例談圖形的全等分割

王翠玲

[摘 要] 背景圖形不同，分割要求不同，對應(yīng)的分割方案也不同. 如以正方形為背景，把確定分割線的問題轉(zhuǎn)化為以正方形的中心為中心找成中心對稱的點；如在“非對稱圖形的全等分割”中，把“非對稱圖形”轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的“對稱圖形”——矩形，以降低探究難度，破解分割障礙.

[關(guān)鍵詞] 全等分割；折線型；曲線型；旋轉(zhuǎn)

全等圖形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，是學(xué)生從單一圖形過渡到復(fù)雜圖形的認知基礎(chǔ)，其中全等圖形的分割設(shè)計是一項有意義、富有挑戰(zhàn)的教學(xué)活動. 在活動中，教師應(yīng)首先引導(dǎo)學(xué)生分析已知圖形——“父圖”的特征，抓住“全等圖形指的是兩個圖形能夠完全重合”的內(nèi)涵，根據(jù)要求進行全等分割，獲得“子圖”. 下面結(jié)合一些圖例，與大家一起分享.

圖例賞析

（一）以對稱圖形為背景

1. 以圓為背景

例1 要在圓形的空地上種植4種不同顏色的花，每種顏色的花集中種植，且所占地面的形狀、大小都相同，請畫出設(shè)計方案（分割線用實線表示）.

“種植4種不同顏色的花，每種顏色的花集中種植，且所占地面的形狀、大小都相同”，也就是把圓分割成4個全等的圖案. 如圖2，根據(jù)圓的軸對稱性可知互相垂直的兩條直徑便把圓分割成4個全等的扇形，這是絕大部分學(xué)生都可以想到的最基本的設(shè)計方法.

這種方法所呈現(xiàn)的分割線是直線，我們稱之為“直線型”，該方法很容易被學(xué)生理解和接受，但此時學(xué)生的思維處于淺層次運作狀態(tài).

教師可以再設(shè)置以下問題，引導(dǎo)學(xué)生探索不同的分割方法：

（1）分割后，每一部分的面積與原來圖形面積有何數(shù)量關(guān)系？

（2）“直線型”中的每一個扇形的圓心角是多少度？你能利用旋轉(zhuǎn)驗證“直線型”的合理性嗎？

（3）分割線一定是直線嗎？折線、曲線行嗎？

學(xué)生借助問題導(dǎo)航，根據(jù)分割要求（把圓分割成4個全等的圖案），通過獨立分析、嘗試畫分割線、小組合作交流等方式可以獲得不同的分割方法，筆者將其分割方法分為兩大類——“折線型”和“曲線型”.

折線型 如圖3、圖4，巧用旋轉(zhuǎn)畫折線.

如圖3，以折線0AB為基礎(chǔ)分割線，以點O為旋轉(zhuǎn)中心依次旋轉(zhuǎn)90°，每經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)得到一處分割線（如折線ODC，OFE，OHG）. 從圖形直觀感知，我們可以看出此時分割的目的已經(jīng)達成.

對于幾何圖形問題，我們重視幾何直觀的同時，也要重視合情說理. 如根據(jù)要求“把圓分割成4個全等的圖案”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形構(gòu)成著手，認識到每一個圖形的面積等于圓的面積的1/4，理解“折線型”實質(zhì)上是在“直線型”的基礎(chǔ)上進行割補而已：如將原有（圖3）的扇形OCB中“割”去△AOB，又“補”了與之全等的△COD，利用等式性質(zhì)——以算代證，可知SBAODC=S扇OCB，且整個圓可以看作是由4個具有旋轉(zhuǎn)關(guān)系的全等“子圖”構(gòu)成的. （類似的，我們還可以設(shè)計圖4“法西斯”式的折線圖）

曲線型 如圖5、圖6、圖7，巧用旋轉(zhuǎn)畫曲線.

“折線型”和“曲線型”是在“直線型”基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造，是“直線型”的一種“轉(zhuǎn)型”，每一種分割方法都滲透著轉(zhuǎn)化、全等變換等思想. 如以4個全等扇形為基礎(chǔ)，以等式的性質(zhì)為算理，在每一個對應(yīng)區(qū)域順次剪裁一個全等的圖形，使相鄰扇形的不同部分組合成新的圖形，從而獲得四等分全等分割. 殊途同歸，學(xué)生也可以以基本圖形為原型（如圖5中的基本圖形是），從圖形旋轉(zhuǎn)的角度（依次旋轉(zhuǎn)90°）進一步理解分割方案，這對于深化學(xué)生對全等圖形的認知、拓寬學(xué)生的思維，大有裨益.

2. 以正方形為背景

例2 已知正方形ABCD，要求將其分割成兩個全等圖形.

教師可以設(shè)置以下問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索不同的分割方法：

（1）分割后，每一部分的面積與原來圖形的面積有何數(shù)量關(guān)系？

（2）正方形是軸對稱圖形嗎？是中心對稱圖形嗎？對稱中心是什么？

（3）在例1中“把圓分割成4個全等圖形”，我們運用了90°的旋轉(zhuǎn)角，而例2要求把正方形分割成兩個全等圖形，我們能否也從旋轉(zhuǎn)的角度進行思考？旋轉(zhuǎn)角應(yīng)該是多少度？你有什么分割猜想？

（4）分割線可以是直線嗎？折線、曲線行嗎？

“如果我們成功地回想一個以前求解過的與我們當(dāng)前的題目有某些相關(guān)的題目，我們就很幸運. 我們應(yīng)該努力爭取并獲得這樣的幸運. ”教師要善于啟發(fā)學(xué)生遷移、類比相關(guān)知識，引導(dǎo)學(xué)生積極捕捉“幸運”知識鏈條. 顯然，類比例1的背景圖形——圓，例2中的正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，其分割方法有可借鑒之處. 幸運的是，通過學(xué)生的積極思考、嘗試分割，也獲得了“直線型”“折線型”和“曲線型”等分割方案.

方法1 “直線型”，這是一種簡單易懂的分割方法，如圖8、圖9、圖10，過對稱中心的任意一條直線均是符合要求的分割線.

教師可以結(jié)合圖10，引導(dǎo)學(xué)生進行合情推理：如圖11，連接AC，因為點O是正方形ABCD的中心，所以AO=CO，根據(jù)“AAS”或“ASA”易證△AOE≌△COF，進而知四邊形AEFD≌四邊形CFEB.

方法2 “折線型”：如圖12～圖15，以正方形ABCD的對稱中心O為中心，在滿足條件BE=DH，OF=OG的情況下（圖14的點E與點B重合，點H與點D重合；圖15的點E與點A重合，點H與點C重合），即確定了對稱點：點E和點H，點F和點G，也確定了折線段E-F-O與折線段H-G-O關(guān)于點O成中心對稱，進而獲得折分割線E-F-O-G-H，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)（成中心對稱的兩個圖形全等）或利用等積轉(zhuǎn)化的方法（以其中一條對稱軸為分割參照線，輔助合情推理），驗證分割后的兩個圖形全等.

方法3 “曲線型”，如圖16和圖17，與“折線型”相似，以中心對稱為理論依據(jù)（旋轉(zhuǎn)角為180°），在滿足相同條件下有規(guī)則地畫關(guān)于中心O對稱的弧線. 如圖16，直線EF是正方形的對稱軸，分別以O(shè)E，OF為直徑在正方形的對稱軸兩側(cè)畫半圓，這兩個半圓關(guān)于中心O成中心對稱，所獲得的兩部分為全等圖形， 則為分割線. 學(xué)生根據(jù)已有的推理經(jīng)驗，以正方形的對稱軸為輔助線，運用“割補”轉(zhuǎn)化的方法，易證分割后的“子圖形”對應(yīng)全等.？搖

3. 變式：以網(wǎng)格線的對稱圖形為背景

例3 用不同方法沿網(wǎng)格線把正方形分成兩個全等的圖形.

其實，分割方法仍然類似，關(guān)鍵是確定對稱點、確定對稱線段，即抓住對稱中心發(fā)散線路（如圖18，點A，B關(guān)于中心O的對稱點分別是點D，C，則分割線為A-B-O-C-D）. 與前例不同的是，此題中的關(guān)鍵詞是“沿網(wǎng)格線”，則對分割方法加以限制：分割線只能是水平的或豎直的，不能是斜線或曲線（如圖18、圖19）.

例4 把圖20中的網(wǎng)格圖形用一條折線沿網(wǎng)格線分割成兩個全等圖形. 請畫出兩種不同的分割方案，然后與同伴交流你的發(fā)現(xiàn).

菱形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形. 根據(jù)軸對稱性，學(xué)生容易獲得“直線型”分割方案（如圖21，AB是分割線）；根據(jù)中心對稱性，學(xué)生借助已有的活動經(jīng)驗（以菱形的中心O為中心，確定對稱點線段，即抓住對稱中心發(fā)散線路）可以獲得不同的分割方法，如圖21、圖22、圖23和圖24.

對稱圖形是初中幾何學(xué)習(xí)的“重頭戲”，所以以對稱圖形為背景研究全等圖形應(yīng)作為全等分割教學(xué)的重點，而在非對稱圖形中探究全等分割，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

（二）以非對稱圖形為背景

例5 在圖25中沿網(wǎng)格線把圖形分割成兩個全等形.

設(shè)小正方形的邊長為1，與“4×4型（邊長為4）”正方形相比，相當(dāng)于上面的“1×4型（寬為1，長為4）”矩形向右平移了1個單位長度. 根據(jù)正方形的軸對稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生猜想：原對稱軸經(jīng)過“1×4型”矩形的部分是不是也應(yīng)向右平移一個單位長度？

學(xué)生通過動手畫圖，獲得圖26所示的分割線，并進行操作驗證（平移），感受這種通過對比、關(guān)聯(lián)圖形而聯(lián)想到的方法. 對于這種分割方法，教師引導(dǎo)學(xué)生換一個角度分析，數(shù)學(xué)體驗也有所不同.

從整體上看，背景圖形不具有對稱性，而從圖形組合的視角進行剖析，它可以看成是由幾個矩形組合而成的，而每一個矩形是對稱圖形！此時便將復(fù)雜的非對稱圖形轉(zhuǎn)化為簡單的對稱圖形，搭建起順利進行全等分割的“腳手架”.

思路1 背景圖形可以看成是由兩個矩形構(gòu)成的：“1×4型”“3×4型”（圖27）. 根據(jù)兩個矩形的對稱性，我們分別獲得分割線AB，CD，再連接BC，即運用A-B-C-D將該圖進行了全等分割，獲得與圖26一樣的分割線. 顯然，同一種分割方法，思考角度不同，數(shù)學(xué)理解不同，學(xué)生會滋生不同的知識生長點.

從不同視角分析圖形，我們會獲得不同的結(jié)論，也可以獲得不同的方法. 對于該背景圖形，我們還可以進行如下分析與分割.

思路2 背景圖形可以看成是由3個矩形構(gòu)成的：“1×4型”“2×4型”“1×4型”.

首先突破分割難點：把兩個“1×4型”矩形看作對應(yīng)部分，沿網(wǎng)格線進行合理分割，再把“2×4型”矩形進行合理等分，并使得分割線完美對接，即把這個圖形分割成兩個全等圖形. 如圖28，其中的兩個“1×4型”矩形分別被AB，CD分割成1個正方形和3個正方形，“2×4型”被全等分割，則折線A-B-E-C-D即為分割線.

圖29中的兩個“1×4型”矩形不分割，而是利用折線A-B-C-D-E-F-G將“2×4型”進行分割，并與“1×4型”矩形對應(yīng)組合，構(gòu)成倒“F”型的全等圖形.

對于以上圖形的分割方案的合理性，學(xué)生可以運用翻折、平移等方法進行驗證和感悟.

教學(xué)思考

1. 充分理解圖形

美國著名數(shù)學(xué)家G·波利亞指出“理解題目”的重要性：“如果學(xué)生還沒有理解題目，就著手計算和畫圖，那就可能發(fā)生最糟的事了. ”所以，擬定全等分割方案的前提是充分理解圖形.

（1）立足圖形本身性質(zhì)

全方位的觀察已知圖形，充分了解圖形本身的性質(zhì)，這是正確設(shè)計全等分割的首要條件. 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖形蘊含的性質(zhì)出發(fā)，根據(jù)分割要求不斷調(diào)整分割線、修正分割線，以獲得創(chuàng)意紛呈的分割線和全等圖形. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)重視對幾何圖形基本條件和性質(zhì)的教學(xué)，為學(xué)生搭建好深入探究問題的腳手架.

（2）多角度的辯證分析圖形

以前文的“非對稱性圖形背景”為例，其組成方式不唯一，站在“由兩個矩形構(gòu)成”的視角我們得到圖27的方案，站在“由3個矩形構(gòu)成”的視角我們得到圖28、圖29的方案. 從不同角度審視圖形能獲得不同的靈感，綻放不同的思維火花，收獲不同的分割方案，這種“多角度分析圖形”是形成多元化策略的基礎(chǔ).

背景圖形是一個整體，亦是分成的幾個全等圖形的合體：沿分割線“分”“合”交替，整體可以分為若干全等的個體，個體亦可以合成完整的整體——“多圖合一”，即恢復(fù)成原來的背景圖形. 教師可以利用幾何畫板操作、演示等手段，引導(dǎo)學(xué)生辯證地分析圖形，讓學(xué)生體會圖形的“分”與“合”的多種策略，感受圖形之間蘊含的辯證思想，理解整體與個體的關(guān)系，增強對各種設(shè)計方案的感性認識，充分感受幾何圖形設(shè)計之妙.

2. 挖掘關(guān)聯(lián)性知識點

有的學(xué)生圖感很好，能較快地獲得分割線，但對于為什么這樣分割，這樣分割有什么理論依據(jù)，如何驗證，由此帶來的數(shù)學(xué)知識還有哪些，卻不清楚，此時教師應(yīng)正確引導(dǎo)和點撥，讓學(xué)生“知其然，亦知其所以然”，以培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)，并獲得豐富的數(shù)學(xué)體驗.

如以上圖例中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助軸對稱、中心對稱分析圖形，鏈接平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等進行操作驗證，進一步感受常見的全等變換的應(yīng)用. 在教學(xué)中，教師應(yīng)“小題大做”，高角度審視原命題，理解題目蘊含的更深層次的知識點，契機設(shè)疑、追問，巧妙聯(lián)系、過渡，融入相關(guān)聯(lián)的知識點或?qū)υ}進行拓展變式.

3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思維

（1）多種策略，延展思維的寬度

優(yōu)秀的教師總是“勤”字當(dāng)先，從不拘泥于一個視角或一種解法，不以獲取答案作為解題終結(jié)目標，而是善于引領(lǐng)學(xué)生多角度分析問題，努力培養(yǎng)學(xué)生勤思考、勤探究的良好學(xué)習(xí)品質(zhì)，并不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力.

在本文圖例中，學(xué)生在掌握背景圖形性質(zhì)的前提下，從不同角度動手嘗試畫圖，形成不同全等分割方案；學(xué)生在探究多種解題策略的同時，積累了分析圖形的經(jīng)驗，拓寬了數(shù)學(xué)思維，有效提高了解題能力和思維水平.

（2）推理驗證，培養(yǎng)思維的嚴謹性

每一種全等分割策略形成之后，教師都應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合情推理，驗證方案的正確性和可行性，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性，并使學(xué)生逐步形成理性的、縝密的思維習(xí)慣.

4. 滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂. 前文圖形的全等分割策略中應(yīng)滲透轉(zhuǎn)化的思想方法，如例2，我們把確定分割線的問題轉(zhuǎn)化為以正方形的中心為中心找成中心對稱的線段，進而轉(zhuǎn)化為找成中心對稱的點；如例5，我們引導(dǎo)學(xué)生把“非對稱圖形”轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的“對稱圖形”——矩形，降低了探究難度，破解了分割障礙. 把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，這種轉(zhuǎn)化的思想方法是探究學(xué)習(xí)的基本策略.

背景圖形不同，條件不同，分割要求不同，對應(yīng)的分割方案不同，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋求有用的思路：“從不同的方面來考慮問題，強調(diào)不同的部分，考察不同的細節(jié)，從不同的途徑反復(fù)考察同一細節(jié)，以不同的方式組合這些細節(jié)，從不同角度來處理它們”，并由此使學(xué)生生成不同的數(shù)學(xué)思考，積累豐富的活動經(jīng)驗，不斷提高解題能力和思維水平.