利用奇異函數(shù)法對輕型卡車縱梁彎曲剛度分析

左印波，孫江平，蔡欣

（安徽江淮汽車集團(tuán)股份有限公司，安徽 合肥 230601）

利用奇異函數(shù)法對輕型卡車縱梁彎曲剛度分析

左印波，孫江平，蔡欣

（安徽江淮汽車集團(tuán)股份有限公司，安徽 合肥 230601）

基于奇異函數(shù)法，并結(jié)合單位載荷法，推導(dǎo)出在一般受力狀態(tài)下的輕型卡車縱梁撓曲通用方程，用于求解車架縱梁最大撓度，進(jìn)行彎曲剛度校核。

奇異函數(shù)；縱梁；撓曲方程；單位載荷；彎曲剛度

CLC NO.: U467.3 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2017)05-54-03

引言

輕型卡車的車架縱梁是車輛主要承載元件，承受安裝在其上面的各種裝置、人員和貨物的重量以及來自懸架系統(tǒng)的反作用力，因此須對縱梁進(jìn)行彎曲剛度分析。

傳統(tǒng)的車架縱梁撓度的計算方法是在車架縱梁不同荷載、截面變參數(shù)等處分段，分別建立撓度方程，再聯(lián)立相鄰段的位移邊界條件來求解。當(dāng)所受載荷復(fù)雜或縱梁為變截面、彎縱梁時，這種方法十分煩瑣整個過程煩瑣，邊界條件多。而利用奇異函數(shù)來求解，可以建立計算方程進(jìn)行統(tǒng)一表達(dá)，從而能夠求解上得到很大的簡化，并且利于編程，利用計算機(jī)進(jìn)行求解。

在進(jìn)入20世紀(jì)90年代后，我國一些學(xué)者把奇異函數(shù)用于力學(xué)問題的求解[1-3]，但在汽車車架縱梁上的分析上的應(yīng)用卻極少，有學(xué)者利用奇異函數(shù)僅對特定的變截面直縱梁強(qiáng)度分析進(jìn)行了初步嘗試[4]。

本文基于奇異函數(shù)法，并結(jié)合單位載荷法，針對輕型載貨汽車常用的直縱梁、彎縱梁、變截面梁等車架縱梁，推導(dǎo)出統(tǒng)一撓曲方程，可精確計算出各點撓度及最大撓度，進(jìn)行縱梁彎曲剛度分析。

1、奇異函數(shù)的定義

奇異函數(shù)又稱麥考利函數(shù)，是一個由多項奇異函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)族，由下式給出[1]：

當(dāng)n≥0時，

當(dāng)n＜0時，

當(dāng)n=0時稱為單位階躍函數(shù)，n=-l時稱為δ函數(shù)，這里n為整數(shù)，它的基本微分為：

奇異函數(shù)的積分為：

2、利用奇異函數(shù)表達(dá)常見載荷及剛度

車架縱梁常見的受力情況及剛度變化，可用如下奇異函數(shù)表達(dá)[5]。

（1）作用在x=ai處的集中力偶Mi可表達(dá)為：（2）作用在x=bj處的集中力Pj可表達(dá)為：

（3）作用于（ck,dk）處的均布線載荷qk可表達(dá)為：

抗彎剛度EI沿整個構(gòu)件長度方向發(fā)生階形變化,截面抗彎剛度EI發(fā)生t次，另t次的抗彎剛度的倒數(shù)(即柔度)的改變量βt稱為變?nèi)岫认禂?shù)[6-7]，則有：

由式（8）可以寫出受彎構(gòu)件的變參數(shù)（抗彎剛度EI發(fā)生改變）對構(gòu)件的影響[5]：

3、基于奇異函數(shù)的彎曲剛度分析

本文以計算難度較大的變截面彎縱梁為基礎(chǔ)建立通用撓曲方程。

將輕型卡車前后懸架與車架縱梁相互作用力，簡化為支撐縱梁的支座，簡化后縱梁的受力情況如下：

圖1 變截面彎縱梁受力示意圖

其中：

A（0，0）—車架縱梁最前端；

B（xB，yB）—車架縱梁前拐點；

C（xc，yc）—車架縱梁后拐點；

l—車架縱梁沿x軸方向長度；

h—為車架上表面前后y方向高度落差；

D（l, h）—車架縱梁最后端；

R2—車架縱梁支座反力，坐標(biāo)位置為(xR2,h)；

Pj、qk力的方向均為垂直于X軸；

?—車架縱梁折彎角度，00≤?＜900。

圖1表示變截面彎縱梁在x、y坐標(biāo)下的受力情況，依據(jù)奇異函數(shù)的定義及性質(zhì)，可以寫出作用在梁上沿x軸分布的等效載荷集度為：

利用截面法，發(fā)現(xiàn)在圖1所示的x、y坐標(biāo)及載荷下（Pj、qk力的方向均為垂直于x軸），無論是在縱梁直斷還是折彎段所受的彎矩均與x軸坐標(biāo)相關(guān)，對（11）式利用（4）公式，進(jìn)行積分兩次有如下彎矩方程[4,7]：

如果梁上作用有L個集中力偶、M個集中載荷、N個均布載荷，則有如下彎矩方程：

其中，支座反力R1、R2可以通過力的平衡方程求出。

計算節(jié)點CPU支持AVX-512指令集，大幅度提升了處理器的浮點運算能力，GPU節(jié)點采用最新的NVIDIA Tesla V100型號GPU，并采用NVLink方式連接，單卡GPU雙精度浮點運算速度理論值可達(dá)7.8TFLOPS。計算網(wǎng)絡(luò)采用omni-path架構(gòu)，安裝有intel、gcc等編譯器，作業(yè)管理采用slurm調(diào)度系統(tǒng)，集群管理采用計算中心自主開發(fā)的集群監(jiān)控管理套件。

縱梁中心線實為雙折線，縱梁撓度計算需要沿縱梁中心線路徑積分，若用截面法分段處理，進(jìn)行受力分析，建立撓度方程，邊界情況復(fù)雜，工作繁瑣。為簡化工作量，本文依據(jù)虛功原理，引入單位載荷法求解車架縱梁各點的撓度。

在縱梁上任意一點E點（xE,yE），施加垂直于縱梁軸線方向的單位力，依據(jù)單位載荷法[9]則有：

其中：

I(x)—車架縱梁慣性距變化函數(shù)。

單位載荷法計算時縱梁虛擬受力，存在如圖3、圖4兩種情況所示。

圖3 在AB或CD段施加單位載荷受力狀態(tài)

圖4 在BC段施加單位載荷受力狀態(tài)

利用奇異函數(shù)通用方程（13）及力的平衡方程，可以求出兩種狀態(tài)下的彎矩方程。

依據(jù)奇異函數(shù)可將上述兩種情況整合，則有：

常見的汽車縱梁慣性距變化往往為以下兩種慣性距變化的組合：

階梯梁：其變化函數(shù)表達(dá)見（8）～（9）公式；

線性變慣距梁：其變化函數(shù)見（10）公式。這里簡化起見令縱梁慣性距函數(shù)為I(x)，實際計算時分別帶入（8）～（10），利用奇異函數(shù)的定義及性質(zhì)進(jìn)行計算，不單獨展開。

依據(jù)微分原理，ds與dx存在以下微分關(guān)系：

將公式（14）進(jìn)一步拓展，則有如下計算：

將（13）、（17）公式以及實際的I(x)函數(shù)組合公式帶入公式（19）中，即可求出任意一點E點（xE,yE）的撓度ωE。

當(dāng)?=00時為特殊狀態(tài)下的直梁，積分路徑則為沿x軸方向積分，其計算公式簡化為：

當(dāng)?=00時，積分路徑則為沿x軸方向積分，也可依據(jù)材料力學(xué)中彎矩與撓度的微分關(guān)系，對q(x)進(jìn)行積分，可得：

其中：C、D為常數(shù)。

將（13）、（17）公式以及實際的I(x)函數(shù)組合公式帶入（21）公式中，再通過輕型卡車前后懸架與車架縱梁相互作用力簡化成支撐縱梁支座后的邊界條件。

以及奇異函數(shù)的積分公式（4）可形成一個奇異函數(shù)通用方程，求解車架縱梁上任意一點的撓度。

當(dāng)?=00、EI為常量時，上述公式（21）可進(jìn)一步簡化為：

其中，ω0、θ0可通過邊界條件（22）式求出。

4、結(jié)束語

本文利用奇異函數(shù)，結(jié)合單位載荷法，針對輕型載貨汽車常用的直縱梁、彎縱梁、變截面梁等車架縱梁，推導(dǎo)出通用的撓曲方程，克服了原來對變參數(shù)、變積分路徑問題要進(jìn)行分段求解的不足，并且求解過程規(guī)整，有利于編制程序，求解出最大撓度ωmax進(jìn)行彎曲剛度校核，極大解決了人工計算的復(fù)雜性。

[1] 王燮山.奇異函數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用[M].科學(xué)出版社,1993.

[2] 劉念超.奇異函數(shù)解幾種超靜定結(jié)構(gòu)[J]．長沙交通學(xué)院學(xué)報. 1998.14(2)：20—25.

[3] 荊振華.奇異函數(shù)在材料力學(xué)中的應(yīng)川[J].遼寧省交通高等專科學(xué)校學(xué)報,1997,5(1)：52—58.

[4] 俞德津.利用奇異函數(shù)法對專用汽車縱梁的強(qiáng)度分析[J].專用汽車.2003(5)，6—8.

[5] 曾紀(jì)鵬.用奇異函數(shù)建立變參數(shù)連續(xù)梁撓度統(tǒng)一方程的新方法[J].四川建筑,2010,31(1)：128～130.

[6] 徐彬.高層建筑結(jié)構(gòu)分析的奇異甬?dāng)?shù)方法[D].華南理工大學(xué),2000.

[7] 徐彬.奇異函數(shù)建立高層結(jié)構(gòu)分析模型的方法及應(yīng)用[J].昆明理大學(xué)學(xué)報,2000,25(6)：106～109.

[8] 王燮山.用奇異函數(shù)求解某些變形梁的變形[J].力學(xué)與實踐,1984（4）：53～55.

[9] 李廉錕.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].高等教育出版社，2004,97-99.

The bending stiffness analysis on the longitudinal beam of the light truck by using the singular function

Zuo Yingbo, Sun Jiangping, Cai Xin
( Anhui Jianghuai Automobile Co., Ltd, Anhui Hefei 230601）

By using the singular function and the unit load method,the deflection equation for the longitudinal beam of the light truck on the general stress state can be derived in this article.Then it can calculates the maximum deflection of the longitudinal beam by using the deflection equation for checking the bending stiffness.

Singular function; Longitudinal beam; Deflection curve equation; Unit load; Bending stiffness

U467.3

A

1671-7988 (2017)05-54-03

左印波（1986-），總布置工程師，就職于安徽江淮汽車集團(tuán)股份有限公司，技術(shù)中心輕型商用車研究院，主要研究方向為整車總布置。

10.16638/j.cnki.1671-7988.2017.05.018