從主動獲取走向自覺內(nèi)化

葉先玖 尤桂林

從小學到高中，數(shù)學教材中的數(shù)學實驗活動、素材、案例一直都有，教師也可以自己發(fā)掘和設(shè)計有趣的數(shù)學實驗，幫助學生學好數(shù)學。

數(shù)學實驗給學生提供了動手操作的機會。在實驗中，學生會經(jīng)歷觀察猜想、情感經(jīng)歷、經(jīng)驗積累到建模驗證等過程，并在這一過程中獲取基本的數(shù)學知識，形成基本技能，積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟基本數(shù)學思想方法。在主動獲取數(shù)學知識中，學生走向數(shù)學知識、方法、技能、經(jīng)驗、數(shù)學思想等的自覺內(nèi)化，學會思考數(shù)學，拓展數(shù)學眼光。

本期，我們一同思考怎樣用好數(shù)學實驗來教學。

《一元二次方程求根公式》被安排在人教版九年級上冊，教材是利用配方法推導(dǎo)出[ax2+bx+c=0（a≠0）]的求根公式的，即由得[ax2+bx+c=0（a≠0）]得[（x+b2a）2=b2-4ac4a2]，從而得到[x=-b±b2-4ac2a]。教材這樣處理，意圖是讓學生通過活動理解并掌握公式，感悟配方法。筆者在多年教學中發(fā)現(xiàn)，如果單純地這樣去處理，部分學生感覺抽象、枯燥，對求根公式和配方法僅停留于套公式、套步驟、套方法的層次，不能真正理解這部分內(nèi)容。于是，筆者立足教材，對這部分內(nèi)容作了如下調(diào)整。

環(huán)節(jié)一 拼圖喚醒，回顧完全平方公式

出示圖1：如圖1分別是邊長為[a]，[b]的兩個大小一樣的長方形和邊長分別為[a]，[b]的兩個正方形。

問題1：你可以用上述四個圖形，拼圖驗證完全平方公式嗎？說說你的操作過程與方法。

學生先用紙版拼圖，然后交流展示。在學生表述結(jié)論后，教師用計算機動畫展示拼圖過程，得到圖2。

在學生解決好上述問題后，教師用計算機展示古代尼羅河因為河水定期漲水，土地測量人員不得不多次丈量土地，久而久之，形成了利用“出入相補”原理推導(dǎo)一元二次方程求根公式，為學生后續(xù)學習作好思維啟迪和鋪墊。

環(huán)節(jié)二 拼圖探索x（x+b）=c的求根公式

出示問題2：一個邊長為x的正方形與另一個以此正方形的邊為長的長方形（寬為b）的面積之和為c，求此正方形的邊長。

學生得出方程[x]（[x]+[b]）=[c]后，追問：你能構(gòu)圖直觀表示出這個方程代表的意思嗎？

如圖3，將長方形分割為兩個相等的小長方形，把其中一個小長方形放到正方形的底端，然后在右下角補上一個邊長為[b2]的小正方形，可得到一個邊長為[x]+[b2]的大正方形，如圖4，其面積為[（x+b2）2=c+b24]，由此求出[x]=[c+（b2）2±b2]。

把圖3變形為圖4的方式，可以得到[（x+b2）2=c+b24]，從而得到[x]=[c+（b2）2±b2]。（因為面積為邊長都為正數(shù)，所以開平方時負值舍去）。

問題3：若把上述問題看作一個代數(shù)問題，應(yīng)當怎樣表示，從這個實驗過程中你會得到什么結(jié)論？

結(jié)論：方程[x]（[x+b]）=[c]，即[x2+bx=c]解為[x]=[±c+（b2）2][±][b2]。

問題4：你會拼圖求解[x2+bx=c]嗎？它與問題3是否相同？學生容易得到[x2+bx=c]即為[x]（[x+b]）=[c]。

環(huán)節(jié)三 借圖推理[ax2+bx=c（a≠0）]的求根公式

問題5：你會在問題2和問題4的基礎(chǔ)上，直接說出[ax2+bx=c（a≠0）]的解嗎？

在學生充分思考交流的基礎(chǔ)上，教師和學生一起把問題5轉(zhuǎn)化到問題2即問題4并推導(dǎo)：若將等式兩邊同除以[a]，得[x2+bax=ca]，這就得到了形如[ax2+bx=c（a≠0）]的方程，即變形為[x]（[x+b]）=[c]的形式了。同樣可利用上面的公式求解，即把原公式中的b換成[ba]，c換成[ca]，則得的解為[x]=[±ca+（b2a）2]-[b2a]。

環(huán)節(jié)四 從拼圖實驗感悟配方法推導(dǎo)求根公式

問題6：相信你會在上述基礎(chǔ)上求[ax2+bx+c=0（a≠0）]的解了吧，說說你的思路。

把[ax2+bx+c=0（a≠0）]與[ax2+bx=c（a≠0）]進行比較，先把[ax2+bx=c（a≠0）]寫成[ax2+bx+c=0（a≠0）]的形式，不難發(fā)現(xiàn)，求一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的根，只需把[ax2+bx+c=0（a≠0）]中的c替換成[-c]，相應(yīng)地把求根公式中的[c]也替換成[-c]，即得到[x]=[±-ca+（b2a）2]-[b2a]，化簡得[x]=[±][-b±b2-4ac2a]。

環(huán)節(jié)五 配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式

問題7：從問題5的推導(dǎo)過程，結(jié)合完全平方公式，你會從代數(shù)角度，進行一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的求根公式嗎？學生自行推導(dǎo)，教師歸納配方法的步驟和注意要點。

環(huán)節(jié)六 反思與提升

問題8：從代數(shù)推理角度，你還有其他思路嗎？

結(jié)論：利用等式基本性質(zhì)，可以對方程兩邊同時乘以4[a]，得[4a2x2+4abx+4ac=0]，兩邊加上[b2]，得[4a2x2+4abx+4ac+b2=b2]，從而有[（2ax+b）2=b2-4ac]，整理得[x]=[±-b±b2-4ac2a]

問題9：一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]是否一定有實數(shù)根？或者說，以上述推導(dǎo)過程，有沒有失誤？如果有，請指出并說明理由。（過程和答案略）

教學反思

“教什么？”本課數(shù)學實驗，著眼于數(shù)學思考，從激發(fā)學生學習興趣入手，浸潤獲取知識與技能的方式，積累發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的經(jīng)驗。從以上實驗教學環(huán)節(jié)可以看出，實驗教學側(cè)重于一元二次方程求根公式的來由、過程和其蘊含的數(shù)學結(jié)合、轉(zhuǎn)化、配方、“出入相補”等基本的數(shù)學思想和方法，并在實驗中經(jīng)歷情感體驗、人文價值和數(shù)學思考。

“怎么教？”走進數(shù)學發(fā)展歷史，觸摸學生思維心理活動，精心設(shè)計實驗步驟，制作必要的演示課件，漸次呈現(xiàn)，展示思路。在選題之后，需要精心設(shè)計問題，優(yōu)化講評方式，利用計算機動畫漸次呈現(xiàn)的方式，把一元二次方程求根公式推導(dǎo)及配方法的思路富有啟發(fā)式地展示出來，讓學生在講評過程中懂得觀察系數(shù)的特點，感悟思路貫通的方式。

“教給誰？”認真研判所教學生的學情水平、未來發(fā)展可能。教學經(jīng)典問題最重要的就是學情研判，針對所教學生開展教學是教學預(yù)設(shè)最需要重視的。因為如果學生對完全平方公式還不能很好地掌握，或?qū)W生內(nèi)心根本就覺得單純的代數(shù)運算沒有幾何拼圖那樣直觀有趣，那么他們會因為抽象或枯燥而覺無趣，他們還會主動獲?。窟€會覺得非常重要？如此，配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，也將會是一個難以實現(xiàn)的教學目標。

（作者單位：葉先玖，宜昌市秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級中學；尤桂林，宜昌市秭歸縣水田壩鄉(xiāng)初級中學）

責任編輯 陳建軍

責任校對 張 敏