具有Ivlev型功能性反應(yīng)函數(shù)的隨機(jī)恒化器模型的閾值

龔 馳, 許超群, 原三領(lǐng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

具有Ivlev型功能性反應(yīng)函數(shù)的隨機(jī)恒化器模型的閾值

龔 馳, 許超群, 原三領(lǐng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

研究了一類具有Ivlev型功能性反應(yīng)函數(shù)的隨機(jī)單種群恒化器模型.證明了模型全局正解的存在唯一性和有界性,分析了模型的動(dòng)力學(xué)行為,得到了微生物在恒化器中平均持續(xù)和絕滅的閾值條件.

隨機(jī)恒化器模型; Ivlev型功能性反應(yīng)函數(shù); 平均持續(xù);絕滅

1 問題的提出

恒化器是對微生物進(jìn)行連續(xù)培養(yǎng)的一種實(shí)驗(yàn)室裝置,由3個(gè)相連的容器組成.第一個(gè)容器稱之為營養(yǎng)容器,其中裝有供微生物生長所需要的幾乎所有的營養(yǎng)物質(zhì).第一個(gè)容器中的營養(yǎng)以一定的速率被抽入到第二個(gè)容器(培養(yǎng)容器)供微生物增長所需要,同時(shí)以同樣的速率將培養(yǎng)容器中的物質(zhì)抽到第三個(gè)容器以使其容量保持不變.恒化器在微生物發(fā)酵、廢水處理工程等方面都有著非常重要的應(yīng)用,它有許多優(yōu)點(diǎn):相關(guān)參數(shù)可以通過實(shí)驗(yàn)測得,并且通過數(shù)學(xué)模型分析能得到與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符的結(jié)論.基于其在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的重要價(jià)值,近年來對恒化器的動(dòng)力學(xué)建模和研究受到了國內(nèi)外許多生物工作者、實(shí)驗(yàn)技術(shù)人員和數(shù)學(xué)工作者的廣泛關(guān)注,相關(guān)研究成果大量出現(xiàn).Smith等[1]詳細(xì)地綜述了恒化器動(dòng)力學(xué)建模的基本原理和研究方法.

隨著營養(yǎng)物質(zhì)濃度的增加,微生物對營養(yǎng)物質(zhì)的攝取會(huì)達(dá)到某一飽和狀態(tài),因此,微生物對營養(yǎng)的功能性反應(yīng)函數(shù)應(yīng)為單調(diào)增加且有界的函數(shù).例如,文獻(xiàn)[2-3]分別研究了具有Monod型和Beddington-DeAngelis型反應(yīng)函數(shù)的恒化器模型.在生態(tài)建模中,除Monod型和Beddington-DeAngelis型反應(yīng)函數(shù)外,另一類經(jīng)常用到的具有上述性態(tài)的功能性反應(yīng)函數(shù)是具有下列形式的Ivlev型功能性反應(yīng)函數(shù)[4]:

式中:h表示底物消耗的最大速率;c表示攝取動(dòng)機(jī)減小的一個(gè)常數(shù).

如果假設(shè)微生物對營養(yǎng)的攝取函數(shù)為Ivlev型功能性反應(yīng)函數(shù),則可以建立如下的單種群恒化器模型:

(1)

式中：S,x分別表示在t時(shí)刻營養(yǎng)物和微生物的濃度,且所有的參數(shù)都是正常數(shù);S0表示輸入營養(yǎng)的濃度;D為稀釋率;t為時(shí)間;m為最大增長率;a為微生物對營養(yǎng)的攝取效率.

注意到微生物的培養(yǎng)過程不可避免地會(huì)受到一些環(huán)境噪聲的影響,如培養(yǎng)環(huán)境的溫度、pH值以及其他因素的異動(dòng)等.最近,對考慮隨機(jī)環(huán)境干擾的微生物恒化培養(yǎng)過程的動(dòng)力學(xué)建模研究成為一個(gè)備受人們關(guān)注的熱點(diǎn)[5-9].如果在模型(1)中假設(shè)隨機(jī)噪聲的影響表現(xiàn)在對微生物的最大增長率影響上,即

(2)

式中:B是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

現(xiàn)分析模型(2)的動(dòng)力學(xué)行為.首先，證明模型(2)正解的全局存在唯一性；然后,進(jìn)一步研究微生物在恒化器中持續(xù)和絕滅的條件.

2 隨機(jī)模型(2)正解的全局存在唯一性與有界性

令N(t)=S(t)+x(t),由模型(2)可知

(3)

經(jīng)過簡單計(jì)算,容易知道:對于?t<τe,有

(4)

令ε0>0,使得S0>ε0且x0>ε0,則對于任意的正數(shù)ε(ε≤ε0),定義如下停時(shí):

定義函數(shù)

顯然V是正定的.使用伊藤公式可以得到

其中

結(jié)合式(4),可以得到

因此

對上式兩端從0到τε∧T積分,并取期望,得到

因此

式中,IΩε表示Ωε的示性函數(shù).

令ε→0,可得如下矛盾:

于是,可以得到,τ0=,a.s.

由式(4)的證明過程可得定理2.

即隨機(jī)模型(2)的解是有界的.

3 隨機(jī)模型(2)的動(dòng)力學(xué)行為

定義閾值

下面的定理3和定理4表明,在噪聲較小的情況下,微生物在恒化器中能夠持續(xù)與否完全由R0的大小唯一決定.

定理3 如果R0>1,那么,對于任意初值(S0,x0)∈Γ,隨機(jī)模型(2)的解滿足

即微生物在恒化器中以概率1平均持續(xù).

證明 在式(3)兩端從0到t進(jìn)行積分,得到

因?yàn)?(S0,x0)∈Γ,所以,對任意的t≥0,S(t)+x(t)=(S0+x0).因此,有

(5)

定義函數(shù)V(x)=lnx,使用伊藤公式可以得到

(6)

注意到S(t)≤S0,可以得到

注意到,當(dāng)S∈[0,S0]時(shí),有

所以

對式(6)兩端從0到t進(jìn)行積分,得到

其中

對式(7)兩端同時(shí)除以t,可得

結(jié)合式(5)，可得

其中

由于M(t)是局部連續(xù)鞅,滿足M(0)=0,且

由強(qiáng)大數(shù)定理可以得到

(9)

定理3得證.

證明 對隨機(jī)模型(2)使用伊藤公式,可以得到

其中,f∶+→定義為

將式(10)兩邊從0到t進(jìn)行積分,再同時(shí)除以t,得到

結(jié)合式(11),可得

由強(qiáng)大數(shù)定理可以得到

將上式兩邊取上極限,得到

下面的定理5表明,大的噪聲可以導(dǎo)致微生物在恒化器中整體溢出.

由式(11)可得

與定理4中證明方法相同,可以得到

4 數(shù)值模擬

現(xiàn)利用計(jì)算機(jī)模擬來驗(yàn)證所得理論結(jié)果的正確性.固定初值(S0,x0)=(0.65,0.35)和參數(shù)S0=1,D=0.8,a=0.65,通過變化其他參數(shù)值得到仿真結(jié)果.其中,藍(lán)線和紅線分別表示確定性模型(1)和隨機(jī)模型(2)的解曲線.

首先,取參數(shù)m=2.5,α=0.05,模擬結(jié)果如圖1所示.此時(shí),λ=0.593 31,滿足定理3的條件.從圖1中可以觀察到隨機(jī)模型(2)中的微生物是平均持續(xù)的,驗(yàn)證了定理3的結(jié)論.

圖1 隨機(jī)模型(2)與確定性模型(1)的解曲線(R0>1)

圖3 噪聲強(qiáng)度較大時(shí)隨機(jī)模型(2)與確定性模型(1)的解曲線

5 討 論

研究了一類隨機(jī)環(huán)境中微生物恒化培養(yǎng)的動(dòng)力學(xué)模型.利用停時(shí)理論證明了隨機(jī)模型正解的全局存在唯一性與有界性.在噪聲強(qiáng)度較小的情況下,通過對模型的研究得到了微生物在恒化器中平均持續(xù)和滅絕的閾值條件(定理3與定理4),同時(shí)還證明了強(qiáng)度較大的噪聲會(huì)導(dǎo)致微生物在恒化器中滅絕(定理5).

相對確定性模型而言,本文考慮的隨機(jī)恒化器模型得到的結(jié)論更加符合客觀實(shí)際,更有助于深入了解微生物培養(yǎng)的規(guī)律.然而,由于微生物在恒化器中的培養(yǎng)過程相對復(fù)雜,并且還會(huì)受到許多其他因素的影響,所建立的模型將更為復(fù)雜,對其動(dòng)力學(xué)行為的研究將更為困難,這將是下一步的研究工作.

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[3] PANG G P,CHEN L S.Analysis of Beddington-DeAngelis food chain chemostat with periodically varying substrate[J].Journal of Mathematical Chemistry,2008,44(2):467-481.

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[9] XU C Q,YUAN S L.Competition in the chemostat:a stochastic multi-species model and its asymptotic behavior[J].Mathematical Biosciences,2016,280:1-9.

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(編輯:石 瑛)

Threshold of a Stochastic Chemostat Model with the Ivlev Functional Response Function

GONG Chi, XU Chaoqun, YUAN Sanling

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

A stochastic single-species chemostat model with the Ivlev functional response function was studied.The global existence,uniqueness and boundedness of its positive solution were proved.Then the dynamics of the model was analyzed.The threshold conditions of the persistence in mean and the extinction of microorganisms in the chemostat were obtained.

stochasticchemostatmodel;Ivlevfunctionalresponsefunction;persistenceinmean;extinction

1007-6735(2017)01-0001-06

10.13255/j.cnki.jusst.2017.01.001

2016-10-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271260,11671260);上海市一流學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012);滬江基金資助項(xiàng)目(B14005)

龔 馳(1991-),男,碩士研究生.研究方向:生物數(shù)學(xué).E-mail:1475535549@qq.com

原三領(lǐng)(1966-),男,教授.研究方向:生物數(shù)學(xué).E-mail:sanling@usst.edu.cn

O 211.6

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