蔡勇全
一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.復(fù)數(shù)z=m-2i1+2i(m∈R,i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能在().
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.集合A=x|x<0,B={x|y=
lgxx+1},若A-B=x|x∈A,且xB,則A-B=().
A.x|x<-1B.x|-1≤x<0
C.x|-1 3.已知O是銳角ΔABC的外心,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),則( ). A.x+y≤-2B.-2≤x+y<-1 C.x+y<-1D.-1 4.已知在圓x2+y2-4x+2y=0內(nèi),過點(diǎn) E1,0的最長弦和最短弦分別是AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(). A.35B.65C.415D.215 5.4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘,每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用,則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有( ). A.24種B.36種C.48種D.60種 6.某幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖1所示,若該幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球體的表面積是(). A.24πB.12π C.6πD.3π 7.如果當(dāng)x=π4時(shí),函數(shù)fx=Asinx+φ(A>0)取得了最小值,那么函數(shù)y=fπ4-x是( ). A.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)π2,0對稱 B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=π2對稱 C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=π2對稱 D.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)π2,0對稱 8.某算法的程序框圖如圖2所示,則輸出S的值是( ). A.6 B.24 C.120 D.840 9.設(shè)α為銳角,且2tanπ-α-3cosπ2+β+5=0,tanπ+α+6sin(π+β)=1,則sinα的值是( ). A.355B.377 C.31010D.13 10.甲、乙兩人各自在300米長的直線形跑道上跑步,則在任一時(shí)刻兩人在跑道上相距不超過50米的概率是( ). A.16B.13C.1136D.1536 11.過曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F1做曲線C2:x2+y2=a2的切線,設(shè)切點(diǎn)為M,延長F1M交曲線C3:y2=2px(p>0)于點(diǎn)N,其中C1、C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn),若MF1=MN,則曲線C1的離心率為( ). A.5B.5-1C.5+1D.5+12 12.若對于x,y∈0,+∞,不等式4ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值是(). A.14B.1C.2D.12 二、填空題(本題共4小題,每小題5分) 13.A,B,C,D四人猜測自己所買彩票的中獎(jiǎng)情況. A說“如果我中獎(jiǎng)了,那么B也中獎(jiǎng)了.” B說“如果我中獎(jiǎng)了,那么C也中獎(jiǎng)了.” C說“如果我中獎(jiǎng)了,那么D也中獎(jiǎng)了.” 結(jié)果三人都沒有說錯(cuò),但是只有兩人中獎(jiǎng)了,這兩人是. 14.x2+a2x2+2a4展開式的常數(shù)項(xiàng)為280,則正數(shù)a=. 15.在ΔABC中,∠B=45°,D是BC邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,則AB的長為. 16.已知函數(shù)fx=x2+2x,x≤0,fx-1+1,x>0.當(dāng)x∈0,100時(shí),關(guān)于x的方程fx=x-15的所有解的和為. 三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) 17.(本小題滿分12分)在數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=nn+12. (Ⅰ)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)bn=an2n,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的取值范圍. 18.(本小題滿分12分)甲、乙兩位同學(xué)練習(xí)三分球定點(diǎn)投籃,規(guī)定投中得三分,未投中得零分,甲每次投中的概率為13,乙每次投中的概率為14. (Ⅰ)求甲投籃三次恰好得三分的概率; (Ⅱ)假設(shè)甲投了一次籃,乙投了兩次籃,設(shè)X是甲這次投籃得分減圖3去乙這次投籃得分總和的差,求隨機(jī)變量X的分布列. 19.(本小題滿分12分)如圖3所示,四邊形ABCD是梯形,四邊形CDEF是矩形,平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=12CD,M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn). (Ⅰ)試確定點(diǎn)M的位置,使AC∥平面DMF,并說明理由; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值. 20.(本小題滿分12分)動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F1,0的距離和它到直線l∶x=4的距離之比是常數(shù)12,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程,并說明軌跡E是什么圖形? (Ⅱ)已知圓C的圓心在原點(diǎn),半徑長為2,是否存在圓C的切線m,使得m與圓C相切于點(diǎn)P,與軌跡E交于A、B兩點(diǎn),且使等式AP·PB=OP2成立?若存在,求出m的方程;若不存在,請說明理由. 21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f1x=12x2,f2x=alnx(其中a>0). (Ⅰ)求函數(shù)fx=f1xf2x的極值; (Ⅱ)若函數(shù)gx=f1x-f2x+a-1x在區(qū)間1e,e內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求證:當(dāng)x>0時(shí),lnx+34x2-1ex>0(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).
請考生在第22~23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.
22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:x-22+y2=4.
(Ⅰ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別求圓C1和圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(Ⅱ)求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程.
23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)fx=2x+1-x-3.
(Ⅰ)解不等式fx>0;
(Ⅱ)已知關(guān)于x的不等式a-3x-3<
fx恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
一、選擇題
1.A2.B3.C4.D5.D6.C7.D8.C9.C10.C11.D12.D
二、填空題
13.C,D 14.2 15.562 16.10000
三、解答題
17. 解(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nn+12-
n-1n2=n,經(jīng)驗(yàn)證,a1=1滿足上式,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=n.
(Ⅱ)由題意,易得Tn=12+222+323+…+n2n,則12Tn=122+223+324+…+n2n+1,兩式相減,得Tn-12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1,所以Tn=2-n+22n.由于Tn+1-Tn=n+12n+1>0,則Tn單調(diào)遞增,故Tn≥T1=12,又Tn=2-n+222<2,故Tn的取值范圍是12,2.
18.解(Ⅰ)甲投籃三次恰好得三分即1次投中2次未投中,∵甲投籃三次投中的次數(shù)x~B3,13,∴Px=1=C13×13×1-132=49,甲投籃三次恰好得三分的概率為49.
(Ⅱ)設(shè)甲投中的次數(shù)為m,乙投中的次數(shù)為n,則
①當(dāng)m=0,n=2時(shí),X=-6,PX=-6=23×C22×142=124;
②當(dāng)m=1,n=2或m=0,n=1時(shí),X=-3, PX=-3=13×142+23×C12×14×34=1348 ;
③當(dāng)m=1,n=1或m=0,n=0時(shí),X=0,PX=0=13×C12×14×34+23×C02×342=12.
④當(dāng)m=1,n=0時(shí),X=3,PX=3=13×C02×342=316.
∴X的分布列為
X-6-303
P124
134812
316
19. 解(Ⅰ)當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí),AC∥平面DMF.證明如下:
如圖4,連接CE,交DF于N,連接MN,由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn),所以MN∥AC,由于MN平面DMF,又AC平面DMF,所以AC∥平面DMF.(Ⅱ)方法一如圖5,過點(diǎn)D做平面DMF與平面ABCD的交線l,由于AC∥平面DMF,可知AC∥l,過點(diǎn)M做MG⊥AD于G.
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,則平面ADE⊥平面ABCD,所以MG⊥平面ABCD,過G做GH⊥l于H,連接MH,則直線l⊥平面MGH,所以l⊥MH,故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角.設(shè)AB=2,則DG=1,GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×25=25,MG=12DE=1,則MH=252+12=35,故cos∠MHG=GHMH
=25÷35=23,即所求銳二面角的余弦值為23.
方法二因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,可知AD,CD,DE兩兩垂直,分別以DA,DC,DE的方向?yàn)閤,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.如圖6所示.
設(shè)AB=2,則M1,0,1,F(xiàn)0,4,2,DM=1,0,1,DF=0,4,2,設(shè)平面MDF的法向量為n1=x,y,z,則n1·DM=0,n1·DF=0,即x+z=0且4y+2z=0,令y=1,得平面MDF的一個(gè)法向量n1=2,1,-2,取平面ABCD的法向量n2=0,0,1,由n1·n2=|n1||n2|cos
20.解(Ⅰ)由題意得,x-12+y2x-4=12,化簡得x24+y23=1,即軌跡E為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).∵OA·OB=OP+PA·OP+PB=OP2+OP·PB+PA·OP+PA·PB,由題意知,OP⊥AB,故OP·PB=0,PA·OP=0,∴OA·OB=OP2+PA·PB=
OP2-AP·PB=0.
假設(shè)滿足條件的直線m存在,①當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí),則m的方程為x
=±2,代入橢圓x24+y23=1,得y=±62,∴OA·OB=x1x2+y1y2=2-64
≠0,這與OA·OB=0矛盾,故此時(shí)m不存在. ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線m的方程為y=kx+b,∴OP=b1+k2=2,即b2=2k2+2.聯(lián)立x24+y23=1與y=kx+b可得3+4k2x2+8kbx+4b2-12=0,∴x1+x2=-8kb3+4k2,x1x2=
4b2-123+4k2,y1y2=kx1+bkx2+b=k2x1x2+kbx1+x2+b2=3b2-12k23+4k2,∴OA·OB=x1x2+y1y2=4b2-123+4k2+3b2-12k23+4k2=0,∴7b2-12k2-12=0,又∵b2=2k2+2,∴2k2+2=0,該方程無解,即此時(shí)直線m也不存在.
綜上所述,不存在滿足條件的直線m.
21.解(Ⅰ)∵fx=12ax2lnx,∴f ′x=axlnx+12ax=12ax2lnx+1(x>0,a>0),由f ′x>0得x>e-12;由f ′x<0,得0 0,e-12上單調(diào)遞減,在e-12,+∞上單調(diào)遞增,所以函數(shù)fx的極小值為fe-12=-a4e,無極大值. (Ⅱ)gx=12x2-alnx+a-1x,則g′x=x-ax+a-1=x2+a-1x-ax=x+ax-1x,令g′x=0,∵a>0,解得x=1或x=-a(舍去),當(dāng)0 (Ⅲ)問題等價(jià)于x2lnx>x2ex-34,由(Ⅰ)知 fx=x2lnx的最小值為-12e. 設(shè)hx=x2ex-34,h′x=-xx-2ex,易知hx在0,2上單調(diào)遞增,在2,+∞上單調(diào)遞減, ∴hxmax=h2=4e2-34. ∵-12e-4e2-34 =34-12e-4e2 =3e2-2e-164e2=3e-8e+24e2>0, ∴fxmin> hxmax,x2lnx>x2ex-34,故當(dāng)x>0時(shí),lnx+34x2-1ex>0. 22.解(Ⅰ)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2,圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,由ρ=2,ρ=4cosθ得ρ=2,θ=2kπ±π3,其中k∈Z,故圓C1與圓C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 2,2kπ+π3,2,2kπ-π3,其中k∈Z. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,圓C1與圓C2的交點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為1,3,1,-3,故圓C1與圓C2公共弦的參數(shù)方程為x=1,y=t(-3≤t≤3). 23.解(Ⅰ)不等式fx>02x+1>x-3,兩邊平方得4x2+4x+1>x2-6x+9,即3x2+10x-8>0,解得x<-4或x>23,所以原不等式的解集為x|x<-4或x>23. (Ⅱ)不等式a-3x-3 (收稿日期:2016-12-12)