中職數(shù)學(xué)實(shí)施數(shù)形結(jié)合教學(xué)的四個(gè)路徑

王定

摘 要：數(shù)形結(jié)合是中職數(shù)學(xué)最為基本的思想方法，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透這種思想，有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，強(qiáng)化思維能力訓(xùn)練，同時(shí)有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)行技能提升和智能發(fā)展，還有利于創(chuàng)新型人才的發(fā)展與培養(yǎng)。就中職數(shù)學(xué)實(shí)施數(shù)形結(jié)合教學(xué)的途徑而言，教師應(yīng)聯(lián)系數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)；借助直觀的數(shù)學(xué)圖形感知數(shù)學(xué)概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值；根據(jù)圖像分析感知函數(shù)形式，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想；在三角函數(shù)和解析幾何中強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；有效性

中圖分類號(hào)：G71 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2017）05-0087-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.053

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)最為重要的思想理念，能夠?qū)崿F(xiàn)抽象與具體的融合，真正做到把抽象數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，將具體現(xiàn)象和問(wèn)題理論化。從數(shù)學(xué)的起源和應(yīng)用來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)是從具體現(xiàn)象和圖形中概括出一般的定理和規(guī)律，數(shù)學(xué)應(yīng)用則是用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)理論解決各種形式的形象化、具體化的生產(chǎn)、生活問(wèn)題。中職數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，是培養(yǎng)學(xué)生思維和素養(yǎng)的根本要求，也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要方式，能為學(xué)生找到更為方便快捷的解題方式，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提高學(xué)習(xí)效率。因此，教師要重視數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的滲透，采取有效策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度系數(shù)，實(shí)現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化以及數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀化、生動(dòng)化，最終提高教學(xué)效率。

一、聯(lián)系數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)

讓學(xué)生記住一些概念，掌握一些公式、定理，做一些常規(guī)習(xí)題較為容易，但是，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想是一項(xiàng)綜合性教育實(shí)踐活動(dòng)，既需要思想方面的引導(dǎo)，又需要意識(shí)領(lǐng)域的強(qiáng)化，還要做到理論與實(shí)踐相結(jié)合、認(rèn)識(shí)與現(xiàn)實(shí)相統(tǒng)一。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，首先應(yīng)該認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從數(shù)學(xué)的起源感知數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生能夠真正感知數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展和應(yīng)用研究方面的重要性。在漫長(zhǎng)的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河里，“數(shù)”產(chǎn)生的原因是現(xiàn)實(shí)生活中有太多的“形”需要進(jìn)行計(jì)算，在處理各種生產(chǎn)生活中的問(wèn)題時(shí)，必須通過(guò)一些數(shù)的對(duì)接和轉(zhuǎn)化才能實(shí)現(xiàn)形的變化和銜接，通過(guò)建立數(shù)量關(guān)系能夠非常方便、快捷地分析和處理各種問(wèn)題。

比如，分?jǐn)?shù)產(chǎn)生就是一個(gè)非常典型的例子，遠(yuǎn)古人類是打結(jié)計(jì)數(shù)，生活或生產(chǎn)中遇到了不能用整段繩子進(jìn)行表示的問(wèn)題，產(chǎn)生半數(shù)現(xiàn)象。

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，先人創(chuàng)造性地發(fā)明了半數(shù)繩子的表現(xiàn)形式——分?jǐn)?shù)，也就有了最初的分?jǐn)?shù)與整數(shù)之間的換算，接著便有了分?jǐn)?shù)之間的運(yùn)算。這些數(shù)的確立和界定又需要通過(guò)具體的形表呈現(xiàn)和記錄，還有很多的數(shù)量關(guān)系以及各種計(jì)算整合的技巧和方法都需要通過(guò)一些具體的形的方式進(jìn)行標(biāo)注，這樣數(shù)量關(guān)系從產(chǎn)生到應(yīng)用就有著非常緊密的關(guān)系。讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的發(fā)展演變，感知數(shù)與形的特殊關(guān)系，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，看到各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，觀察一些數(shù)據(jù)、算式的時(shí)候，要想到對(duì)應(yīng)的圖形；看到一些生活中的現(xiàn)象，一些生產(chǎn)應(yīng)用的實(shí)際問(wèn)題，要想到運(yùn)用數(shù)來(lái)量化分析。

例如，函數(shù)是中職數(shù)學(xué)中最為重要的知識(shí)，應(yīng)用非常廣泛。學(xué)習(xí)掌握函數(shù)的相關(guān)知識(shí)時(shí)，要學(xué)會(huì)借助繪制圖像的方式將各種函數(shù)關(guān)系具體直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，然后再借助函數(shù)圖像感知函數(shù)的性質(zhì)、特點(diǎn)，把握二者之間的關(guān)系。這樣，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，不僅能夠降低學(xué)習(xí)的難度，還能夠教會(huì)學(xué)生如何分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)他們的數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生更加形象、直觀地感知、理解和應(yīng)用函數(shù)知識(shí)。在分析現(xiàn)實(shí)生活中的一些特殊商品的價(jià)格波動(dòng)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖像和具體數(shù)據(jù)的融合，分析一些現(xiàn)象背后的問(wèn)題。比如，從2015年10月開(kāi)始，豬肉價(jià)格上漲，一直持續(xù)到現(xiàn)在，而與之相對(duì)應(yīng)的活羊及羊肉的價(jià)格卻一直呈現(xiàn)明顯的下降趨勢(shì)。讓學(xué)生根據(jù)這一材料繪制出隨時(shí)間變化的豬肉和羊肉價(jià)格走勢(shì)曲線圖，再進(jìn)一步向前搜集更多的豬肉和羊肉價(jià)格的相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制出最近幾年豬羊肉價(jià)格的發(fā)展趨勢(shì)。這樣，能夠?qū)⑵綍r(shí)較為凌亂的價(jià)格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成體現(xiàn)一定趨勢(shì)和發(fā)展變化規(guī)律的圖形，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，以此分析價(jià)格走勢(shì)的一般規(guī)律，找到影響價(jià)格走勢(shì)的基本要素，這樣有利于對(duì)以后的發(fā)展變化做出科學(xué)合理的預(yù)判，從而更好地指導(dǎo)存欄和出欄生產(chǎn)。這樣能夠讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)科的起源、發(fā)展和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用等方面感知數(shù)形結(jié)合思想。

二、借助直觀的圖形感知數(shù)學(xué)概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生感到很多數(shù)學(xué)概念較為抽象，不容易理解，不少學(xué)生不能快速分析判斷和高效做題，一個(gè)重要的原因是未能真正理解概念的內(nèi)涵。概念是思維邏輯的基本要素，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，學(xué)生記住了概念，不代表能夠真正理解概念，也不能保證他們能夠正確應(yīng)用好數(shù)學(xué)概念。借助直觀形象的圖形引導(dǎo)學(xué)生感知理解數(shù)學(xué)概念，降低理解難度，提高教學(xué)效率，減少認(rèn)知強(qiáng)度，增加學(xué)習(xí)樂(lè)趣；深入全面掌握數(shù)學(xué)概念，細(xì)致精準(zhǔn)地把握數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

例如，學(xué)習(xí)集合的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，對(duì)于很多高一學(xué)生來(lái)說(shuō)，一開(kāi)始就接觸這樣抽象的數(shù)學(xué)概念，感到非常難以理解，涉及元素、子集、集合等關(guān)系也是非常迷茫。此時(shí)，運(yùn)用圖像展示的方式幫助學(xué)生感知具體概念，既是實(shí)現(xiàn)初中與高中教學(xué)方式的銜接過(guò)渡，也是一開(kāi)始就滲透數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn)。先用韋恩圖來(lái)向?qū)W生展示集合的另一種體現(xiàn)方式。通過(guò)平面里面一條封閉曲線的內(nèi)部體現(xiàn)一個(gè)集合，接著組織引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展合作討論，兩條封閉曲線可以有幾種位置關(guān)系，并鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐來(lái)演示，學(xué)生非常積極，很快畫(huà)出了4種位置關(guān)系，如圖：

再組織學(xué)生觀察圖中四種位置關(guān)系的不同之處，運(yùn)用剛剛學(xué)習(xí)的集合概念表述他們的關(guān)系，學(xué)生很容易就找到了恰當(dāng)?shù)谋硎稣Z(yǔ)言：（1）中A和B沒(méi)有重合的共同部分，也就可以判定他們沒(méi)有共同的元素；（2）中兩者有明顯的重合部分，這就說(shuō)明他們有著一部分共同的元素，還有一些彼此獨(dú)有的元素；（3）中B完全將A包括進(jìn)去了，而圖（4）中的兩個(gè)集合A和B是完全重合的。所以，可以再將子集劃分為兩大類：第一，真子集也就是集合A是集合B的子集，而且是集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，而集合A中的所有的元素都屬于集合B，如圖（3）的關(guān)系；第二，集合相同，也就是說(shuō)，集合A和集合B完全重合，集合A中的所有元素都屬于集合B，且集合B中所有的元素都屬于集合A，如圖（4）的關(guān)系。通過(guò)韋恩圖能夠讓學(xué)生非常直觀地感知集合、元素、真子集、集合相等所有的較為抽象的概念和相互關(guān)系，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟集合的思想，更能夠讓學(xué)生以此類比，用集合的思維去分析現(xiàn)實(shí)生活中的各種關(guān)系。

然后，引導(dǎo)學(xué)生去感知集合的運(yùn)算，讓學(xué)生從字面上體會(huì)認(rèn)知“交”“補(bǔ)”“并”的集合間的相互關(guān)系和內(nèi)在含義，再指導(dǎo)學(xué)生用韋恩圖圖形來(lái)表述他們的內(nèi)在含義，從最為直觀的層面來(lái)感知分析他們的具體含義，真正理解集合語(yǔ)言，將數(shù)形結(jié)合思想滲透到集合教學(xué)的全過(guò)程，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維。

三、根據(jù)圖像分析感知函數(shù)形式，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的知識(shí)體系。傳統(tǒng)的函數(shù)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)表述，而近代函數(shù)則是從映射與集合的觀點(diǎn)分析闡釋。雖然學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸了簡(jiǎn)單的一次函數(shù)和二次函數(shù)，也能感知函數(shù)圖像和函數(shù)的簡(jiǎn)單關(guān)系。但是，那時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容非常簡(jiǎn)單，很多學(xué)生只是掌握一些基本的概念，會(huì)做一些最為簡(jiǎn)單的習(xí)題，尤其是初中讓學(xué)生運(yùn)用集合語(yǔ)言表述函數(shù)的定義、性質(zhì)，運(yùn)用代數(shù)的手段判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，這樣抽象的關(guān)系很多學(xué)生感到很不容易。為此，教師需要先做基本的引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步了解。

比如，學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念以后，教師可以根據(jù)學(xué)生的理解和感悟程度，向?qū)W生設(shè)置這樣一道習(xí)題：下列圖像之中哪個(gè)不能夠作為函數(shù)的圖像。

教師可先引導(dǎo)學(xué)生從形的角度來(lái)強(qiáng)化函數(shù)的定義和性質(zhì)。再比如，研究一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像和性質(zhì)時(shí)，在初中階段已經(jīng)掌握了基本的描點(diǎn)法做函數(shù)圖像，由此，依照建構(gòu)主義思想，讓學(xué)生能夠通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線幾個(gè)基本的步驟，畫(huà)出函數(shù)的圖像，再讓學(xué)生從數(shù)的角度去感知函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，讓學(xué)生借助圖像能夠非常直觀地理解函數(shù)的奇偶和單調(diào)，再進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)圖形來(lái)感知函數(shù)的對(duì)稱性，讓學(xué)生全面理解函數(shù)的定義和性質(zhì)，既有文字的表述，又有數(shù)據(jù)的反映，更有圖像的呈現(xiàn)，學(xué)生也就能夠真正領(lǐng)悟到“數(shù)沒(méi)有了形就不能直觀，形離開(kāi)了數(shù)就難以入微”。

在解函數(shù)問(wèn)題時(shí)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)圖像，達(dá)到簡(jiǎn)潔、直觀、快捷的效果。讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)，并真正體會(huì)函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征的緊密對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合的特征和方法。

例如，已知函數(shù)

若，求a的取值范圍。

分析，如果單一的讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)定義和條件，學(xué)生感到較為抽象，也難以理解，而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，則顯得直觀而又快捷。

由

得

=

由

又，所以，

在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如圖所示，能夠非常直觀地?cái)喽▋蓚€(gè)圖像相切，此時(shí)

可見(jiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題，能夠根據(jù)函數(shù)的解析式畫(huà)出函數(shù)的圖像，又可以非常直觀地利用函數(shù)圖像分析解題。解決函數(shù)問(wèn)題不是教學(xué)的根本目的，培養(yǎng)學(xué)生的思維方式才是教學(xué)的重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生能夠在具體問(wèn)題分析時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，建立準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、在三角函數(shù)和解析幾何中強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想

三角函數(shù)和解析幾何是中職數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，占有相當(dāng)大的比重。三角函數(shù)和解析幾何都是數(shù)形結(jié)合的典范，是滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，是理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方式。一直以來(lái)，三角函數(shù)是學(xué)生理解的難點(diǎn)，也是解決比較數(shù)值大小及最值問(wèn)題的設(shè)題重點(diǎn)。一般都是將函數(shù)化成基本三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的圖像或者單位圓快速解決問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用。

例如，設(shè)函數(shù)則（ ）

A 在區(qū)間是增函數(shù)

B 在區(qū)間是減函數(shù)

C 在區(qū)間是增函數(shù)

D 在區(qū)間是減函數(shù)

分析：要想更好地解決這個(gè)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是最好的處理方式，畫(huà)出函數(shù)的圖像，根據(jù)具體的區(qū)間能夠做出非常直觀的判斷。首先做出函數(shù)的圖像，如下圖，根據(jù)圖像對(duì)應(yīng)的自變量區(qū)間，準(zhǔn)確判斷該題的正確選項(xiàng)為A。

中職數(shù)學(xué)中，解析幾何是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是考試命題的重點(diǎn)，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的關(guān)鍵點(diǎn)。研究解析結(jié)合不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)做一些習(xí)題，更為重要的是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，使其能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。解決解析幾何問(wèn)題的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解析幾何教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的解題能力，又是強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維方式的重要載體。研究幾何圖形的性質(zhì)和定義，離不開(kāi)對(duì)應(yīng)的圖像，解決相關(guān)的問(wèn)題，需要畫(huà)出相關(guān)的圖形，無(wú)論是圓雙曲線還是拋物線、雙曲線以及一些空間圖形的性質(zhì)及定理。每年的高考都會(huì)設(shè)置立體幾何和解析幾何的試題，需要重點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生考試成績(jī)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，如果直線與曲線無(wú)公共點(diǎn)，則 k，b需要滿足的條件是 ，在分析講解這道試題的時(shí)候，需要強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。首先做出函數(shù)的圖像，如圖所示，由此可以看出，

總之，中職數(shù)學(xué)最為基本的思想方法是數(shù)形結(jié)合，中職數(shù)學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，強(qiáng)化他們的數(shù)學(xué)思想，以此更好地豐富他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)中重視數(shù)形結(jié)合思想，注重滲透這種思想，能夠化抽象為具體，將枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)理論學(xué)習(xí)變得較為生動(dòng)直觀，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。讓學(xué)生既能夠深入理解數(shù)學(xué)概念，高效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，又能夠強(qiáng)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升技能，促進(jìn)自身智能發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊薇.例談中職數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透——等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)[J].中國(guó)校外教育，2016（1）：148-149.

[2] 張志開(kāi).巧借數(shù)形結(jié)合思想提升中職數(shù)學(xué)解題效率[J].理科考試研究（初中版），2016（1）：2.

[3] 黃全勝.“數(shù)形結(jié)合”思想方法在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2016（6）：33.

[4] 代德全，盤(pán)如春.數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)課堂中的實(shí)施[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（11）：109.

[5] 伊建軍.玩轉(zhuǎn)數(shù)形結(jié)合提升數(shù)學(xué)思維——數(shù)學(xué)思想與解題方法專題之?dāng)?shù)形結(jié)合思想[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2016（2）：31-34.

[6] 王紹鳳.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研 究，2016（3）：58.

[責(zé)任編輯 齊真]