超越一題多解訓(xùn)練，加強(qiáng)基本方法總結(jié)

陳天明

最近，在一次九年級(jí)試卷評(píng)講活動(dòng)課展示中，聽(tīng)到了一節(jié)試卷講評(píng)課，發(fā)現(xiàn)課堂上課任老師存在著這樣一種教學(xué)取向，就是解題方法以多為榮，而且這種現(xiàn)象具有普遍性。這種一題多解的訓(xùn)練雖然能幫助學(xué)生拓展一些思維，但由于它采用“優(yōu)生+表演”的學(xué)習(xí)方法，需要花費(fèi)大量時(shí)間；沒(méi)有抽象出有價(jià)值的基本方法，也沒(méi)有進(jìn)行有價(jià)值的題型變式和遷移活動(dòng)，學(xué)生學(xué)得的只是一些小技巧；不關(guān)注解題內(nèi)容的核心和重點(diǎn)，顧左右而言它，無(wú)法達(dá)成最有價(jià)值的目標(biāo).這是造成復(fù)習(xí)效果難以高效、學(xué)習(xí)周期長(zhǎng)、進(jìn)度慢的重要原因，也是非常值得我們思考的地方。

1課例簡(jiǎn)述

例題.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，使點(diǎn)B落在D點(diǎn)的位置，且交y軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）

A. B. C. D.

解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作MN⊥OA，分別交AO、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N、M，易證∴△AND∽△DMC，==，即==，設(shè)CM=x，DM=y， 則DN=3x，AN=3y，可得，解得x=，則3x=，故D坐標(biāo)為

解法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作MN⊥OA，分別交AO、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N、M，易證∴△AND∽△DMC，==，即==，設(shè)DM=x，則DN=3-x，根據(jù)勾股定理可得：MC=，則=，可求得D坐標(biāo)為

解法3：如圖4過(guò)點(diǎn)D作DN⊥OA于N，由△AOE≌△CDE，∴CE=AE， 設(shè)OE=x，則CE=3-x，在Rt△AEO中根據(jù)勾股定理可得x2+12=（3-x）2，x=，3-x=∵OC∥ND

則==，即==，故DN=，AN=，故D坐標(biāo)為

解法4：如圖5同解法1得到：==，設(shè)CM=x，DM=y，即==，解得，故D坐標(biāo)為

解法5： 如圖6， 過(guò)點(diǎn)D作DN⊥OA于N，連接OD，由△AOE≌△CDE，∴DE=OE，CE=AE，可得∴AC∥OD，可求得直線(xiàn)AC：y=-3x+3，∴直線(xiàn)OD：y=-3x， 所以只有選項(xiàng)D符合要求。

解法6：如圖7，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥OA于N，設(shè)D（x，y），在Rt△ADN中根據(jù)勾股定理可得y2+（-x+1）2=32，將ABCD四個(gè)答案代入關(guān)系式，D答案符合要求。

解法7：如圖8連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，∵S四邊形ABCD=AC·BD=AB·BC，可得BD=，故BG=，∵cos∠CBG= cos∠BDF， ∴=，即=，∴DF=，AF=，可得D坐標(biāo)為

解法8 ：如圖9，同解法5求得直線(xiàn)OD：y=-3x， 設(shè)ON=m，則DN=3m，根據(jù)勾股定理可得（3m）2+（m+1）2=32，m=，則3m=，故D坐標(biāo)為

解法9：如圖10，同解法5求得直線(xiàn)OD：y=-3x， OE=，可得直線(xiàn)AE：y= -x+，直線(xiàn)OD和直線(xiàn)AE的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，故解方程組，可得D坐標(biāo)為

解法10： 如圖11，連接BD交AC于F，易得直線(xiàn)AC：y=-3x+3，設(shè)直線(xiàn)BD：y=x+b， 因?yàn)辄c(diǎn)B（1，3），可求得直線(xiàn)BD： y=x+，故解方程組，可得F坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)D和點(diǎn)B關(guān)于F對(duì)稱(chēng)，故D坐標(biāo)為

解法11： 如圖11，連接BD交AC于F，可求得直線(xiàn)AE：y= -x+，直線(xiàn)BD： y=x+，故解方程組可求出交點(diǎn)D，故D坐標(biāo)為

解法12： 如圖11，同解法5求得直線(xiàn)OD：y=-3x， OE=，可得直線(xiàn)AE：y= -x+，直線(xiàn)OD和直線(xiàn)BD的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，故解方程組可得D坐標(biāo)為

解法13：如圖12，延長(zhǎng)AD，BC交于F，作DN⊥x軸于F. Rt△CDG中，CD=1，

設(shè)

∵sinF==

∴，，于是.

∵∠F=∠DAN，∴sinF= sin∠DAN，可求出DN、AN，即得出D的坐標(biāo)

解法14.如圖13，延長(zhǎng)CD，AB交于F，作DN⊥x軸于F. ，步驟略

2課例評(píng)析

2.1課例基本特征

在聽(tīng)課過(guò)程中，大部分學(xué)優(yōu)生能從教師的思路或輔助線(xiàn)的引導(dǎo)去思考解題，雖然解題速度有差距，但給出提示之后加以引導(dǎo)，均能找到自己的解題節(jié)奏，從而做出幾種解法，而且都能較好的提出解題反思和總結(jié)。這對(duì)改進(jìn)習(xí)題課或試卷講評(píng)課的效果起到了較好的促進(jìn)作用，說(shuō)明解題思路的引導(dǎo)和解題之后的反思非常有效。更為可喜的是有些學(xué)生通過(guò)方法的總結(jié)，較為深刻的體會(huì)了解題的分析方法，從而形成解此類(lèi)題目方法上的升華，使解題能力得到進(jìn)一步的提升。

2.2存在問(wèn)題剖析

本課例對(duì)班級(jí)中等生和學(xué)困生來(lái)說(shuō)，收獲頗少，思路跟不上是一方面的原因，更重要的原因是綜合解題能力欠缺，無(wú)法對(duì)核心知識(shí)予以突破，課堂沒(méi)有針對(duì)這些學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)去對(duì)癥下藥，更沒(méi)有提出局部設(shè)計(jì)方案在不同程度上幫助學(xué)生解困。還有解法10、11、12超出了初中課程標(biāo)準(zhǔn)要求，可作為競(jìng)賽輔導(dǎo)的知識(shí)拓展，但不應(yīng)作為常規(guī)課的解法展示和學(xué)習(xí)要求?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的明確要求：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”等新課程理念，這就需要我們重新對(duì)教學(xué)進(jìn)行反思和審視。

2.3改進(jìn)策略建議

習(xí)題講評(píng)要將核心知識(shí)進(jìn)行分析，分析題目的知識(shí)和思想方法背景，提高解題思考的層次性，通過(guò)解題達(dá)到內(nèi)化知識(shí)、領(lǐng)會(huì)方法。 如何著重體現(xiàn)突出重點(diǎn)、降低和分散難點(diǎn)，使學(xué)生掌握核心知識(shí)和體會(huì)思想方法是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵所在，針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)去對(duì)癥下藥， 設(shè)計(jì)出幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的有效教學(xué)活動(dòng)。比如：本課例的問(wèn)題可設(shè)計(jì)為：①△AOE和△CDE有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；③求點(diǎn)D的坐標(biāo)（以選擇題的形式呈現(xiàn)亦可）；④你還有求點(diǎn)D坐標(biāo)的其它方法嗎？（可分組交流討論）

上面14種解題方法我們可以將其分為四類(lèi)：相似法（解法1、2、3、4、13、14，解直角三角形法可歸類(lèi)為相似）、排除法（解法5、6）、面積法（解法7）、解析式法（解法8、9、10、11、12），其中思路比較貼近于學(xué)生思維水平的是相似法和解析式法，貼合選擇題題型的是排除法，而不容易想到的是解直角三角形法和面積法。在課堂45分鐘時(shí)間里，逐一的展示解法及過(guò)程會(huì)占用大量的時(shí)間，做重復(fù)性的計(jì)算工作，復(fù)習(xí)效率較低。所以教師需要提前進(jìn)行解法研究，使自己在教學(xué)過(guò)程中能對(duì)主要解題方法有可能會(huì)出現(xiàn)的各種思維障礙有預(yù)見(jiàn)性，給學(xué)生搭設(shè)思維的“腳手架”，精心設(shè)置引導(dǎo)語(yǔ)言和提示，做到點(diǎn)撥在關(guān)鍵處，打開(kāi)學(xué)生的思維，并引導(dǎo)學(xué)生用自己熟悉的方法去解題，做到解題方法無(wú)高低之分，而要達(dá)到的是通法通解的效果，從而提高復(fù)習(xí)課中解題教學(xué)的高效性。

3基于課例的思考

無(wú)論哪種解題方法都要基于對(duì)課標(biāo)的深刻理解，期間必定包含初中學(xué)生數(shù)學(xué)必備的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，切不可脫離課程標(biāo)準(zhǔn)，盲目提高或降低學(xué)習(xí)要求。一題多解可以成為數(shù)學(xué)課堂的起點(diǎn)，但不能作為數(shù)學(xué)課堂的終極追求，多解歸一的方法總結(jié)才是解題教學(xué)的大智慧之所在。研究解法的多樣性，無(wú)非是為了拓展學(xué)生的思維寬度，但基本的要點(diǎn)是將解法分類(lèi)，然后每類(lèi)歸一。類(lèi)與類(lèi)之間再異中尋同，尋求基于所學(xué)的解法自然發(fā)生原理。對(duì)于習(xí)題課的課堂來(lái)說(shuō)，是驗(yàn)證或完善解題思路的過(guò)程。教師心中必須明確：通過(guò)一題多解抽象出有價(jià)值的基本方法，進(jìn)行有價(jià)值的題型變式和遷移活動(dòng)；要關(guān)注解題內(nèi)容的核心和重點(diǎn)，達(dá)成最有價(jià)值的目標(biāo)；解題的最終目的是內(nèi)化知識(shí)、形成方法、領(lǐng)會(huì)思想。一般來(lái)說(shuō)解題教學(xué)具體可按如下的過(guò)程操作：

參考文獻(xiàn)：

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