數(shù)學思想方法視閾下線性代數(shù)課堂教學的實踐與探索(Ⅰ)

李 超，喬希民，羅俊麗

(商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院，陜西 商洛 726000)

【教育教學方法研究】

數(shù)學思想方法視閾下線性代數(shù)課堂教學的實踐與探索(Ⅰ)

李 超，喬希民，羅俊麗

(商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院，陜西 商洛 726000)

以中國數(shù)學思想史料為立足點，結合線性代數(shù)課堂教學實踐，分析《九章算術·方程》中方程術及其初等變換的思想方法，討論數(shù)學問題和思想方法驅動下線性代數(shù)課堂教學的研究型教學模式，旨在培養(yǎng)學生研究問題的基本方法和保持深厚的興趣與志趣，全面提升運用數(shù)學思想方法解決問題的能力。

線性代數(shù)；數(shù)學思想方法；九章算術；初等變換法

一、問題的提出

數(shù)學教育教學質量的提高備受國際社會關注，在我國顯得尤為重要與突出。1958年,美國總統(tǒng)艾森豪威爾受蘇聯(lián)人造衛(wèi)星上天之震驚，認識到美國科學技術落后于蘇聯(lián)的主要原因是：美國數(shù)學科學發(fā)展與創(chuàng)新滯后，歸根結底是中小學數(shù)學教育教學與大學的數(shù)學人才培養(yǎng)問題，便形成了自上而下的一系列數(shù)學教育改革行動計劃。其數(shù)學教育改革與創(chuàng)新的信念始終如一，并得到歷屆總統(tǒng)的秉承與發(fā)揚光大。奧巴馬在競選美國總統(tǒng)時就提出了：優(yōu)先發(fā)展數(shù)學和科學教育，增加高質量的課外教育機會，提高教育質量，應對輟學原因。[1]18

在我國,從2007年教育部的《關于進一步深化本科教育教學改革全面提高教學質量的若干意見》到教育部2016年教育工作著力要點仍為提高教育質量，說明教育教學質量的提高乃是長期艱巨任務和當務之急。當然，大學數(shù)學教育教學的質量問題、數(shù)學教育教學理論的探究與實踐也不例外。

我們認為：數(shù)學教育的本質是數(shù)學教育工作者采用各種方法、方式、手段與途徑，以幫助學生數(shù)學能力與水平的發(fā)展和提高的教育教學理論，其終極目標是培養(yǎng)人的理性精神和推動社會進步。大學數(shù)學教育教學更能體現(xiàn)：如何促進學生深度學習先哲們的思想；如何發(fā)展學生的思想自由和學術獨立；如何創(chuàng)新；如何在深刻理解先哲們理論思想方法的基礎上，理性質疑反思的批判性繼承。也就是說，學生或許忘記了具體的數(shù)學理論知識，但數(shù)學學習中的獨立思考和思維品質，批判性思維和理性精神，將影響著他們的做人做事方式，也許會像數(shù)學家一樣生活、一樣思考。本文將結合線性代數(shù)具體教育教學過程，探索基于數(shù)學思想方法的線性代數(shù)課堂教學的創(chuàng)造性思維與研究型教學模式，實現(xiàn)構建數(shù)學美的欣賞和理性批判精神融為一體的理想課堂，以期為提高大學數(shù)學教育教學質量而拋磚引玉。

二、數(shù)學思想方法概述

1.思想與數(shù)學思想辨析

《辭?！分袑Α八枷搿钡淖⑨尀椋?1)思考,思慮；(2)想念，思念；(3)亦稱“觀念”。思維活動的結果，屬于理性認識。人們的社會存在決定人們的思想、具有相對獨立性、對社會存在有反作用?！冬F(xiàn)代漢語詞典》(第六版)將“思想”解釋為：(1)客觀存在反映在人的意識中經歷思維活動而產生的結果；(2)念頭，想法；(3)思量。

由此可見：思想可以解釋為客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，即認識的高級階段，屬于理性認識。

數(shù)學思想是人們進行數(shù)學活動與數(shù)學思維的結果，是對客觀事物與現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式在人們頭腦中的反映，是數(shù)學中的理性認識，是數(shù)學知識的本質的高級抽象和概括性認識。亦泛指某些有重大意義的、內容比較豐富、體系相當完整的數(shù)學成果，以及對數(shù)學對象、數(shù)學研究的本質及數(shù)學規(guī)律性的認識。

2.方法與數(shù)學方法辨析

《辭源》中對“方法”的注釋為：(1)量度方形之法；(2)辦法；(3)方術，法術。

《現(xiàn)代漢語詞典》(第六版)對“方法”的解釋為：關于解決思想、說話、行動等問題的門路、程序等。

綜上所述，方法是一種元概念，是為達到某種目的而采用的途徑、步驟、手段、操作方式等。

數(shù)學方法是指從數(shù)學角度提出問題、分析和解決數(shù)學內部問題與實際問題過程中的手段、概括性策略。

3.思想方法與數(shù)學思想方法

《辭?！穼Α八枷敕椒ā钡脑忈尀椋喝藗冄芯繂栴}和認識世界的方法，是對認識能力和思維能力具有重要影響的因素。在不同的科學領域存在著各具特點的思想方法，哲學則提供普遍的思想方法。

數(shù)學思想和數(shù)學方法統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法，兩者基本關系表現(xiàn)為：(1)數(shù)學思想的本質是指導思想，具有獨立性，而數(shù)學方法的實質是操作過程，具有實踐性與可行性。由此可見，兩者是層次不同的基本概念。數(shù)學思想指導數(shù)學方法，數(shù)學方法體現(xiàn)數(shù)學思想。(2)在具體數(shù)學問題解決過程中，數(shù)學思想能夠促使人們主動尋求、自覺運用有效的數(shù)學方法，使人們正確把握解決數(shù)學問題的方向，如果選擇了有效的數(shù)學方法，那么不僅使數(shù)學問題得以順利解決，而且還能使人們在更高層面上深刻領悟數(shù)學思想。(3)數(shù)學思想和數(shù)學方法在實際使用時常常不加區(qū)別。[2-4]

三、線性代數(shù)中的數(shù)學思想方法

美國數(shù)學家哈爾莫斯(P·R·Halmos)曾經說過：“數(shù)學家存在的主要理由就是解決問題?！睌?shù)學教育家G·波利亞的觀點是：“掌握數(shù)學就是意味著善于解題，不僅善于解一些標準題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發(fā)明創(chuàng)造的題?！被诖?，本課題將以線性代數(shù)中典型問題解決為立足點，較為系統(tǒng)地探討線性代數(shù)教育教學中的數(shù)學思想方法。而本文因篇幅所限，僅討論中國傳統(tǒng)數(shù)學典籍《九章算術》中的方程術思想方法。

“以古為鏡，可以知興替”。法國數(shù)學家龐加萊認為：“如果我們希望預知數(shù)學的未來，最合適的途徑就是鉆研這門科學的歷史和現(xiàn)狀。”在領悟中國傳統(tǒng)數(shù)學所取得豐碩成果的《九章算術》時，我們深深感悟到其初等變換思想方法貫穿于整個“線性代數(shù)”課程中。例如，“方程”章中所討論的方程，相當于Gauss消元法求解線性方程組。但其思想方法是將線性方程組化為等價的簡單線性方程組要用初等變換思想方法。而初等變換思想方法在計算行列式、判斷向量組的線性相關性、計算矩陣的秩、求逆矩陣、求矩陣的特征值和特征向量等方面體現(xiàn)得淋漓盡致。我們以此為切入點，設計了適合于學生的“矩陣”概念建立的教學方案[5]，現(xiàn)再給出一種教學設計。

(1)史料性引入：我國秦漢時代成書的《九章算術》，是傳統(tǒng)中國乃至古代東方極其重要的數(shù)學典籍，在西學東漸之前一直是中國與東亞國家的數(shù)學教科書，歷經千年而不衰?！毒耪滤阈g》的具體作者不詳，而其中某些內容可上溯至先秦時期，據(jù)此或可以認為它是經過歷代名家(例如劉徽、祖沖之父子、李淳風等大數(shù)學家的注釋)的不斷增補修訂而逐漸成為現(xiàn)今定本的“集體作品”。全書問題共分9類，故名曰《九章算術》?，F(xiàn)今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年(公元263年)劉徽為《九章算術》所作的注本?！毒耪滤阈g》今譯本及注，首推中國科學院自然科學研究所的古代數(shù)學史學家郭書春的貢獻。[6-9]《九章算術》最高的數(shù)學成就為方程術，所謂方程術就是現(xiàn)今的線性方程組的解法。其中第一問提出的方程術是全章的綱。[9]

(2)原文(借助多媒體課件，僅展示題文與答曰)：《九章算術》卷第八[7-8,10-11]第1問題：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?

答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。

(3)譯文(借助多媒體課件完成)：現(xiàn)有上等禾3捆，中等禾2捆，下等禾1捆，共有實39斗；上等禾2捆，中等禾3捆，下等禾1捆，共有實34斗；上等禾1捆，中等禾2捆，下等禾3捆，共有實26斗。問：上、中、下等禾每捆的實各是多少？

(4)“方程術”列表法 (原文、譯文、算籌表達式(用阿拉伯數(shù)字代替“籌”)、今布列方程組)[7-8,10-11]，見表1：

表1 “方程術”古今對照表

續(xù)表1

原文譯文算籌表達式今方程組然以中行中禾不盡者徧乘左行,而以直除以中行中間的那個不為0的數(shù),遍乘左行各數(shù),再由左行連續(xù)減去中行各對應數(shù),即5×⑦-4×⑤得⑧⑧ ⑤ ① 上中下實0030523611992439é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,5y+z=24,36z=99,{①⑤⑧左方下禾不盡者,上為法,下為實,實即下禾之實左行中第三個數(shù)不為0,以它為除數(shù),最下面的一個數(shù)為被除數(shù),作除法,所得的結果11就是下禾的分子(實),4就是下禾的分母9936=114(斗)⑨ ⑤ ① 上中下實003052411112439é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,5y+z=24,4z=11,{①⑤⑨求中禾,以法乘中行下實,而除下禾之實若求中禾,以下禾的法(分母4)遍乘中行,減去左行各元素,即⑤×4-⑨得⑩⑨ ⑩ ① 上中下實0030202401118539é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,20y=85,4z=11,{①⑩⑨余,如中禾秉數(shù)而一,即中禾之實其余數(shù)除以中行中禾乘數(shù)便得中禾之實,即85÷20=17÷4里的17即中禾的實(中禾的分子)⑨ ① 上中下實003042401111739é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,4y=17,4z=11,{①⑨求上禾,亦以法乘右行下實,而除下禾、中禾之實若求上禾,用左行上面的法(分母)遍乘右行,然后逐次減去左行中行的對應元素,使右行中間兩數(shù)為0,即4×①-2×-⑨⑨ 上中下實00120404001117111é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 12x=111,4y=17,4z=11,{⑨余,如上禾秉數(shù)而一,即上禾之實所得余數(shù),除以右行上禾的乘數(shù),即得上禾之實,即12與111約分得374,37就是所求上禾之實(分子)⑨ 上中下實004040400111737é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 4x=37,4y=17,4z=11,{⑨實皆如法,各得一斗將上、中、下禾之實(即分子)皆以“法”(分母4)除之,得出各禾每束稻禾斗數(shù)x=914(斗),y=414(斗),z=234(斗)。ì?í??????

(5)反思：1)《九章算術》首次提出一般線性方程組的初等變換求解方法。在宋代秦九韶《數(shù)書九章》第9章第2題四元線性方程組用中國數(shù)碼記錄了解題的籌算15個計算式的全過程，清代梅文鼑《方程論》卷5的線性方程組90題，則把題設數(shù)據(jù)寫成矩陣，變?yōu)槿蔷仃嚭笤倩卮?。[12]286-3002)《九章算術》中“方程”就是方形的表達式，與現(xiàn)行的增廣矩陣相似?！胺匠绦g”相當于現(xiàn)代的加減消元法或矩陣初等變換?！爸背狈殚_創(chuàng)行列式與矩陣等概念提供了基本數(shù)學思想方法。3)Gauss消元法是解一般線性方程組的主要方法，但由上述問題的求解過程可得到：Gauss消元法應稱為“中國消元法”。4)本問題既可作為“矩陣”概念建立或矩陣初等變換法的引入課[5]，也可作為線性方程組的引例。5)問題的情境創(chuàng)設理應體現(xiàn)數(shù)學思想方法的再創(chuàng)造。6)用《九章算術卷八》問題1替代教材中的“高斯消元法”，以提升學生數(shù)學學習的興趣與好奇心。

四、結語

大學非數(shù)學專業(yè)數(shù)學教育的宗旨是：(1)全面促使學生經歷數(shù)學基本理論的學習，掌握研究問題的基本方法，形成初步的科研能力；(2)運用所學數(shù)學基本理論知識解決實際問題的能力；(3)進一步強化學生理性質疑反思的批判精神。事實上，要實現(xiàn)這些目標，需要全面系統(tǒng)地將數(shù)學思想方法落實在具體的數(shù)學教育教學活動中，這將是我們繼續(xù)探討的課題。

[1] [美]《教育周刊》.奧巴馬的教育藍圖[M].范國睿，譯.北京:教育科學出版社,2010.

[2] 傅海倫,賈冠軍.數(shù)學思想方法發(fā)展概論[M].濟南:山東教育出版社,2009：5.

[3] 楊啟賢.數(shù)學思想方法解讀[M].鄭州:河南大學出版社,2012：4-8.

[4] 徐利治.數(shù)學方法論十二講[M].大連:大連理工大學出版社,2007：2-14.

[5] 喬希民.發(fā)現(xiàn)教學法在線性代數(shù)課堂教學中的實施策略[J].貴陽學院學報(自然科學版),2016,(2):62-65.

[6] 郭書春.中國科學技術史·數(shù)學卷[M].北京:科學出版社,2010：247-251.

[7] 郭書春.九章算術新校[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2014：327-331.

[8] 劉徽注,李淳風.九章算術[M].郭書春，?？辈⒆g注.道本周,徐義保，英譯并注.沈陽:遼寧教育出版社,2013:904-924.

[9] 郭書春.古代世界數(shù)學泰斗劉徽[M].濟南:山東科學出版社,2013：150-164.

[10] 徐品方.白話九章算術[M].成都:成都時代出版社,2002：283-290.

[11] 曹純.九章算術譯注[M].上海:上海三聯(lián)書店,2015：280-285.

[12] 沈康身.歷史數(shù)學命題賞析[M].上海:上海教育出版社,2002.

【責任編輯 曹 靜】

Practice and Exploration about Linear Algebra Class Teaching in Mathematics Thinking Method (Ⅰ)

LI Chao, QIAO Xi-min, LUO Jun-li

(College of Mathematics and Computer Application, Shangluo University, Shangluo 726000, China)

Based on China’s history of mathematical thought, by linear algebra class teaching practice, the paper analyzes the “Nine Chapters on the Art of Mathematics” equation technique and the thought method of elementary transformation, and discusses linear algebra research teaching mode of classroom teaching driven by the mathematical problems and the thought method, in order to cultivate students’ basic methods of the research and students’ strong interest and curiosity, to improve the ability to solve problems by mathematics thinking method.

linear algebra; mathematical thinking method; Nine Chapters on the Art of Mathematics; elementary transformation

G642

A

1009-5128(2017)06-0025-05

2017-01-18

陜西省高等學校教學改革研究重點資助項目：新建地方本科院校轉型發(fā)展的內涵及途徑研究(15BZ62)；陜西省自然科學基礎研究計劃項目：區(qū)間集上基于非交換剩余格的廣義fuzzy濾子的研究(2013JM1023)；陜西省社科界重大理論與現(xiàn)實問題研究項目：構建區(qū)域性全民終身學習體系和學習型社會的研究——以商洛市為個案(2014Z090)

李超(1965—)，男，陜西鎮(zhèn)安人，商洛學院數(shù)學與計算機應用學院教授，主要從事大學數(shù)學教育與基礎數(shù)學研究。