C-Gorenstein模與Gorenstein模

張 珍，陶琳琳

（淄博師范高等?？茖W(xué)校 初等教育系，山東 淄博 255130）

C-Gorenstein模與Gorenstein模

張 珍，陶琳琳

（淄博師范高等?？茖W(xué)校 初等教育系，山東 淄博 255130）

在這篇文章中，我們介紹了平凡擴(kuò)張環(huán)R∝C，其中C是一個(gè)半對(duì)偶化模.我們得到，當(dāng)R是非諾特環(huán)時(shí)，內(nèi)射模和C-內(nèi)射模是C-Gorenstein內(nèi)射的，平坦模和C-平坦模是C-Gorenstein平坦的。并且C-Gorenstein內(nèi)射R-模是Gorenstein內(nèi)射R∝C-模，以及C-Gorenstein投射R-模是Gorenstein投射R∝C-模，C-Gorenstein平坦R-模是Gorenstein平坦R∝C-模。

半對(duì)偶化模；平凡擴(kuò)張環(huán)；C-Gorenstein投射模

整篇文章中，R始終代表一個(gè)有單位元的結(jié)合環(huán)，C是一個(gè)半對(duì)偶化的R-模。早在很久以前，很多作者就研究了半對(duì)偶化模這個(gè)概念，不過他們并沒有用“半對(duì)偶化?！边@個(gè)名字。Foxby稱這樣的模為秩為 1的 PG-模；Golod稱之為 suitable-模；Vasconcelos稱其為spherical-模.

總的來說，這類模是對(duì)偶化模和秩為1的自由模的推廣.由半對(duì)偶化模誘導(dǎo)的相對(duì)代數(shù)引起了海內(nèi)外大量專家和學(xué)者的重視.有了它，經(jīng)典的投射模被推廣成C-投射模；內(nèi)射模被推廣成C-內(nèi)射模；平坦模被推廣成C-平坦模.并且，Gorenstein投射（內(nèi)射、平坦）模被推廣成C-Gorenstein投射（內(nèi)射、平坦）模等等，從而產(chǎn)生了由半對(duì)偶化模誘導(dǎo)的同調(diào)代數(shù)，這一方面的內(nèi)容請(qǐng)參看文獻(xiàn)。［6、7、8］

在經(jīng)典的同調(diào)代數(shù)中，我們用投射（內(nèi)射、平坦）模來分解一給定的R-模，得到該模的投射（內(nèi)射、平坦）維數(shù)，這些同調(diào)維數(shù)可以來刻畫環(huán)。利用同樣的方法，許多作者研究了Gorenstein同調(diào)維數(shù)，從而更好地刻畫了Gorenstein環(huán).自然的，我們想考慮由半對(duì)偶化模C誘導(dǎo)的同調(diào)維數(shù)和 Gorenstein同調(diào)維數(shù)，用它們來研究C誘導(dǎo)的Gorenstein環(huán).我們知道環(huán)R叫做n-Gorenstein環(huán)如果它是左右諾特的并且R的自內(nèi)射維數(shù)小于等于n。因?yàn)榘雽?duì)偶化模C是R的推廣，所以我們想研究一下當(dāng)C的內(nèi)射維數(shù)小于等于n時(shí)，環(huán)R會(huì)有一些什么性質(zhì).

本文包括兩節(jié)，第一節(jié)我們給出了一些用到的定義和符號(hào)。第二節(jié)證明了一些主要的結(jié)論.

1.預(yù)備知識(shí)

定義1.1.［6］（P171）設(shè)X是由R-模構(gòu)成的子范疇.對(duì)于任意R-模M，

（1）M的左X-預(yù)解式是指一個(gè)正和序列：

（2）M的右X-預(yù)解式是指一個(gè)正和序列：

模M的X投射維數(shù)是指這樣一個(gè)數(shù)：X-pdM =inf{sup{n≥0|Xn≠0}|X 是M的左X預(yù)解式}；類似的，我們可以定義 M的X內(nèi)射維數(shù)及X-平坦維數(shù).

本文中我們用pd（M），id（M），fd（M）分別代表M的投射、內(nèi)射和平坦維數(shù).用Gpd（M），Gid（M）和 Gfd（M）分別代表 M的 Gorenstein投射（內(nèi)射、平坦）維數(shù).

定義1.2.一個(gè)R-模C稱作半對(duì)偶化的，如果它滿足下列三個(gè)條件：

（1）C有一個(gè)有限生成的投射模構(gòu)成的預(yù)解式；

（2）C是自正交的，即：Ext≥1（C，C）=0；

（3）Hom（C，C）?R.

假設(shè)C是一個(gè)半對(duì)偶化R-模，我們分別用FC，PC和IC來代表所有的C-平坦、C-投射和C-內(nèi)射R-模類，即：

（1）FC={C? F/F是一平坦模}；

（2）PC={C? P/P是一投射模}；

（3）IC={Hom（C，E） /E是一內(nèi)射模}.

通過FC，PC和IC，Holm and J?rgensen在交換諾特環(huán)上分別定義了由C誘導(dǎo)的C-Gorenstein平坦，投射和內(nèi)射模［1］。很明顯，這三類模推廣了Holm的Gorenstein平坦，投射和內(nèi)射模。White在一般的交換環(huán)上定義了C-Gorenstein投射模，并稱之為-投射模.

根據(jù) Definition 9［1］，對(duì)任意R-模M，我們分別用C-Gpd（M）、C-Gid（M）和C-Gfd（M）來表示M的C-Gorenstein投射、內(nèi)射和平坦維數(shù).

最后，我們給出平凡擴(kuò)張環(huán)的定義：

定義 1.3.設(shè)R是任意環(huán)，C是任意R-模。我們對(duì)R⊕C的元素定義乘法如下：

從而R⊕C成為一個(gè)環(huán)，稱為由環(huán)R和模C構(gòu)成的平凡擴(kuò)張環(huán)，記為R∝C.

環(huán)R和R∝C之間存在自然的環(huán)同態(tài)，從而我們可以把任意R-?？闯墒荝∝C-模，也可以把任意R∝C-?？闯墒荝-模.

2.主要結(jié)果

定義 2.1.設(shè)R是一個(gè)交換諾特環(huán)，C是一半對(duì)偶化R-模，如果對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n有id（C）≤n，則稱環(huán)R是n-C-Gorenstein環(huán).

注 2.2. 根據(jù)［8］，如果R是諾特環(huán)，那么平凡擴(kuò)張環(huán)也是諾特的.并且由Theorem 4.3.2［8］知，idR∝C（R∝C）=id（C）。因此R∝C是n-Gorenstein環(huán).

為了證明我們的主要結(jié)論，我們首先證明下列命題。

命題2.3

（1）每一個(gè)內(nèi)射模和C-內(nèi)射模都是C-Gorenstein內(nèi)射的；

（2）每一個(gè)投射模和C-投射模都是C-Gorenstein投射；

（3）每一個(gè)平坦模和C-平坦模都是C-Gorenstein平坦的.

證明：（1）由定義1.2知，半對(duì)偶化模C有一個(gè)有限生成的投射預(yù)解式：

顯然它是Hom（C，-）正和的。因此我們得到這樣的正和列：

對(duì)任意內(nèi)射模I，用Hom（-，I）作用上述正和列得到

···→Hom（C，In1）→Hom（C，In0）→I→0對(duì)于內(nèi)射模E，因?yàn)镋∈BC（R），由C誘導(dǎo)的Bass類，所以C?Hom（C，E）?E對(duì)任意的i≯0，我們有下列同構(gòu)：

從而，用Hom（Hom（C，E），I）作用到上述正和列，我們得到

因?yàn)榇嬖谡土?→Hom（C，I）→Hom（C，I）→0，很容易證明Hom（C，I）是C-Gorenstein內(nèi)射的.

（2）和（3）可以類似于（1）來證明.

在定理 2.16［11］中，Holme證明了任意的CGorenstein內(nèi)射R-模是Gorenstein內(nèi)射R∝C-模，并且任意的C-Gorenstein投射R-模是Gorenstein投射R∝C-模.注意到他們要求R是一個(gè)諾特環(huán).下面，我們將證明在一般的非諾特環(huán)上也有這樣的結(jié)論.

命題 2.4：設(shè)R是任意交換環(huán)。對(duì)任意R-模M和內(nèi)射R-模I，我們有

證明：因?yàn)榇嬖赗-模同構(gòu)：R∝C?R⊕C，所以R∝C存在有限生成的投射預(yù)解式.因此我們存在下列同構(gòu)

其中，第二個(gè)同構(gòu)是根據(jù)定理3.2.11［2］，第三個(gè)同構(gòu)是Hom-Adjoint同構(gòu).

（2）考慮HomR（C，I）的投射分解

因?yàn)?HomR（C，I）∈AC（R），所以Tor≥1（R∝C，因此我們用R∝C?R-作用，得到下列正和列

由 Lemma 3.1（3）［3］，對(duì)于任意的j≥0，（R∝C）?RPj是投射的R∝C-模.因此上述正和列是R∝C-模（R∝C）?RHomR（C，I）的投射分解.從而我沒有下列同構(gòu)：

根據(jù)定理4.32［3］，我們得到C-GidR（M）=GidR∝C（M）.

注 2.5類似于上述命題的證明，我們得到 CGpdR（M）=GpdR∝C（M），以及C-GfdR（M）=GfdR∝C（M）.

［1］H.Holm，P.J{O}rgensen，Semi-dualizing modules and related Gorenstein homologica dimensions［J］.J.Pure Appl.Algebra.2006，205（2），423-445.

［2］E.E.Enochs and O.M.G.Jenda，Relative homological algebra［M］.（de Gruyter，Exp.Math 30，2000）.

［3］H.Holm，Gorenstein homological dimensions［J］.J.Pure Appl. Algebra 2004，189，167-193.

［4］H.-B.Foxby，Gorenstein modules and related modules［J］. Math.Scand.1972，31，267-284.

［5］H.Holm，P.J{O}rgensen，Cohen-Macaulay injective，projective，and flat dimension［J］.preprint，2004，vailable from http://www.arxiv.org/abs/math.AC/0405523.

［6］E.S.Golod，G-dimension and generalized perfect ideals［J］. Trudy Mat.Inst.Steklov，1984，165，62-66.

［7］W.V.Vasconcelos，Divisor theory in module categories［M］. North-Holland Publishing Co.，Amsterdam：Noth-Holland Math.Stud，（1974）.

［8］R.M.Fossum，P.A.Griffith，I.Reiten，Trivial extensions of abelian CategoriesM］.Berlin,Springerverlag（1975）.

（責(zé)任編輯：胡安波）

In this paper，we introduce the trivial extension ring of R by C，where C is a semidualizing module.We find that when R is non-Noetherian，the injective and C-injective R-modules are CGorenstein injective R-modules，flat and C-flat R-modules are C-Gorenstein flat R-modules.Moreover，we get that C-Gorenstein injective R-modules are Gorenstein injective R∝C-modules，C-Gorenstein proj-ective R-modules are Gorenstein projective R∝C-modules.

semidualizing module；trivial extension ring；C-Gorenstein projective module.

0154

A

（2017）01-0045-03

2016-12-07

張珍（1982-），女，山東菏澤人，博士，淄博師范高等專科學(xué)校初等教育系教師，主要從事同調(diào)代數(shù)方向的研究。陶琳琳，女，山東淄博人，淄博師范高等?？茖W(xué)校初等教育系教師。

注：本文系山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“半對(duì)偶化模誘導(dǎo)的同調(diào)代數(shù)的有關(guān)研究”［ZR2015PA001］的階段性研究成果。