超越函數(shù)圖像非對稱性問題的常用結(jié)論及其應(yīng)用

胡意榮

近年來在高考和各地模擬考中對于超越函數(shù)的圖像非對稱性問題的考查比較深入，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度很大，令很多考生無從下手.針對這種題型，我們可以借鑒二次函數(shù)的對稱性，把這些圖像不對稱的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到極點同側(cè)的等價問題來解決.這種數(shù)學(xué)思想方法可以讓考生找到明確方向，并體驗到成功的喜悅.

一、兩個結(jié)論

我們熟知一個平常結(jié)論：如果二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像以直線x=x0為對稱軸，且f（x1）=f（x2），那么x1+x2=2x0.

注意x=x0是該二次函數(shù)f（x）的最值點，而對于超越函數(shù)有何相應(yīng)結(jié)論呢？

定理1如果函數(shù)f（x）在（m，x0]上遞增，在[x0，n）上遞減，且f（x1）=f（x2），（其中x1

（1）x1+x2>2x0f（2x0-x1）>f（x1）f（2x0-x2）

（2）x1+x2<2x0f（2x0-x1）f（x2）.

定理2如果函數(shù)f（x）在（m，x0]上遞減，在[x0，n）上遞增，且f（x1）=f（x2），（其中x1

（1）x1+x2>2x0f（2x0-x1）f（x2）；

（2）x1+x2<2x0f（2x0-x1）>f（x1）f（2x0-x2）

注意，定理1、定理2中的條件都分別出現(xiàn)兩個半開半閉區(qū)間（m，x0]，[x0，n），其實依次替換成[m，x0]，[x0，n]，或者（m，x0]，[x0，n]，或者[m，x0]，[x0，n），也都是可以的.

二、應(yīng)用舉例

上述兩個定理可應(yīng)用于符合條件的任何函數(shù)，而應(yīng)用于超越函數(shù)卻具有很強(qiáng)的針對性.

例1（2010年天津高考數(shù)學(xué)理科第21題）已知函數(shù)f（x）=x·e-x（x∈R）.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）已知函數(shù)y=g（x）的圖像與函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱，證明當(dāng)x>1時，f（x）>g（x）；

（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明x1+x2>2.

說明第（Ⅰ）、（Ⅱ）小題比較簡單，略解.第（Ⅲ）問即為超越函數(shù)非對稱性的問題，常規(guī)解法的思路彎繞，下面給出流暢解答.

解（Ⅲ）求導(dǎo)數(shù)得，f′（x）=e-x（1-x）.

令f′（x）=0，解得x=1，由此記x0=1.易知，函數(shù)f（x）在（-∞，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減.由于x1≠x2且f（x1）=f（x2），則不妨設(shè)x1<1

運用定理1知，欲證明目標(biāo)式x1+x2>2，只要證f（2x0-x1）>f（x1），

即只要證f（2-x1）>f（x1），

即只要證（2-x1）ex1-2>x1e-x1，

即只要證（2-x1）ex1-2-x1e-x1>0.

由此令h（x）=（2-x）ex-2-xe-x（x≤1），

則導(dǎo)數(shù)h′（x）=（x-1）（e-x-ex-2）=（x-1）e-x（1-e2x-2）<0（x<1），

則h（x）在（-∞，1]上遞減.

又因為x1<1，則h（x1）>h（1）=0，

即（2-x1）ex1-2-x1e-x1>0，故原結(jié)論正確.證畢.

評注：此外，用分析法轉(zhuǎn)化為論證不等式（2-x2）ex2-2-x2e-x2<0也是可行的.

例2（2016年全國新課標(biāo)卷Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明x1+x2<2.

說明本題滿分12分，根據(jù)2016年廣東高考年報顯示，廣東考生本題得分的平均分僅為0.6分，難度系數(shù)為005，可見此題的難度之大，下面給出詳解第（Ⅱ）小題.

解（1）a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)得

f′（x）=ex+（x-2）ex+2a（x-1）

=ex（x-1）+2a（x-1）

=（x-1）（ex+2a）（已求a>0），

則f（x）在（-∞，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增.

又因為f（x1）=0=f（x2），則不妨取x1<1

根據(jù)定理2，欲證明目標(biāo)式x1+x2<2，

即只要證f（2-x2）

即只要證（2-x2-2）e2-x2+a（2-x2-1）2<0，

即只要證x2e2-x2-a（1-x2）2>0.

又因為0=f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2，

則只要證x2e2-x2-（2-x2）ex2（x2-1）2（1-x2）2>0，

則只要證x2e2-x2+（x2-2）ex2>0.

由此令g（x）=xe2-x+（x-2）ex（x≥1），

則當(dāng)x>1時導(dǎo)數(shù)g′（x）=（x-1）（ex-e2-x）>0，

則函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增.

又因為x2>1，則g（x）>g（1）=0，

即x2e2-x2+（x2-2）ex2>0，故原結(jié)論正確.證畢.

評注：此例雖然與例1是一脈相承的，但在運用分析法的環(huán)節(jié)中卻增加了代入一個參數(shù)a=（2-x2）ex2（x2-1）2，這就增強(qiáng)了對學(xué)生的能力考查.

限于篇幅，不再舉例，最后提供一道附加題，供讀者練習(xí).

已知f（x）=lnx-ax，a∈R.

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)a=1時，g（x）=f（x）+x+12x-m有兩個零點x11.