把握組題導向,達成高效目標*

廣東高州中學(525200) 劉均鋒

把握組題導向,達成高效目標*

廣東高州中學(525200) 劉均鋒

高三數(shù)學復習以診斷式教學為主.我們只有組好題、設計好探究練習,才能全面有效地診斷學生的學習狀況,有針對性地指導學生學,提高復習效率.在復習中如何設計變式訓練題,達成高效復習目標呢?本文結合多年教學實踐,從習題設計導向上談談我的體會.

一、在易混淆處對比設問,讓學生辨清概念

兩件(或兩件以上)性質比較相近的事物放在一起對照比較,最易發(fā)現(xiàn)它們的相同點和不同點.高中數(shù)學有很多容易混淆的概念、公式、定理、解題方法等,教師可在這些地方設計對比練習,讓學生去辨析.例如在復習導數(shù)幾何意義時,我們設計練習:(1)曲線y=x3在點P(2,8)處的切線方程為___;(2)曲線y=x3過點P(2,8)的切線方程為___.

學生在解題時往往忽略“過P點的切線”與“在P點處的切線”的區(qū)別,教師在此處設問,可以讓學生加深印象.

二、在思維“盲區(qū)”設問,掃除學生知識運用“誤區(qū)”

部分學生學習一知半解,導致解題時不分情況亂套公式、定理的現(xiàn)象較普遍.為此我們在設計練習時,有意識地設計一些公式定理不適用時的情況,讓學生提高認識,掃清思維“盲區(qū)”.

例如在復習均值不等式時,變量為正與等號成立的條件是學生思維的“盲區(qū)”.我們設計如下練習:

(2)y=2?3x?4x(x＞0)的最大值是___;

(3)y=2?3x?4x(x＜0)的最小值是____;

(4)y=sin2x+4sin2x的最小值是___;

通過對比,讓學生在用均值不等式求最值時加深對“一正二定三相等”的認識,同時對不適合用均值不等式求最值時的情況(如(4)、(5))學會換元轉化為利用函數(shù)單調性處理.

三、在一題多變中,培養(yǎng)學生發(fā)散思維

根據(jù)高考數(shù)學“源于課本,高于課本”的命題原則,教師在教學或復習過程中可以利用書本上的例題和習題,進行對比、聯(lián)想,采取一題多變的形式進行教學,這是提高學生數(shù)學學習興趣和發(fā)散思維能力的有效途徑.例如在函數(shù)的單調性這一知識的復習教學中,我們讓學生先做課本例題:

此題旨在鞏固函數(shù)單調性的概念及證明方法,但我認為教學中不應只停留在直接利用定義或導數(shù)法證明這一知識層面上,要引導學生步步深入,積極思維,全方位進行開發(fā)探究.充分利用這一難得的“變式”契機將單調性定義及應用推向高潮.我們設計變式練習如下:

變式二:判斷并證明函數(shù)

(旨在培養(yǎng)學生普遍聯(lián)系的辯證思維及化歸思想)

的單調性.(旨在培養(yǎng)學生綜合思維能力,變形轉化技巧,進一步深化對單調性的理解)

的值域.

通過對上述“問題鏈”的分析與思辨,學生對單調性知識的理解與靈活應用必然更進一層.

四、在一題多解中,培養(yǎng)學生思維靈活性

學生2:(分離變量法)“由于這個函數(shù)是分數(shù)的形式,分子分母都在變,所以我考慮把分子(或分母)中的一個變形為常數(shù),就可以比較容易地觀察出函數(shù)值的變化了.”

學生3:(導數(shù)法)“這個函數(shù)的圖像畫不出來,且定義域為R,我考慮用導數(shù)先研究下函數(shù)的單調性,然后再求值域.”

通過這三種解題方法,我們以題帶面復習了“函數(shù)的定義域、值域、性質”、“三角函數(shù)的有界性”等知識,加深了知識間的溝通,同時也培養(yǎng)了大家解題的轉化策略,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想在數(shù)學中的作用.

正當我準備往下講時,一位學生突然叫了起來:“老師,還可以用斜率來做!”

“不行的,用斜率的話其中一個cosx應該改成sinx!”看到大多數(shù)學生都在點頭,贊成后面那位學生的意見.

“是啊!改一下的話學生就不難發(fā)現(xiàn)用斜率來做了!”我心想.盡管這節(jié)課時間已經很緊了,但我還是依然停下來讓那位學生繼續(xù)往下說.

圖1

這個學生運用轉化及數(shù)形結合的思想方法解出了此題,令大家恍然大悟.

五、在多題一法中,讓學生掌握通法

多題一法是培養(yǎng)學生收斂思維的有效辦法.多題一法能提高學生對通性通法的認識,達到舉一反三、觸類旁通、事半功倍的最佳效果.例如“換元法”通過引進新的變量,把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結論聯(lián)系起來,從而化生為熟,化復雜為簡單.它在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用.在復習中我們設計如下題組:

(1)函數(shù)y=cos2x+2sinx的值域為___;(整體換元,設t=sinx)

(2)不等式log2(2x?1)·log2(2x+1?2)＜2的解集是____.(整體換元,設t=log2(2x?1))

(6)已知x2+y2=4x,則x+y的范圍是____(三角換元,設x=?2+2cosα,y=2sinα)

以上幾題,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化,變得容易處理.

六、設計探究練習,讓學生學會歸納、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新

數(shù)學探究是高中數(shù)學課程中引入的一種新的學習方式,有助于學生初步了解數(shù)學概念和結論產生的過程,初步理解直觀和嚴謹?shù)年P系,初步嘗試數(shù)學研究的過程,體驗創(chuàng)造的激情,建立嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和不怕困難的科學精神;有助于培養(yǎng)學生勇于質疑和善于反思的習慣,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力;有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力.高三復習也要引導學生圍繞某個數(shù)學問題,觀察分析數(shù)學事實,提出有意義的數(shù)學問題,猜測、探求適當?shù)臄?shù)學結論或規(guī)律,給出解釋或證明.舉例如下:

(1)【2015山東理11】觀察下列各式:

分析:可從前四個特殊的等式中觀察、歸納、總結出一般的規(guī)律:式子右邊底都為4,指數(shù)與左式最后一組合數(shù)上標相同.故答案為4n?1.

(2)(2012年江西)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,···,則a10+b10=___.

分析:觀察發(fā)現(xiàn)其規(guī)律為從第三項起,每項等于其前相鄰兩項的和,所求值為數(shù)列中的第十項.據(jù)規(guī)律繼續(xù)寫出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,···,第十項為123.答案:123.

(3)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).

(1)sin213°+cos17°?sin13°cos17°;

(2)sin215°+cos215°?sin15°cos15°;

(3)sin218°+cos212°?sin18°cos12°;

(4)sin2(?13°)+cos248°?sin(?13°)cos48°;

請將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為一個三角恒等式:

分析:如何找到常數(shù)?可從簡單的入手,發(fā)現(xiàn)三角恒等式,再進行嚴格的論證、推廣.

教學藝術的本質,不僅在于傳授知識,關鍵在于激勵,喚醒和鼓舞.求知欲是學生主動探究問題和深入研究問題的原動力,教師應該努力培養(yǎng)學生的求知欲.高三復習要通過題組教學,組織探究活動,滿足學生的好奇心和表現(xiàn)欲,讓學生主動發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,解決問題,從而高效達成教學目標.

[1]何小亞:建構良好的數(shù)學認知結構的教學策略[J];數(shù)學教育學報; 2002年01期

[2]何小亞:《中學數(shù)學教學設計(第二版)》[M].科學出版社,2012(7)

圖6

變式4.鐵路上A,B兩點之間相距25千米,C,D為兩個村莊,DA⊥AB,CB⊥AB.已知DA=15千米,CB=10千米,現(xiàn)要在鐵路上建一個土特產收購站E,若要使得C,D兩村莊到E站的距離相等,則E站應建在距A站多少千米處?

分析:本題的兩個直角三角形沒有公共邊,但它們的斜邊相等,以此為切入點,學生也能列出方程解決問題,公共邊到等邊,思維進一步拓展.

圖7

通過以上幾個例子的分析,思考,學生基本上熟悉了方程法在解決幾何問題上的作用,以后他們還會學到相似三角形,三角函數(shù)等更快捷的方法,但方程法的數(shù)形結合,幾何代數(shù)化的思路,也開拓了學生的思維,提供了思維方向.

*本文為廣東省教育廳強師工程課題《“立體引學”模式的探索與應用研究》(2012YQJK219)成果.