所示的多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的寬度均為d，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右；磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里.電場(chǎng)、磁場(chǎng)的邊界互相平行且與電場(chǎng)方向垂直，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場(chǎng)左側(cè)邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子重力及運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射.

（1）求粒子在第2層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v2的大小與軌跡半徑r2；

（2）粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn .

解析粒子在進(jìn)入第2層磁場(chǎng)時(shí)，經(jīng)過(guò)兩次電場(chǎng)加速，中間穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)洛倫茲力不做功.由動(dòng)能定理，有

2qEd=12mv22（1）

由（1）式解得 v2=2qEdm（2）

粒子在第2層磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力充當(dāng)向心力，有qv2B=mv22r2 （3）

由（2）（3）式解得

r2=2BmEdq（4）

（2）設(shè)粒子在第n層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為vn，軌跡半徑為rn（各量的下標(biāo)均代表粒子所在層數(shù)，下同）.

nqEd=12mv2n（5）

qvnB=mv2nrn（6）

粒子進(jìn)入第n層磁場(chǎng)時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為αn，從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θn，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，垂直于電場(chǎng)線(xiàn)方向的速度分量不變，有

vn-1sinθn-1=vnsinαn（7）

由圖5看出rnsinθn-rnsinαn=d（8）

由（6）（7）（8）式得

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d（9）

由（9）式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…，rnsinθn為一等差數(shù)列，公差為d，可得

rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d（10）

當(dāng)n=1時(shí)，由圖6看出r1sinθ1=d（11）

由（5）（6）（10）（11）式得sinθn=Bnqd2mE

小結(jié)物理和數(shù)學(xué)息息相關(guān)，學(xué)生在解答某些物理問(wèn)題的時(shí)候，如果能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，將物理題目中原本復(fù)雜的問(wèn)題，化難為易或化抽象為形象，可以讓人一目了然，從而對(duì)題目進(jìn)行便捷的求解.綜上，以上各種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，足以說(shuō)明數(shù)學(xué)在高中物理課程中的重要性.

（收稿日期：2016-09-16）