“圖形”的奧妙

宋建軍

【摘 要】數(shù)學(xué)大體上圍繞兩個概念進(jìn)行提煉、演變、發(fā)展，進(jìn)而展開，那就是“數(shù)”與“形”。而“數(shù)形結(jié)合思想”就是把抽象難懂的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，在概念教學(xué)、計算教學(xué)、解決問題等課堂教學(xué)中靈活運(yùn)用，可以使相對的復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而提高課堂教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；概念教學(xué)；計算教學(xué)；解決問題

知識和技能是數(shù)學(xué)的“雙基”，而數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的靈魂?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)的兩個基本概念，而數(shù)學(xué)大體上就是圍繞這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而逐步展開的?！皵?shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)教學(xué)中一道亮麗的風(fēng)景線，也是一種智慧的數(shù)學(xué)方法?！皵?shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚所寫的這首小詩形象、生動、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”的價值，也揭示了“數(shù)形結(jié)合”的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，本文就來談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想方法的運(yùn)用。

一、概念教學(xué)：運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”化抽象為形象

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中最基本的材料，只有掌握了數(shù)學(xué)概念，才能更好地了解知識、學(xué)習(xí)知識、掌握知識。而小學(xué)生對抽象的概念，基本上處于感性直觀的認(rèn)識階段，如果能把抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形結(jié)合起來，就可以把復(fù)雜的問題簡單化，抽象問題形象化，使學(xué)生易于理解和接受。

1.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——促概念“形成”

形成概念就是學(xué)生從許多具體事例中以歸納的方式概括出一類事例的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念的形成不是靠老師“傳授”出來的，而是靠學(xué)生自己去“建構(gòu)”的。這個建構(gòu)的過程是完整的思維加工過程，是一個從外部活動向內(nèi)部活動轉(zhuǎn)化的“內(nèi)化”過程。那么在教學(xué)時，我們怎樣幫助學(xué)生落實(shí)概念的形成呢？我認(rèn)為最好的辦法是“數(shù)形結(jié)合”，可以直觀地將比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的、清晰的事物，使學(xué)生容易理解和掌握，從而較好地幫助學(xué)生形成概念。

2.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——使概念“內(nèi)化”

學(xué)生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過實(shí)例突出概念的主要特征，幫助他們加深對概念的理解來內(nèi)化概念。在概念揭示后往往要針對教學(xué)要求組織學(xué)生進(jìn)行一些練習(xí)，通過實(shí)例突出概念的主要特征幫助他們加深對概念的理解，來內(nèi)化概念。

如在教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》一課時，歸納了什么是百分?jǐn)?shù)之后，我設(shè)計如下環(huán)節(jié)：

聯(lián)系生活，解讀百分?jǐn)?shù)（請讀出下面百分?jǐn)?shù)，并選兩個說一說這百分?jǐn)?shù)表示什么？）

（1）邵宅小學(xué)503班人數(shù)占全校人數(shù)的4.45%，全校男生人數(shù)是女生人數(shù)的135.6%。

（2）■

（3）■

通過第一個環(huán)節(jié)對百分?jǐn)?shù)的初步感悟，學(xué)生試著用所學(xué)的知識去正確解釋生活動中的數(shù)據(jù)，在“聯(lián)系生活，解讀百分?jǐn)?shù)”這一環(huán)節(jié)中，不只停留在文字的層面說百分?jǐn)?shù)，而是增加了線段圖與百格圖，運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”的思想，在互相交流和向大家介紹的過程中，學(xué)生感受、領(lǐng)悟到這些百分?jǐn)?shù)的正確含義，從而內(nèi)化了百分?jǐn)?shù)的意義。

3.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——讓概念“深化”

深化概念是加深理解和靈活運(yùn)用概念的過程，即從一般到個別的過程。平時學(xué)生難以深化概念往往是因?yàn)闆]有經(jīng)歷“將豐富的感性材料加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的改造過程，而數(shù)形結(jié)合能使比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的事物，從而讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)事例的本質(zhì)屬性或規(guī)律，能靈活運(yùn)用概念，深化概念。

如，在《倒數(shù)》一課中，乘積是l的兩個數(shù)互為倒數(shù)——倒數(shù)的概念對于學(xué)生來說并不難理解，從教材的編排上看，“倒數(shù)的認(rèn)識”是為后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法而專門設(shè)置的。學(xué)生對這個概念的理解僅僅停留在對語義理解的層面上，形象的解釋為分子分母互問顛倒的兩個數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的概念，除了為后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法做準(zhǔn)備外，恰當(dāng)?shù)睦谩皵?shù)形結(jié)合”的思想，使分?jǐn)?shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間有機(jī)的聯(lián)系起來，使學(xué)生的思維得到飛躍。

我設(shè)計了這樣幾個練習(xí)，使學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合”思想。通過找倒數(shù)并標(biāo)在數(shù)軸上這一活動，由于已經(jīng)看到了真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)分別在1的左右兩邊。學(xué)生很快得出了“真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都大于1，假分?jǐn)?shù)（不等于1）的倒數(shù)小于1”的結(jié)論。有些學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“分?jǐn)?shù)越大倒數(shù)越小的規(guī)律（分?jǐn)?shù)大于0）”。數(shù)軸上找倒數(shù)，深化對“倒數(shù)”的認(rèn)識。由于數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)姻，將數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了對應(yīng)關(guān)系。揭示了數(shù)與形的內(nèi)在的聯(lián)系，數(shù)軸使抽象的數(shù)有“形”可依。

二、計算教學(xué)：運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”剖算理探規(guī)律

1.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——促“算理”理解

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師只重視計算方法的教學(xué)，忽視算理教學(xué)。結(jié)果，部分學(xué)生雖然掌握計算方法，但因?yàn)樗憷聿磺澹R遷移的范圍就有限，不能靈活應(yīng)用。學(xué)生不能理解算法主要是因?yàn)闆]有實(shí)現(xiàn)“將抽象的算法具體化”和“從具體中進(jìn)行抽象”這樣兩個轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)算法具體化與抽象性兩者之間的高度統(tǒng)一，幫助學(xué)生理解算理。

2.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——利“對錯”辨析

在計算時，學(xué)生的計算很容易出錯，如學(xué)生在計算1.3× 1.2時提出了這樣的方法：1×1+0.3×0.2，很多老師都會讓學(xué)生再算一遍，看看左右兩邊是不是一樣，不一樣，所以錯了。這樣學(xué)生不知道為什么錯了，下次還會出現(xiàn)這樣的錯誤。我在

（下轉(zhuǎn)第17頁）

（上接第16頁）

上這內(nèi)容時就運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想來幫助學(xué)生澄清錯誤。

3.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——引“規(guī)律”探索

探索規(guī)律就是根據(jù)條件（有規(guī)律的數(shù)列、算式、圖形等信息）從簡單情況或特殊情況入手，進(jìn)行歸納（即從個性中找出共性）、得出結(jié)論，再通過實(shí)例加以驗(yàn)證。學(xué)生不容易探索規(guī)律主要是因?yàn)闆]有經(jīng)歷無序到有序的過程，沒有多種感官參與探索，沒有充分的思考時間與空間，沒有具備一些相關(guān)的知識和能力，數(shù)形結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象能力、推理能力、發(fā)散思維能力和數(shù)學(xué)建模能力。

三、解決問題：運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”明思路破難點(diǎn)

1.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——理清“數(shù)量關(guān)系”

小學(xué)生主要是憑借事物的具體形象來進(jìn)行直觀思維活動的，但小學(xué)許多解決問題所明確的數(shù)量關(guān)系通常需要通過抽象思維來理解，這是在小學(xué)解決問題教學(xué)中存在的突出矛盾，如把解決問題中抽象的數(shù)量關(guān)系用恰當(dāng)?shù)?、形象的圖形表示出來，就可較好地解決這一矛盾。

如：一桶油，連桶共重15千克，吃了一半油后，連桶重8千克。吃掉了多少千克油？原來滿桶的油重多少千克？分析：桶和油之間到底是一種什么樣的數(shù)量關(guān)系；吃了一半油后，桶和油之間又是一種什么樣的數(shù)量關(guān)系？學(xué)生對此類數(shù)量關(guān)系大都感到十分抽象，不容易很快理解。如運(yùn)用下面形象的圖形來表示它們之間的數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們馬上就一目了然，明白了桶、油的關(guān)系，巧妙地解決了這個問題。

空桶 油

沒吃前： ○ 十■= 15千克

吃一半后：○ 十■= 8千克

可見，在解決問題的學(xué)習(xí)中充分滲透數(shù)形結(jié)合的思想，把題中抽象的數(shù)量關(guān)系用恰當(dāng)?shù)膱D形直觀的表示出來，十分有助于學(xué)生分析問題、解決問題能力的提高，收到事半功倍的效果。

2.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——攻克“解題難點(diǎn)”

化解難點(diǎn)就是分解教學(xué)難點(diǎn)，做到化難為易、由淺入深、直觀形象。學(xué)生不能化解難點(diǎn)主要是因?yàn)椴荒軐?shí)現(xiàn)將抽象的內(nèi)容具體化、形象化、直觀化，數(shù)形結(jié)合能夠化抽象為具體、化復(fù)雜為簡單、變生疏為熟悉、變深奧為淺顯。

所以，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，尤其在小學(xué)數(shù)學(xué)中，使用數(shù)形結(jié)合的方法，能夠使很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題迎刃而解，且解法簡捷。

3.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”——拓展“解題思路”

小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，正處在以形象思維為主，向抽象思維過渡的階段。許多數(shù)學(xué)問題多以文字形式呈現(xiàn)，純文字的問題語言表述上比較簡潔，枯燥乏味，致使他們常常讀不懂題意。根據(jù)其年齡特點(diǎn)，滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，讓學(xué)生自己在紙上涂一涂、畫一畫，借助直觀的圖形把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，還原問題的本來面目，使孩子讀懂題意、理解題意，拓展學(xué)生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關(guān)鍵，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

總之，數(shù)形結(jié)合的思想滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個領(lǐng)域，教師只有在平時的教學(xué)中扎實(shí)落實(shí)“數(shù)形結(jié)合”的思想，學(xué)生面對問題時就會站得更高、思路更廣，對數(shù)學(xué)的理解會由量的積累發(fā)展到質(zhì)的飛躍，使我們的課堂更高效。

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