2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷解三角形綜合題的特點(diǎn)與教學(xué)啟示

黃春霜 彭永婷

摘? 要：深度分析2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷解三角形綜合題（第19題）的特點(diǎn)，從中得到解三角形綜合題教學(xué)啟示.追根尋源，回歸教材，建構(gòu)解題思維模型；提升遷移應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞：解三角形；方法探源；核心素養(yǎng)；試題分析；教學(xué)啟示

2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第19題是解三角形綜合題，考查基本知識(shí)的遷移，將三角形的基本要素求解與證明和正余弦定理、面積、向量等內(nèi)容高度融合，對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)，信息提取與整合能力等提出較高要求.新課改所提倡的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)在這一題中體現(xiàn)得淋漓盡致.本文以新高考Ⅰ卷第19題為例，深度挖掘解三角形綜合題隱含的思想方法及其在教材中的呈現(xiàn)內(nèi)容及形式，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出教學(xué)策略及建議.

1? 呈現(xiàn)試題與解法分析

（新高考Ⅰ卷T19）如圖1，記？駐ABC是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC

分析： （1）應(yīng)用正弦定理求解，內(nèi)容略.

（2）此問(wèn)可用兩種解法（三角法、相量法等）解答.

解法1——采用三角法

整理得，6a2-11ac+3c2=0，方法同上.

2? 研究試題特點(diǎn)

2.1? 試題解法來(lái)源教材

該題解法1采用三角法，既可結(jié)合兩相鄰三角形鄰角互補(bǔ)其余弦值互為相反數(shù)；也可用嵌套三角形中同角的余弦值相等，兩次活用余弦定理列出方程進(jìn)而求解.此法源于教材， 人教版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)A版（2019年版）第53頁(yè)第15題就是采用此法，可見(jiàn)該法應(yīng)用的重要性.此題得到的結(jié)論也叫中線性質(zhì)定理，對(duì)其結(jié)論稍作變形即為“平行四邊形兩對(duì)角線的平方和等于其兩鄰邊平方和的兩倍”.追根溯源后發(fā)現(xiàn)該結(jié)論在教材人教版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)A版（2019年版）P39例2以探究的形式出現(xiàn)，而教材中卻是借助向量工具來(lái)探究的.平行四邊形若只看其中一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)此圖類(lèi)似“爪子”的形狀，而“爪”圖在向量一章被廣泛應(yīng)用，從而想到利用平面向量基本定理.自然就有了解法2向量法的產(chǎn)生.同時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)此種解法與教材中用向量推導(dǎo)余弦定理，簡(jiǎn)直如出一轍.教材P42探究余弦定理的過(guò)程即是從向量運(yùn)算的三角形法則出發(fā)，讓向量與其自身作數(shù)量積運(yùn)算，借助向量數(shù)量積、模等的運(yùn)算得到了體現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的重要定理之余弦定理.兩種方法都有效滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、方程等思想.

2.2? 滲透學(xué)科核心素養(yǎng)，強(qiáng)化思維品質(zhì)考查

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)[ 1 ].學(xué)生在未來(lái)生活中能否發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析、解決問(wèn)題很大程度上依賴(lài)于直觀想象素養(yǎng)是否真實(shí)落地.2021年新高考Ⅰ卷第19題，試題要求學(xué)生對(duì)題目所給條件進(jìn)行恰當(dāng)邏輯推理、綜合分析后，證明邊長(zhǎng)相等，并求出角的余弦值.解答過(guò)程中通過(guò)直觀想象畫(huà)出圖形，輔助理解顯得尤為重要.通過(guò)方程組思想列出方程后能否解出正確答案，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.3? 落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)，考查學(xué)科關(guān)鍵能力

人教A版中解三角形這一節(jié)的內(nèi)容新課標(biāo)明確提出：探索任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系；掌握正、余弦定理；運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，是現(xiàn)階段高中生應(yīng)有的學(xué)科能力.解決2021年新課標(biāo)Ⅰ卷19題涉及的必備知識(shí)是正、余弦定理，面積公式、三角恒等變換、向量等.此題并非常規(guī)地利用正、余弦定理或者面積公式來(lái)求解三角形，而是通過(guò)兩次應(yīng)用余弦定理建立方程組進(jìn)行相關(guān)的推理運(yùn)算.在課標(biāo)要求的基礎(chǔ)上對(duì)試題進(jìn)行了重新歸整，著重考查學(xué)生的學(xué)科邏輯推理能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力.

2.4? 穩(wěn)中有變求創(chuàng)新，考查類(lèi)比遷移和綜合應(yīng)用能力

直面高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，是全國(guó)卷高考題一大特點(diǎn).例如，近三年全國(guó)卷中都有涉及解三角形知識(shí)的考查，但考查的方式不盡相同[ 2 ] .2019年全國(guó)文、理數(shù)學(xué)卷都以解答題方式考查解三角形，涉及正余弦定理、三角恒等變換等知識(shí)內(nèi)容的運(yùn)用；2020年江蘇卷考查對(duì)嵌套三角形的求解，與今年考查題型類(lèi)似；全國(guó)Ⅱ卷17題考查解三角形求角、求周長(zhǎng)最值問(wèn)題；2021年考查解三角形時(shí)，注重通過(guò)落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)提高學(xué)生運(yùn)算能力.往年更多的是三角求解，今年是三角證明，不過(guò)道理相通.不難發(fā)現(xiàn)，這幾年對(duì)解三角形知識(shí)內(nèi)容的考查，試題難度基本保持穩(wěn)定，考查內(nèi)容涵蓋了三角函數(shù)內(nèi)容的所有知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力也是提出了較高要求.

3? 教學(xué)啟示

3.1? 追根尋源回歸教材，建構(gòu)解題思維模型

在教學(xué)中通過(guò)挖掘教材中例題、習(xí)題、定理、公理所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生了解到高考中所用的一些解題思想方法并非無(wú)源之水，無(wú)本之木，而是源于教材、高于教材，從而使學(xué)生更易理解和掌握[ 3 ].通過(guò)對(duì)教材的典型例題、習(xí)題進(jìn)行恰當(dāng)梳理和必要拓展，分門(mén)別類(lèi)構(gòu)建解題的思維模型，是提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率的重要途徑之一.例如，本題中探究的“爪”型圖對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，學(xué)生在人教A版必修二（2019版）第六章的學(xué)習(xí)中從向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理的學(xué)習(xí)，再到平面向量的應(yīng)用中，一直在接觸類(lèi)似模型處理問(wèn)題.在平時(shí)教學(xué)中可對(duì)此圖可能涉及的多種情況進(jìn)行規(guī)整，包括中線定理，角平分線定理，三等分點(diǎn)或者更為一般的位置.利用它們的探究結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)比較，發(fā)現(xiàn)其一般規(guī)律，以后學(xué)生再遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)即可迅速分辨其所屬類(lèi)型，提取已有的相應(yīng)思維模式迅速答題.

3.2? 加強(qiáng)模塊專(zhuān)題化復(fù)習(xí)，提升遷移應(yīng)用能力

梳理近年高考三角綜合題的高頻考點(diǎn)，構(gòu)成?？紝?zhuān)題知識(shí)體系，加強(qiáng)專(zhuān)題化復(fù)習(xí)和重難點(diǎn)突破.解三角重點(diǎn)突破如下項(xiàng)目：正余弦定理直接應(yīng)用；三角函數(shù)取值范圍問(wèn)題；周長(zhǎng)、面積取值范圍問(wèn)題；嵌套三角形求解問(wèn)題等.專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生本身實(shí)際情況設(shè)定相應(yīng)專(zhuān)題訓(xùn)練的例題和習(xí)題，并提升學(xué)生遷移應(yīng)用能力.以學(xué)習(xí)人教A版必修二第六章——余弦定理為例，學(xué)生需要熟悉如集合、函數(shù)、三角函數(shù)、向量等基礎(chǔ)知識(shí).這些基礎(chǔ)知識(shí)都將有助于直接破解余弦定理發(fā)現(xiàn)和證明等難題.在探究余弦定理的過(guò)程中，教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題呈現(xiàn)形式也應(yīng)盡可能有利于學(xué)生知識(shí)遷移能力的培養(yǎng).例如，可以問(wèn)學(xué)生，你能否用代數(shù)式形式表示出它的邊角關(guān)系？對(duì)于此問(wèn)題，學(xué)生給出的結(jié)論可能多種多樣，教師在一一分析解答中，學(xué)生知識(shí)遷移和應(yīng)用能力都將得到提升.

3.3? 依托真實(shí)情境和跨學(xué)科融合，強(qiáng)化探究的過(guò)程體驗(yàn)

真實(shí)情境是培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)探究能力的重要依托.應(yīng)當(dāng)深入挖掘在真實(shí)情境中隱含的教學(xué)內(nèi)容，以及它們所涉及的數(shù)學(xué)本質(zhì)、規(guī)律和思想方法等.例如，人教A版必修二第六章所學(xué)的向量相關(guān)知識(shí)是有很強(qiáng)的物理學(xué)科韻味的.從物理中位移、力的合成得到啟發(fā)，引進(jìn)向量的加法；由力和位移兩個(gè)向量，明確做功這一標(biāo)量，受到啟發(fā)，引入向量的數(shù)量積；研究小船行程最短或時(shí)間最短問(wèn)題時(shí)，學(xué)生是有一定生活經(jīng)驗(yàn)的，讓他們想象自己在河中游泳，如何到達(dá)？問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)可以只有題干，沒(méi)有問(wèn)題，由學(xué)生自己提出問(wèn)題并解決問(wèn)題.倘若教學(xué)中教師能精心選擇跨學(xué)科素材，以自主學(xué)習(xí)或合作探究模式進(jìn)行解法探索和過(guò)程體驗(yàn)，就能讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

3.4? 強(qiáng)化學(xué)科思想方法滲透，提升學(xué)科核心素養(yǎng)

以中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系為指導(dǎo)思想，落實(shí)立德樹(shù)人任務(wù)，是新高考背景下學(xué)科教學(xué)的時(shí)代使命.依托數(shù)學(xué)知識(shí)，淡化特殊技巧，探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題能力的必由之路.教師唯有通過(guò)在教學(xué)中把握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教會(huì)學(xué)生如何追本朔源，弄清問(wèn)題本質(zhì)，學(xué)生才能舉一反三，融會(huì)貫通，才有可能真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的真諦.例如，因三角形隸屬于幾何圖形，從平面幾何的角度出發(fā)探究問(wèn)題本質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想重要體現(xiàn).從實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)生活中測(cè)量角度、高度、距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可解的三角形問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)真正回歸生活，也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在.結(jié)構(gòu)不良開(kāi)放試題也是近幾年新出現(xiàn)的題目類(lèi)型，在解三角中經(jīng)常被采用.教師在教學(xué)時(shí)可通過(guò)此類(lèi)題型，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化重組，與學(xué)生在問(wèn)題的探究過(guò)程中，讓知識(shí)脈絡(luò)更加清晰.同時(shí)，學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)也能得到提升[ 3 ].

總之，對(duì)照課程標(biāo)準(zhǔn)，深研教材原型，建構(gòu)思維模型，加強(qiáng)模塊整合，強(qiáng)調(diào)跨學(xué)科融合，滲透數(shù)學(xué)思想等教學(xué)舉措能有效增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)“解三角形綜合題”效果，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生根發(fā)芽.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 楊孝斌，周?chē)?guó)利，周婭.兩道“解三角形”高考題的解法研究、比較分析及教學(xué)啟示：以全國(guó)Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)2017年第17題、2019年第18題為例[J].興義民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020（1）：112-116，124.

［3］ 林運(yùn)來(lái).基于邏輯推理素養(yǎng)的高三復(fù)習(xí)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（9）：24-26.