趣證“兩點(diǎn)間直線段最短”

譚湘文

摘 要：本文對“兩點(diǎn)間直線段最短”提出四種證明方法。

關(guān)鍵詞：直線段；最短；證明

證明“平面上兩點(diǎn)間直線段最短”，有以下幾種思路：

思路一：先證“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”。設(shè)有線段DE、EF、AC，將DE、EF拉直成直線段DF，DF長|DE|+|EF|。若|DE|+|EF|≤|AC|，將D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，線段DF與AC重合，則F點(diǎn)在A、C之間或與C點(diǎn)重合，線段DE、EF、AC無法構(gòu)成三角形，故“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”。

再證本題。A、C兩點(diǎn)間有直線段AC。（1）對于經(jīng)過A、C兩點(diǎn)及直線外一點(diǎn)B的兩段連折線，連接線段AB、BC、AC，構(gòu)成三角形，則|AB|+|BC|>|AC|，所以連折線段長于直線段AC。（2）對于經(jīng)過直線外已知多個(gè)點(diǎn)的連折線，連接A、C和多個(gè)點(diǎn)，將此多邊形分割成多個(gè)三角形（對每個(gè)凹進(jìn)去的角，連接兩端點(diǎn)添加輔助線），多次運(yùn)用“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，證得接折線段長于直線段AC。（3）對于A、C間的曲線，可以分為無限多段連折線，當(dāng)經(jīng)過的點(diǎn)無限多時(shí)，此接折線就近似曲線了，同上，亦證得曲線段長于直線段AC。故兩點(diǎn)間直線段AC最短。

思路二：先證勾股定理并導(dǎo)出兩點(diǎn)間距離公式。設(shè)有4個(gè)同樣的直角三角形，斜邊長c、長直角邊長b、短直角邊長a，必能拼成一個(gè)以斜邊長c為邊長的正方形，中心恰好有個(gè)小正方形空隙（如果是4個(gè)等腰直角三角形，則沒有空隙）。小正方形空隙邊長是兩條直角邊之差，面積為（b-a）2，大正方形的面積c2=（b-a）2+4×ab÷2=a2+b2，即有勾股定理?？蓪?dǎo)出：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=。

思路四：假設(shè)A、C兩點(diǎn)間存在曲線段（包括折線段）S最短，那么接連A、C點(diǎn)，以直線AC為對稱軸，必有曲線段S2與S對稱，長度相等。取曲線S上任兩點(diǎn)E、F，連接此兩點(diǎn)，對于其間的曲線段，以直線EF為對稱軸，必有另一曲線段與其對稱，長度相等，這樣進(jìn)行分割、組合，就會存在無數(shù)條距離最短的曲線，而這在平面幾何中是不可能的，故直線段AC最短。

（作者單位：湖南省長沙市明德中學(xué)）