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    巧用平移建聯(lián)系,數(shù)形結(jié)合探性質(zhì)

    2023-09-27 07:54:02張艷
    中學(xué)理科園地 2023年5期
    關(guān)鍵詞:直觀想象單元整體深度學(xué)習(xí)

    張艷

    摘? ?要:從單元整體視角出發(fā),通過(guò)喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)y=ax2的相關(guān)內(nèi)容與經(jīng)驗(yàn),結(jié)合解析式、表格、圖象,引導(dǎo)學(xué)生探究y=a(x-h)2與y=ax2從數(shù)到形的區(qū)別與聯(lián)系,從而自主得到形如y=a(x-h)2的二次函數(shù)圖象與性質(zhì).數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)思想 .從特殊到一般,利用平移探究函數(shù)圖象是初中階段研究函數(shù)的重要方法.

    關(guān)鍵詞:?jiǎn)卧w;深度學(xué)習(xí);直觀想象;代數(shù)推理;類(lèi)比遷移

    華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”,二次函數(shù)因其既有解析式又有圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想常常能夠巧妙地解決相關(guān)問(wèn)題.在新授課的教學(xué)中,就應(yīng)該注重?cái)?shù)形結(jié)合的滲透.然而由于二次函數(shù)解析式形式相比于一次函數(shù)更多樣,圖象性質(zhì)也比一次函數(shù)更復(fù)雜,學(xué)生在解析式系數(shù)與圖象的關(guān)系上更容易混淆.因此在二次函數(shù)圖象和性質(zhì)一節(jié)中,針對(duì)從y=ax2到y(tǒng)=a(x-h)2+k的探究,若能從單元整體視角設(shè)計(jì),結(jié)合函數(shù)的平移,即可以讓學(xué)生更深刻地理解不同形式的二次函數(shù)解析式之間的關(guān)系,又可以讓數(shù)形結(jié)合的滲透更加水到渠成.下面將以y=a(x-h)2圖象與性質(zhì)一節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)為例,闡釋如何借助單元整體視角,抓住解析式從特殊到一般的內(nèi)在關(guān)聯(lián),自然地滲透數(shù)形結(jié)合思想.

    1? 回顧舊知,喚醒研究方法

    (1)在坐標(biāo)紙上畫(huà)出函數(shù)y=x2的圖象,并歸納步驟.

    (2)以表格形式讓學(xué)生回顧,如表1.

    (3)問(wèn)題1:從解析式和圖象上思考y=ax2與y=ax2+k的聯(lián)系.

    問(wèn)題2:k的意義?

    設(shè)計(jì)意圖:(1)畫(huà)y=x2函數(shù)圖象既能讓學(xué)生回顧研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般步驟,其表格和圖象對(duì)后續(xù)新函數(shù)y=(x-1)2還起到參照作用,更直觀地得出兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系.(2)表格的呈現(xiàn),一方面讓學(xué)生回憶起前兩次課從哪些方面研究二次函數(shù)圖象與性質(zhì),另一方面直觀地感受y=ax2與y=ax2+k在填寫(xiě)內(nèi)容上的區(qū)別與聯(lián)系,從而使學(xué)生更好地回憶起后續(xù)的兩個(gè)問(wèn)題.(3)問(wèn)題1提示學(xué)生從數(shù)和形兩方面思考聯(lián)系,代數(shù)方面,解析式y(tǒng)=ax2+k比y=ax2多了一個(gè)k,圖象方面,y=ax2+k可以由y=ax2上(下)平移k個(gè)單位得到.這兩方面聯(lián)系均與k有關(guān),從而引出k的意義:從數(shù)上說(shuō),他是自變量為0時(shí)的函數(shù)值,從形上看,他是函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

    2? 研究方法遷移,探索表格奧秘

    任務(wù):以y=(x-1)2為例,研究形如y=a(x-h)2的函數(shù)圖象與性質(zhì).

    步驟1:列表

    問(wèn)題1:許多同學(xué)填寫(xiě)表2的第一行延續(xù)了表3第一行的取值,回憶表3的畫(huà)圖過(guò)程,這種自變量取值方式對(duì)畫(huà)圖有何幫助?可以得出什么結(jié)論?

    問(wèn)題2:猜想y=(x-1)2圖象是否也會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)?是否也具有對(duì)稱(chēng)性?

    問(wèn)題3:未畫(huà)圖,如何讓猜想更具有說(shuō)服力?

    問(wèn)題4:表2的自變量取值有沒(méi)有更好的方式?

    問(wèn)題5:填好表2后,通過(guò)表格,你能初步想象出y=(x-1)2的圖象形狀與位置嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:函數(shù)表格中的每一列x,y和點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng),因此表格中數(shù)的規(guī)律可以反映其圖形特征.通過(guò)問(wèn)題1,喚醒學(xué)生通過(guò)兩對(duì)y值相等得出對(duì)稱(chēng)軸從而畫(huà)出對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖象這一經(jīng)驗(yàn),思考表2的填寫(xiě)方式,調(diào)整自變量的取值,使得y的值與表3相同.從而透過(guò)表格驗(yàn)證問(wèn)題2的猜想.在動(dòng)手畫(huà)圖之前提出問(wèn)題5,旨在發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想.

    3? 畫(huà)圖驗(yàn)證猜想,直觀揭示聯(lián)系

    步驟2:在坐標(biāo)紙上描點(diǎn),連線,獲得函數(shù)圖象.

    問(wèn)題1:通過(guò)5個(gè)點(diǎn),我們描繪出的函數(shù)圖象直觀上看是關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)的,你能利用點(diǎn)與圖象的位置關(guān)系證明這個(gè)結(jié)論嗎?

    問(wèn)題2:將函數(shù)y=(x-1)2補(bǔ)充在表1最后一行下方,自行完成相關(guān)性質(zhì)的填寫(xiě).

    問(wèn)題3:結(jié)合上課初始所畫(huà)y=x2的圖象,思考二者聯(lián)系.

    問(wèn)題4:你是如何發(fā)現(xiàn)二者聯(lián)系的?

    問(wèn)題5:利用表格,能否佐證你的發(fā)現(xiàn)?

    問(wèn)題6:結(jié)合表格,思考如何證明y=(x-1)2可由y=x2向右平移1個(gè)單位得到?

    設(shè)計(jì)意圖:直觀的結(jié)論需要通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸娇沙闪?,?wèn)題1和6對(duì)學(xué)生的要求較高,例如問(wèn)題1學(xué)生需要設(shè)x=a,帶入解析式得到y(tǒng)的值,再將A(a,(a-1)2)通過(guò)x=1對(duì)稱(chēng)得到新的點(diǎn)坐標(biāo)A' (2-a,(a-1)2),最后驗(yàn)證A'落在y=(x-1)2上.設(shè)計(jì)問(wèn)題1,可以發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力,也讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)形的直觀與數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn).

    利用課前的知識(shí)回顧表格,能更直觀地感受y=(x-1)2和之前的函數(shù)在性質(zhì)上的區(qū)別與聯(lián)系.問(wèn)題3-5引導(dǎo)學(xué)生思考產(chǎn)生這些聯(lián)系的本質(zhì)原因.問(wèn)題3 先從圖象入手,能較為直觀地得到平移的關(guān)系,再?gòu)膬蓚€(gè)表格第一行每個(gè)數(shù)值對(duì)應(yīng)差1,第二行相同,這一代數(shù)角度印證5個(gè)點(diǎn)存在平移關(guān)系,問(wèn)題6要求學(xué)生將5個(gè)點(diǎn)的平移關(guān)系一般化到任意點(diǎn),從而推理證明結(jié)論,再次讓學(xué)生經(jīng)歷由直觀猜想到嚴(yán)謹(jǐn)論證的思維過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

    4? 從特殊到一般,歸納圖象性質(zhì)

    步驟3:以y=(x-1)2的圖象性質(zhì)結(jié)論,推廣得出y=a(x-h)2的函數(shù)圖象與性質(zhì)

    問(wèn)題1:不畫(huà)圖,你能說(shuō)出y=(x-2)2是如何由y=x2平移得到的嗎?

    問(wèn)題2:解析式如何反映平移情況?

    問(wèn)題3:將函數(shù)y=(x-h)2補(bǔ)充在表1最后一行下方,自行完成相關(guān)性質(zhì)的填寫(xiě)

    問(wèn)題4:y=(x-h)2與y=x2解析式是否也有相同之處?

    問(wèn)題5:將函數(shù)y=a(x-h)2繼續(xù)補(bǔ)充在表1最后一行下方,完成相關(guān)性質(zhì)的填寫(xiě)

    問(wèn)題6:類(lèi)比y=ax2+k中k的意義,思考h的意義

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題1,2讓學(xué)生感受解析式中參數(shù)h和圖象平移之間的關(guān)系,利用控制變量法,先讓學(xué)生理解y=(x-h)2與y=x2的平移關(guān)系后,通過(guò)問(wèn)題4,讓學(xué)生關(guān)注到二者的二次項(xiàng)系數(shù)相同,再次體會(huì)參數(shù)a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小與方向,即二次函數(shù)的形狀.從而自然地將y=a(x-h)2與y=ax2聯(lián)系起來(lái),得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象與性質(zhì).

    5? 教學(xué)思考

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中指出,課程目標(biāo)的確定,立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展,集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值.而結(jié)構(gòu)化、情境化、凸顯學(xué)科大概念的知識(shí),發(fā)展核心素養(yǎng)的功能最強(qiáng).單元是知識(shí)結(jié)構(gòu)化的重要表現(xiàn),深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)單元學(xué)習(xí)[ 1 ].二次函數(shù)解析式形式多樣,人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”中包含了y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k四部分內(nèi)容,傳統(tǒng)教學(xué)中教師往往是通過(guò)對(duì)某個(gè)具體函數(shù)進(jìn)行五點(diǎn)法畫(huà)圖,觀察圖象特征,或通過(guò)幾何畫(huà)板展示若干同樣形式的函數(shù)圖象,由學(xué)生觀察共性,從而得到函數(shù)性質(zhì).采用這樣的教學(xué)設(shè)計(jì),學(xué)生往往是以孤立的方式記憶每個(gè)形式解析式的圖象性質(zhì),對(duì)于學(xué)困生而言,知識(shí)容易遺忘混淆.本節(jié)課從單元整體視角出發(fā),抓住研究函數(shù)圖象的基本步驟:列表,描點(diǎn),連線,將y=(x-1)2和y=x2分別從表格、點(diǎn)、圖象方面進(jìn)行對(duì)比,從數(shù)和形感知二者的平移關(guān)系,使學(xué)生在掌握了y=ax2圖象性質(zhì)的基礎(chǔ)上,僅需部分調(diào)整,就能得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象性質(zhì).這種教學(xué)設(shè)計(jì)同樣適用于研究y=ax2+k,即教材中探究完y=ax2后,對(duì)于y=a(x-h)2和y=ax2+k的探究是不分先后的.只不過(guò)由于y=ax2+k和y=ax2的關(guān)系與正比例和一次函數(shù)的關(guān)系類(lèi)似,從認(rèn)知理論來(lái)說(shuō),先研究y=ax2+k學(xué)生更好接受.在該設(shè)計(jì)下,對(duì)于y=a(x-h)2+k,學(xué)生完全有能力自己獨(dú)立探究,獲得圖象性質(zhì),從而建立起二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

    另外,新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)邏輯推理不僅僅存在于幾何中,代數(shù)也應(yīng)該關(guān)注推理能力的滲透.因此在觀察出圖象對(duì)稱(chēng),以及圖象間的平移關(guān)系后,嘗試著要求學(xué)生通過(guò)代數(shù)推理論證.該要求一方面能夠讓學(xué)生完整地經(jīng)歷觀察—猜想—論證的思維過(guò)程,強(qiáng)化學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;另一方面示范了如何借助點(diǎn)坐標(biāo)完成坐標(biāo)系背景下相關(guān)圖形猜想的證明,由數(shù)證形,滲透了數(shù)形結(jié)合思想,為解析幾何打下基礎(chǔ).

    參考文獻(xiàn):

    [1] 劉月霞,郭華.深度學(xué)習(xí):走向核心素養(yǎng)(理論普及讀本)[M].北京:教育科學(xué)出版社,2018.

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