從“無限”走向“極限”
———淺談小學(xué)教學(xué)中“極限”思想的滲透之路

沈華斌

極限是指用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)的實際教學(xué)中，有些教師對極限思想方法的理解及應(yīng)用還有所忽視，那么極限的思想方法其思想內(nèi)涵又是什么，與“無限”有著怎樣的聯(lián)系，又如何滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中，學(xué)生才能感悟其中的極限思想？本文將針對以上問題提出自己的觀點。

一、從“無限”走向“極限”，培養(yǎng)學(xué)生無限觀念

由于小學(xué)生受年齡特點的限制，他們對具體的、數(shù)量有限的事物容易理解，對抽象的、數(shù)量無限的事物難于把握。所以要理解“極限”的內(nèi)涵，可以從“無限”入手，讓小學(xué)生首先理解小學(xué)數(shù)學(xué)中的“無限”。

1.圖形無限延伸。

小學(xué)幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線、射線、角的邊、平行線的長度等等，它們都是可以無限延伸的，但是這些概念在現(xiàn)實生活中并不是真實存在的（現(xiàn)實生活中找不到一條能無限延伸的線），它們只是存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結(jié)果，而這種想象又是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必不可少的基礎(chǔ)能力。

2.數(shù)量無限多。

現(xiàn)行人教版小學(xué)教材中有許多知識點會涉及到數(shù)量無限多的情況。在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”、“小數(shù)”這些概念教學(xué)時，教師可讓學(xué)生體會自然數(shù)是數(shù)不完的；奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個；小數(shù)沒有最小的數(shù)；通過一點可以畫無數(shù)條直線等等。

比如四年級下冊求0.5和0.6之間有幾個小數(shù)，答案是無數(shù)個，寫不完也數(shù)不完，讓學(xué)生體會這樣的小數(shù)是無窮無盡的。在五年級上冊循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1÷6=0.1666……商是一個循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點后面的數(shù)字是寫不完的。通過這些方面讓學(xué)生初步體會“無限”思想。

以上兩點是從不同方面體現(xiàn)了“無限”的觀念，雖然并不是真正意義上的“極限”，但是，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是初步形成極限思想的基礎(chǔ)，是學(xué)生必經(jīng)的一個階段。

二、從“逼近”走向“極限”，積累極限感性認識

由于小學(xué)生的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)知識還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐漸感悟到什么是“無限地逼近”，為將來學(xué)習(xí)“收斂”這個數(shù)學(xué)中的概念積累一些感性的認識。因此，逐步理解“逼近”是形成極限思想的另一個重要方面。

例如特級教師張齊華在教學(xué)《圓的認識》的片斷：深究圓與正多邊形。

教師在讓學(xué)生理解了圓之所以美，是因為在同一個圓里，半徑處處相等，明白這一道理之后，課件出示正三角形，從中心出發(fā)，連接三個頂點，三條長度相等。再出示正四邊形、正六邊形、正八邊形，最后是正三十二邊形，正一百邊形，然后讓學(xué)生想象，如果是正一千邊形、正一萬邊形，正一億邊形，直至無窮無盡，它就是——圓（學(xué)生答）。整個過程其實就是一個正多邊形不斷地逼近一個圓的過程，先通過課件實物引導(dǎo)，再想象無窮無盡多邊形即是一個圓。張老師不斷地引導(dǎo)學(xué)生理解隨著邊的無限增多，正多邊形逐漸成為一個圓。

通過課件的不斷演示，從正三角形不斷地向圓“逼近”，在外形上越來越接近一個圓，直至真的成為一個圓，是一個不斷的“逼近”過程。讓學(xué)生在觀看課件的同時，逐步理解正多邊形隨著邊數(shù)的增多逐漸“無限地逼近”一個圓，在具體的情境中理解“無限地逼近”是一個怎樣的概念。

三、從“感悟”走向“理解”，實踐極限滲透教學(xué)

受年齡特征的制約，小學(xué)生可能對極限思想不會有深刻的理解，但這并不等于我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對極限思想的滲透，相反我們應(yīng)該抓住一切可以利用的契機加以滲透，為他們將來學(xué)習(xí)極限理論，掌握極限思想，提高抽象思維奠定基礎(chǔ)。

1.概念教學(xué)滲透。

如此教學(xué)不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且對于發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力是十分有益的，更重要的是滲透給學(xué)生極限的思想方法。

2.幾何教學(xué)滲透。

片斷二：人教版四年級上冊《直線、射線和角》的教學(xué)，有多個滲透極限思想的點。一是直線的兩端、射線的一端（沒有端點）可以無限延伸，教學(xué)時，可以借助學(xué)生的想象，先讓學(xué)生畫一條直線，然后延長，再延長一直到不能畫為止，這時可提問，還可以延伸嗎，直至想象這條直線穿出教室、學(xué)校、我們所在的城市、地球的大氣層……，教師讓學(xué)生閉上眼睛，自己邊說直線的路徑，邊讓學(xué)生體會直線兩端的無限延伸，從中體會其中的“極限”思想；二是經(jīng)過一點可以畫（）條直線，這里我們可以借助現(xiàn)代化工具制作多媒體課件，在讓學(xué)生試畫之后，出示課件，經(jīng)過一個點的直線，1條、3條、10條、50條、上百條……直至變成近似于以這個點為中心的圓，而這個圓即是答案，個數(shù)是無限的，圓則是最終極限的結(jié)果。

通過有限想象無限，根據(jù)課件出示的數(shù)量變化趨勢，想象它們的最終結(jié)果。既讓學(xué)生掌握了直線的性質(zhì)，又理解了無限逼近的極限思想。

3.練習(xí)教學(xué)滲透。

解決這題運用了極限和數(shù)形結(jié)合兩種不同的思想方法，所以我們的練習(xí)設(shè)計不能僅僅著眼于一個問題的解決，而是關(guān)注學(xué)生在解決這個問題中領(lǐng)悟到其中的數(shù)學(xué)知識及思想方法，更關(guān)注在解決問題中充分鍛煉學(xué)生的思維能力。

4.公式推導(dǎo)滲透。

片斷四：《圓的面積》。在學(xué)生學(xué)過一些圖形的面積計算公式后，研究圓的面積公式。先問學(xué)生有什么好的辦法，再利用課件演示先把圓平均分成了2份，把兩個半圓拼起來，結(jié)果還是一個圓。再多分幾份試一試。課件又接著演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成正方形。從平均分成4個、8個、到16個……然后問學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們通過分的過程，發(fā)現(xiàn)分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形。

課件繼續(xù)演示把圓平均分成32個、64個……，教師適時說“如果一直這樣分下去，拼出的結(jié)果會怎樣？學(xué)生發(fā)現(xiàn)拼成的圖形就“真的”變成了長方形，因為邊越來越“直”了。

這個過程中從“分的份數(shù)越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的變成了長方形”就是收斂的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的巨大價值。以上的推導(dǎo)過程，采用了“變曲為直”、“化圓為方”極限分割思路。