基于動態(tài)幾何軟件的模型教學(xué)—以《直線與平面垂直的判定》的教學(xué)為例

湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院(430062) 張素婷

西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(400715) 鄧伍丹

基于動態(tài)幾何軟件的模型教學(xué)—以《直線與平面垂直的判定》的教學(xué)為例

湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院(430062) 張素婷

西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(400715) 鄧伍丹

1 引入

DGS是動態(tài)幾何軟件(Dynamic Geometer Software)的簡稱,目前使用較廣的有幾何畫板、超級畫板等等,這類幾何軟件為學(xué)習(xí)者提供了幾何探究的開放性臺.本文圍繞DGS技術(shù),以《直線與平面垂直的判定定理》[1]一課為例,探討如何將傳統(tǒng)的模型教學(xué)與DGS技術(shù)靈活結(jié)合,以減輕學(xué)習(xí)者認(rèn)知過程的負(fù)擔(dān).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (實驗)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出,通過直觀感知,操作確認(rèn),歸納出直線平面垂直的判定定理[2],故教學(xué)的重點為通過直觀演示來探究和理解直線與平面垂直的判定定理.傳統(tǒng)的做法是演示實物模型,實物演示固然生動形象,但難免有局限性,如材料工具的不足;難以進(jìn)行復(fù)雜的空間形式變換;個案的演示難以呈現(xiàn)同類事物的數(shù)學(xué)本質(zhì);難以避免偶然誤差.這些不足恰好可以由DGS技術(shù)來彌補(bǔ).將實物模型借助DGS技術(shù)抽象為幾何模型,是形象思維向抽象思維過渡的過程,也是學(xué)生在認(rèn)識事物時從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的發(fā)展,體現(xiàn)了DGS技術(shù)環(huán)境中幾何教學(xué)從幾何到技術(shù)再到幾何的發(fā)展過程,是一種促進(jìn)概念理解和思維發(fā)展的過程[3].下面將對“直線與平面垂直的判定”的教學(xué)設(shè)計中如何直觀構(gòu)建定理來進(jìn)行探討.

2 傳統(tǒng)模型教學(xué)中學(xué)生可能會碰到的困難

讓學(xué)生通過折紙活動來探究直線與平面垂直的判定定理是困難的.皮亞杰說:知識、認(rèn)識來源于主體和客體之間的交互——活動.很多教師在處理“折紙實驗”時并不能清楚認(rèn)識折紙的目的,未能挖掘其蘊含的深層次數(shù)學(xué)思維[4].一位教師曾這樣指導(dǎo)學(xué)生折紙:要讓三角形紙片穩(wěn)當(dāng)?shù)卣玖⒃谧雷由?這樣的處理雖然有意避開肉眼難以判斷線面垂直的不足,但是卻忽略了在偏差允許范圍內(nèi),即使折痕不垂直桌面,也能讓三角形紙片立在桌面上,的確有脫離線面垂直的主題之嫌,實際上“折紙實驗”應(yīng)關(guān)注的焦點不在于鉆牛角尖折痕是否垂直桌面,而在于啟發(fā)學(xué)生為何這樣折能讓折痕垂直桌面,讓學(xué)生解釋折紙方法的理由.然而在學(xué)生還未接觸線面垂直的判定定理之前,學(xué)生并不能解釋其理由,因此在未曾揭開直線與平面垂直的判定定理的面紗之前,讓學(xué)生通過折紙活動探究發(fā)現(xiàn)該定理是不容易的.

3 幫助學(xué)生突破難點的策略

在這節(jié)課的設(shè)計中,許多優(yōu)質(zhì)課均借助各式各樣的生活中的實物模型來輔助理解,解釋說理,但對于模型的使用有時流于表面,不能深層次挖掘模型中所蘊含的數(shù)學(xué)道理,這無異于買櫝還珠.另一方面,實物模型過于形象化,有時難以把實際問題抽象化,這或多或少會阻礙學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識,這時如果能把實物模型借助DGS技術(shù)轉(zhuǎn)化為抽象模型,就會幫助學(xué)生真正透過現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)本質(zhì).

探究發(fā)現(xiàn)判定定理的策略

正如前文所分析,讓學(xué)生在未嘗理解折紙實驗的意圖之前,通過折紙實驗來探究發(fā)現(xiàn)定理是不容易的,僅僅折出三角形紙片的一條高就能揭示出線面垂直的定理顯然不切實際.因此折紙實驗用來探究定理操作性較弱,而用于操作認(rèn)證該定理較適宜.

模型教學(xué)最關(guān)鍵的是選取合適的模型,模型越簡單直觀越能達(dá)到事半功倍的效果.實物演示可采取傳統(tǒng)的做法,用一本書來操作演示.此外,筆者還借助幾何畫板設(shè)計了長方體模型,在保證一條側(cè)棱垂直于底面的一條棱、兩條平行的棱、兩條相交的棱這三種情況下,讓長方體“動”起來,觀察其傾斜情況.在長方體模型這種常見的立體模型中得到了線面垂直的判定定理,實物模型和幾何畫板相輔相成,既形象具體,又回歸了數(shù)學(xué)本質(zhì),此時由學(xué)生之口講出判定定理已是水到渠成.

4 教學(xué)過程設(shè)計

據(jù)前面所分析,結(jié)合執(zhí)教經(jīng)驗及思考,輔之對優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計的反思,筆者采用問題鏈形式,設(shè)計了探究定理的教學(xué)過程.

模型融合DGS,發(fā)現(xiàn)歸納定理

活動1教師演示,學(xué)生觀察

(1)如圖1,將一本書合上,傾斜置于桌面,書脊垂直于書的下底邊,即AB⊥BC,此時可視為書脊所在的直線垂直于桌面所在平面內(nèi)的一條直線,書脊一定垂直于桌面嗎?

(2)如圖2,將這本書按照(1)中擺放,在桌面內(nèi)另取一條平行于書的下底邊的直線,即AB⊥BC,AB⊥DE,可視為書脊所在的直線垂直于桌面內(nèi)的兩條平行的直線,書脊一定垂直于桌面嗎?

(3)如圖3,將這本書一分為二均勻翻開,使書的兩條下底邊與桌面完全接觸,即AB⊥BC,AB⊥BD,此時可視為書脊所在的直線垂直于桌面內(nèi)兩條相交的直線,書脊一定垂直于桌面嗎?

圖1

圖3

【設(shè)計意圖】引入這個實物模型用于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)判定定理,通俗易懂,易于操作,且與前面引入部分前后呼應(yīng),實現(xiàn)了一例多用反復(fù)強(qiáng)化的作用.有人曾質(zhì)疑,這個模型完全可以用一張A4紙來替代,其實不然,因為紙張有張力,即使不垂直折紙也能讓紙張整體立在桌面上,但用書本來做這個實驗就能巧妙地避開這個問題.

幾何畫板演示1長方體模型

(1)在幾何畫板中畫出一個長方體,保證一條側(cè)棱垂直于底面的一條棱,如圖4,AA1⊥A1B1,點擊“變換”按鈕,觀察側(cè)棱是否仍然垂直于底面?

(2)保證一條側(cè)棱垂直于底面的兩條平行的棱,如圖5,AA1⊥A1B1,AA1⊥C1D1,點擊“變換”按鈕,觀察側(cè)棱是否仍然垂直于底面?

(3)保證一條側(cè)棱垂直于底面兩條相交的棱,如圖6,AA1⊥A1B1,AA1⊥A1D1,點擊“變換”按鈕,觀察側(cè)棱是否仍然垂直于底面?

圖4

圖6

【設(shè)計意圖】這個環(huán)節(jié)是整個教學(xué)設(shè)計中最關(guān)鍵之處,在已有書本的實物演示之后,再引入幾何畫板動態(tài)演示,并非畫蛇添足,實際上這兩個演示過程實質(zhì)是相同的,只是后者將實物模型抽象為典型的長方體模型,再次對定理的兩個關(guān)鍵條件“雙垂直”和“相交”進(jìn)行理解和確認(rèn),一目了然,是形(實形物體)—型(數(shù)學(xué)模型)—質(zhì)(數(shù)學(xué)本質(zhì))的自然過渡,這也是學(xué)習(xí)空間幾何元素的關(guān)系的重要方法之一.用好這種方法對空間觀念的形成、幾何概念的把握都十分有效,這實際上是抽象概念與實際事物間的一種橋梁.

【歸納】線不在多,相交則靈.

【反思】探究式學(xué)習(xí)的基本方式之一就是在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并進(jìn)行歸納總結(jié)[5].在定理的探究過程中,學(xué)生通過觀察實驗操作,思維上經(jīng)歷了“直覺—直觀—矛盾—思考—猜想—歸納”的過程[6],DGS技術(shù)將數(shù)學(xué)現(xiàn)象更直觀地展現(xiàn),從而清晰明了地直指矛盾,給學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)掃清障礙,這不是剝奪和削弱學(xué)生的基本活動經(jīng)驗,而是更高層次地積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,處理好了直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗之間的關(guān)系.

5 教學(xué)反思——實物模型結(jié)合DGS技術(shù)對教學(xué)效率的影響

在立體幾何的教學(xué)中,實物模型不可或缺,它是溝通現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)本質(zhì)的實體媒介,然而僅僅停留在媒介上就事論事就是功虧一簣.DGS技術(shù)的參與使幾何問題具體化、模型化、直觀化,對啟發(fā)學(xué)生思維起到了推波助瀾的作用.在本節(jié)課中,實物模型經(jīng)歷了動態(tài)演示過程,再借助幾何畫板將其抽象為只含有圖形和符號的數(shù)學(xué)模型,極大地發(fā)揮了信息技術(shù)“動態(tài)性、交互性”的優(yōu)勢,不少的難點用信息技術(shù)做個動畫就解決了[7].當(dāng)然,若想學(xué)生達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果,模型的選擇至關(guān)重要,既要通俗易懂,又要深入淺出,更要凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì),這是本節(jié)課還可繼續(xù)再斟酌的課題.

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書?數(shù)學(xué)2必修[M].北京:人民教育出版社(A版),2004.

[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[S].北京:人民教育出版社,2003

[3]尚曉青等.基于DGS技術(shù)環(huán)境的教學(xué)過程及其實現(xiàn)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2010,19(6):94-97

[4]張曜光.從有效教學(xué)看數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計—以人教A版“直線與平面垂直的判定”為例[J].數(shù)學(xué)通報,2008,47(5):18-21

[5]徐章韜,梅全雄.論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2013,22(6):1-4

[6]宋建輝.芻議高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的幾個視角[J].數(shù)學(xué)通報,2015,54(1):9-13

[7]張景中,彭翕成.深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2009,18(5):1-7