求解一道題 明白一個理*

增城區(qū)第一中學(511300) 王曄

求解一道題 明白一個理*

增城區(qū)第一中學(511300) 王曄

平日小測卷中的一道填空題,引起了作者的求解、思考和感悟.真實地再現(xiàn)了青年數(shù)學教師執(zhí)教的心路歷程.并因此感悟到命題人的良苦用心,以及教學相長的快樂.

一、試題

在最近的一次習題講評課中,試卷講評完快下課的時候,一位學生提出把昨天的小測試卷中的最后一道填空題再講講.小測練習大多是簡單的基礎題,平日的做法就是給答案學生自己核對,偶爾有稍難的題目,科代表和班里的數(shù)學尖子也可以解答.學生這一問,我不由得拿起小測試卷看了看題目,這一看,我呆住了：這道題看來是要動筆算算才行.怎樣解呢?我手中的粉筆遲遲不能落筆,頓時也就理解學生們的困難.這時候下課鈴響了,我長舒一口氣：“這題下節(jié)課再議,你們再好好想想.”說完快步走回辦公室.

試題在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊, a+c=4,(2-cosA)tan=sinA,則△ABC面積最大值為____.

二、求解

1.不求甚解,大膽猜想

在回辦公室途中,好學的科代表快步跟上來,不依不饒地追問著：“老師請先教教我,很多同學問這道題,我要教會他們,不然我會被他們看不起的.”以往的解題經(jīng)驗告訴我這些填空題通常會有一些特殊解法,比如特殊值法.于是我邊走邊問道：“題目答案是多少啊?”“是.”“那你有考慮特殊值嗎?這個三角形有沒有可能是等邊三角形呢?若是等邊三角形,它的面積會怎樣呢?先從特殊值入手,回去好好想想吧.”科代表高高興興地走了,可我又沉思了：這種特殊值法行不行得通呢?帶著這些疑問回到辦公室,我立馬著手演算起來.

2.用不等式,合情推理

再次審視題目時候,筆者注意到“最大值”這個字眼,數(shù)學上求解最值的題目很多,但常用方法無非就是那幾個,于是筆者想到基本不等式這個知識點.當我們得到b=2后,利用基本不等式有a+c≥所以=4當且僅當a=c=2時,取等號,所以此時a=b=c=2,從而△ABC是等邊三角形,故所以

這個解法看起來合情合理,整個過程一氣呵成.但細細一想,這里利用三角形面積公式求面積時候,只是保證了ac=4取得最值,但是對于sinB來說就不一定取得最大值了.也就是說不能同時保證acsinB達到最大值.看來,這種解法還是有缺陷的.

3.三角變換,又難又繁

既然此種解法有缺陷那還得繼續(xù)努力把這個缺陷補上,或許換種思路看看是否有解.于是筆者從這個等式入手,看看是否可行.通過大量的運算化簡總算有眉目了,解題過程如下：

這個解法所用的知識不多,只不過是一步步利用三角變換不斷地化簡和基本不等式求最值,方法比較常規(guī)沒有什么技巧,學生是可以接受的.應該是達到了比較理想的境地.但這種方法是不適合在課堂上講的,只能課后對數(shù)學科代表講.

4.海倫公式,終得正解

通過三角變換,雖然可以獲得一個算是比較完滿的結果.但是,這種解法對學生來說難以思考得到,并且十分繁瑣.化簡過程中若其中任何一步有差錯,整個題目將越錯越遠,這種解法顯然不是最優(yōu)解法,只適于向學生做簡單的介紹而不應作為主要解法去引導學生分析求解.于是我再次陷入了苦思冥想中,回歸題目,既然三角變換這樣繁雜,那應該還是從面積的求解著手解決問題.高中階段,三角形面積的求解無非就是或者還有一個不常用的求解公式就是海倫公式,但這個公式僅僅作為課后閱讀材料,不要求學生掌握,這里是否會利用到海倫公式呢?帶著這個疑問,筆者細心求解.根據(jù)海倫公式有：因為b=2,a+c=4,所以又因為當且僅當3-c=c-1,即c=2時取等號,所以有至此,心里多少有些寬慰,終于找到這個問題的比較滿意解法,心想,出題者的本意應該就是考察海倫公式和基本不等式的靈活應用.但筆者認為這也只是表面上的成功,實質上充滿遺憾.兩個班100多位學生沒有一位能夠想到利用海倫公式求解,因為所用解法對于高中生來說實在是比較陌生,與目前所學的知識水平相差甚遠,這在某種程度上不能不說是失敗的.況且,這種解法還是存在一定的缺陷,由于不知道邊c的取值范圍,也就是說當利用基本不等式時候,還不能保證(3-c)和(c-1)都是正值.

5.聯(lián)系橢圓,靈感突現(xiàn)

帶著上述的有遺憾的成功,筆者再次思考,這題作為填空題,是否還有一些更加巧妙的解法呢?遺憾的是當日才思枯竭,沒有更多想法,只能暫且放置一邊.那段時間正進行期末復習,常與橢圓打交道,一日突然靈感來了.三角形的邊長a+c=4兩者之和為一個定值,那這不就類似于橢圓的定義：一個動點到兩個定點的距離之和為一個定值.如圖所示：

也就是|P1F1|+|P1F2|=2a, |P1F1|看成△ABC邊a,|P1F2|視作△ABC邊c.這樣當動點P1運動到點 P2時候,這就有|P2F1|=|P2F2|=2,也得到a= c=2,且這時候也取得最大值,△F1P2F2視作△ABC,則|F1F2|=b=2,那么

圖1

這一解,我豁然開朗.原來,這種解法巧妙的聯(lián)系了橢圓的定義,把角度的大小和邊長之和的大小問題一并解決.并且這種數(shù)形結合的方法,學生更加容易接受、理解.是啊,這樣的解法,通過作圖,結合橢圓的性質很快得到正確的答案.

三、感悟

求解此題,從開始的一臉茫然到特殊值法,從初有思路到留有遺憾,從終得正解到巧妙求解,心路歷程中有疑慮、有喜悅、有頓悟,真可謂“山重水復疑無路,柳暗花明又一村”.事后上網(wǎng)一查,發(fā)現(xiàn)這道小測題原來就是2016年廣州理科二模測試題第16題,作為最后一道填空題,應該屬于中等偏上難度的題目,但對我們學校的學生來說就是難題了.這道題,出題人是在暗示我們什么呢?無非是要引導學生學習知識不能呆板,要縱橫聯(lián)系,舉一反三.這道題,教師本可以選擇將答案告訴學生而不必細講,但是學生往往有強烈的求知欲,他們想“打破砂鍋問到底”,正是學生這種“追根求源”的精神激發(fā)了我不斷地探究.所謂“教學相長”,說的應該是這樣吧.是的,教學中學生能“刨根問底”,教師要“見微知著”,此為教書之快樂！

*本文是廣州市教育科學十二五規(guī)劃2014課題《“1”創(chuàng)業(yè)校本課程的開發(fā)與利用研究》的階段性論文,課題贊助單位：廣州市教育局；類別：面上一般課題；課題編號：1201431380.