可壓縮流體Navier-Slip邊界條件問題解的存在性研究

王雪娜, 雍 燕

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

可壓縮流體Navier-Slip邊界條件問題解的存在性研究

王雪娜, 雍 燕

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

證明了在有界區(qū)域Ω?3中帶Navier-Slip邊界條件的可壓縮Navier-Stokes方程的解的局部存在性.在證明過程中,首先利用線性化方法將方程轉(zhuǎn)化為線性方程,再利用Galerkin逼近方法得到線性方程組的弱解,通過能量估計(jì)方法,得到關(guān)于逼近解的一致先驗(yàn)估計(jì),取極限得到方程的解的局部存在性.

可壓縮Navier-Stokes方程; Navier-Slip邊界條件; 解的存在性

1 問題的提出

研究可壓縮Navier-Stokes方程在t>0上的初邊值問題的解的存在性已經(jīng)有了很長(zhǎng)的歷史,并且劃分了三類解,現(xiàn)將逐一介紹這三類解.

第一類解是光滑小解,最早由Matsumura等[1]提出,這種解的初始值和解在H3(Ω)中都近似等于一個(gè)常數(shù).后來,Danchin[2-3]將這個(gè)解推廣到齊次Besov空間.具體做法是將方程組線性化,然后對(duì)線性方程組進(jìn)行迭代,得到一組逼近解,證明逼近解的漸近衰減速率,最后將逼近解取極限得到原方程組解的存在性.這類光滑小解是連續(xù)可微的,缺點(diǎn)是不能體現(xiàn)出Navier-Stokes方程組自身的奇性.

第二類解是一般的“大能量”弱解,該解由文獻(xiàn)[4-5]引入,并由Feireisl推廣.這類解的好處是對(duì)任意大的初始能量和非負(fù)密度都容易證明解的存在性.但是,這一類解的集合比較大,通常還包含了非物理解.由于這類解的光滑性不夠,因此,對(duì)解的性質(zhì)分析起來比較困難.

第三類解是Hoff解.對(duì)于Hoff解而言,優(yōu)點(diǎn)是它保持了解的非線性性和物理上關(guān)心的一些有意義的特性.另一方面,這類解當(dāng)初值具有足夠的正則性時(shí),解一般也具有較好的正則性,一般可以根據(jù)相關(guān)定理來證明解的唯一性和連續(xù)性.關(guān)于全空間的Cauchy問題,Hoff解的研究已經(jīng)非常完備了.但是,對(duì)于有界區(qū)域,由于多了邊界,處理起來要相對(duì)困難一些.對(duì)有界區(qū)域,邊界條件有很多種提法,如Direchlet邊界、No-Slip邊界和Navier-Slip邊界等.

前人關(guān)于Navier-Stokes方程組Direchlet邊值問題解的存在性的研究結(jié)果比較豐富.例如,對(duì)于Direchlet邊界條件,文獻(xiàn)[6]給出了等熵Navier-Stokes方程

(1)

的解的局部存在性.

但是,關(guān)于Slip邊值問題的解的局部存在性研究起來更加困難.最近文獻(xiàn)[7]證明了等熵的Navier-Stokes方程組帶有Slip邊值問題的解的局部存在性.而本文研究了非等熵的Navier-Stokes方程組帶有Slip邊值問題的解的局部存在性.因?yàn)椋堑褥豊avier-Stokes方程組比等熵的Navier-Stokes方程組多了一個(gè)能量方程,在研究時(shí)除了要估計(jì)密度和速度,還要估計(jì)溫度,而溫度和速度是耦合在一起的,方程組更加復(fù)雜,因此,研究起來更加困難.

本文研究了帶有Navier-Slip邊界條件的非等熵Navier-Stokes方程

(2)

初始值條件為

(3)

Navier-Slip邊界條件為

(4)

式中,n(x)為?Ω上的單位外法向量;(·)τ為(·)的切向分量;α為正常數(shù);B為對(duì)稱矩陣,并且區(qū)域Ω和矩陣B滿足下列條件：

a.Ω是三維空間中的有界開集,且?Ω∈C3;

b. B在(ρ,u,θ)的鄰域內(nèi)是C1光滑的.

在本文中,如果不加特別說明,用字母C表示常數(shù).為了方便后面的敘述,構(gòu)造一個(gè)函數(shù)空間W.

其中,W是具有H1內(nèi)積的Hilbert空間,參見文獻(xiàn)[7].

現(xiàn)給出解的定義.

a. ρ∈C([0,T]; W1,q(Ω)),(u,θ)∈C([0,T];

H2(Ω))∩L2([0,T];W2,q(Ω))

ρt∈C([0,T]; Lq(Ω)),(ut,θt)∈C([0,T];

L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω))

其中,φ,ψ,φ在Ω×[0,T]上是Lipschitz連續(xù)的.則對(duì)于任意t,φ,ψ∈W,有(ρ,u,θ)是式(2)～(4)的解.

現(xiàn)介紹本文的主要結(jié)果(定理1).

定理1 令q∈(3,6],且q是常數(shù),如果初始值(ρ0,u0,θ0)以及h,f滿足下列條件:

和相容性條件:

則存在時(shí)間T*>0和唯一解(ρ,u,θ)滿足帶有條件式(3)和式(4)的初邊值問題,使得

u,θ滿足邊界條件(4).

2 幾個(gè)重要引理[8]

對(duì)于u∈H1(Ω),有

(6)

引理2 對(duì)于p∈[2,6],u∈H1(Ω),存在一個(gè)常數(shù)C=C(Ω),使得

(7)

引理3 對(duì)于u∈H1(Ω),存在常數(shù)C=C(Ω),使得

(8)

3 Lame算子和它的譜理論[9]

討論Lame算子L和特征函數(shù)的正則性.設(shè)式(2)和式(4)成立,

(9)

式中:β為常數(shù);g為已知函數(shù).

問題等價(jià)為：存在u∈W,使得對(duì)所有w∈W,有

S(w)+λdivudivw+βuw]dx

由Lax-Milgram定理,存在有界解算子Sβ∶L2(Ω)→W,使得對(duì)所有w∈W,滿足

(10)

引理4 設(shè)Ω?3是有界開集,?Ω∈C3(Ω),μ>0,2μ+3λ>0,B∈L(?Ω),且B是對(duì)稱矩陣,則對(duì)足夠大的β,存在緊自伴算子Sβ∶L2(Ω)→L2(Ω),Sβ∈W,使得式(10)成立.對(duì)所有g(shù)∈L2(Ω)和w∈W,存在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基{wk}k∈L2(Ω),且L2(Ω)?W∩C(Ω),使得Sβwk=λk-1wk,λk→.

引理5 設(shè)μ>0,2μ+3λ≥0,m≥0,Ω是有界開集,?Ω∈Cm+1(Ω),B∈Cm+1(Ω),其中,Cm=C(μ,λ,Ω,B,m)依賴于μ,λ,Ω,B,m.若u是式(9)的解,β,g∈Hm(Ω),則u∈Hm+2(Ω),且

(11)

(12)

對(duì)所有φ∈H1(Ω),γ足夠大且與κ,α,Ω有關(guān).

(13)

4 先驗(yàn)估計(jì)

現(xiàn)推導(dǎo)式(2)的解的先驗(yàn)估計(jì),在本文中假設(shè)存在常數(shù)c0,使得

(14)

然后作如下先驗(yàn)假設(shè)：存在c1和T*,使得

(15)

其中,1≤c0≤c1,0

本文中如果不加說明,C是依賴于μ,λ,κ,α,B,Ω以及f和h的范數(shù)的正常數(shù).

4.1 密度的估計(jì)

關(guān)于密度ρ的存在唯一性,Diperna等[10]得到式(16).

(17)

的解.

由式(16)可知,

首先在方程(2)的第2個(gè)等式兩邊同乘以ρq-1,并在Ω上積分,有

(18)

聯(lián)合式(18)和式(19),利用Gronwall不等式,有

(21)

4.2 熱能估計(jì)

用θ乘以方程(2)的第3個(gè)等式,在Ω上積分,有

由引理1可知,

用θt乘以方程(2)的第3個(gè)等式,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

對(duì)方程(2)的第3個(gè)等式關(guān)于t求偏導(dǎo),乘以θt,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

由上面2個(gè)式子,并且利用Gronwall不等式,有

4.3 速度估計(jì)

用u來乘以方程(2)的第2個(gè)等式,在Ω上積分,有

用ut乘以方程(2)的第2個(gè)等式,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

對(duì)方程(2)的第2個(gè)等式關(guān)于t求導(dǎo),乘以u(píng)t,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

由式(54)和式(55)可知,對(duì)0≤t≤min (T*,T5),利用Gronwall不等式,有

由Cauchy不等式可得

同時(shí),有

由前面的推異過程可得先驗(yàn)估計(jì).

5 線性化方程組的解的存在性

考慮方程(2)的線性化方程組

(56)

現(xiàn)證明該線性化方程組在Navier-Slip邊界條件下解的局部存在性.

引理8 令q∈(3,6],設(shè)v∈L([0,T];H2(Ω))∩L2([0,T];W2,q(Ω)),Ω是R3中的有界區(qū)域,vt∈L([0,T];L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω)),(ρ0,u0,θ0),f,h是已知函數(shù),且滿足正則條件:

邊界條件為

則帶有條件式(3)和式(4)的初邊值問題(56)存在唯一解(ρ,u,θ),使得

其中,(u,θ)滿足邊界條件式(4).

證明 可由文獻(xiàn)[8]中的定理4得到方程(56)的第1個(gè)等式的唯一解的存在性和正則性,現(xiàn)在用v代u,類似于式(20),可得到唯一解ρ，并且

線性動(dòng)量方程和能量方程可以寫成如下形式：

現(xiàn)用Galerkin方法得到式(57)中(θ,u)的存在性.令

則對(duì)θ,φ∈H1(Ω),u,ψ∈W,式(57)和式(58)的弱形式為

取um(·,0)∈Wm,θm(·,0)∈Vm,則有引理9.

其中,M1與B,L和Ω有關(guān).

類似于引理9的證明,可以證明引理10.

(62)

其中,常數(shù)M2與κ,α和Ω有關(guān).

(63)

其中,(,)是L2(Ω)的內(nèi)積,將θm(t)和um(t)代入式(59),則式(63)轉(zhuǎn)為如下線性常微分方程組：

(64)

現(xiàn)通過迭代方法構(gòu)造初邊值問題(2)～(4)的近似解.

a. 定義u0=0;

b. 設(shè)uk-1,k≥1,則(ρk,uk,θk)是下面的初邊值問題：

的解,且滿足初始條件和邊界條件：

6 定理1的證明

由引理8可知強(qiáng)解(ρk,uk,θk)的整體解的存在性.

由前面估計(jì)可知,

其中,C是僅依賴于α,μ,κ,B,Ω和f,h的范數(shù)的正常數(shù).由Aubin-Lions引理可得

因此,可得

類似于文獻(xiàn)[8]中的連續(xù)性討論,可證u∈C([0,T*];H1(Ω))∩C([0,T*];H2(Ω)),并由標(biāo)準(zhǔn)嵌入定理可得,ρ∈C([0,T*];W1,q(Ω)).定理1證畢.

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(編輯:石 瑛)

Local Solutions of a Compressible Flow Problem with Navier-Slip Boundary Conditions

WANG Xuena, YONG Yan

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The study shows that there exist local-in-time solutions of the compressible Navier-Stoke equations with Navier-Slip boundary conditions in a bounded domainΩ?3.To this end,the linearization approach,Galerkin method,standard energy method,aprior estimates and uniform convergence theorem have been used.

compressibleNavier-Stokesequations;Navier-Slipboundaryconditions;solutionsexistence

1007-6735(2017)01-0015-10

10.13255/j.cnki.jusst.2017.01.004

2016-12-10

王雪娜(1990-),女,碩士研究生.研究方向：偏微分方程.E-mail：2423948351@qq.com

雍 燕(1982-),女,講師.研究方向：偏微分方程.E-mail：yongyan_math@126.com

O 175.25

A