小題大做，別有洞天
——解決向量問(wèn)題需要強(qiáng)化的五種意識(shí)

吉林 林逸凡

(作者單位：吉林省長(zhǎng)春市吉林大學(xué)附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

小題大做，別有洞天
——解決向量問(wèn)題需要強(qiáng)化的五種意識(shí)

向量問(wèn)題靈活性強(qiáng)，活躍在各地的高考題、模擬題的選擇、填空壓軸題中，許多學(xué)生一直都是“想說(shuō)愛(ài)你不容易”，本文以一道小題為例，總結(jié)解決向量問(wèn)題需要強(qiáng)化的五種意識(shí).

意識(shí)一：取基底

【點(diǎn)評(píng)】方法一的核心思想是“基底化”，優(yōu)點(diǎn)是通用性強(qiáng)，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大.選取兩個(gè)不共線的向量為基底，則平面內(nèi)所有向量都可以表示為這兩個(gè)向量的線性組合.這個(gè)方法同樣適用于解立體幾何問(wèn)題，只需選取兩兩不共線的三個(gè)向量為基底即可.

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意識(shí)二：等式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘一個(gè)向量，構(gòu)造數(shù)量積

而∠AOB=2∠C,∠AOC=2∠B，OA=OB=OC=R，

將①②代入③可得

【解析】設(shè)∠AOC=α，

意識(shí)三：數(shù)形結(jié)合

【解法3】當(dāng)cosB>0,cosC>0時(shí)，

如圖，作平行四邊形AEFD，

使AD=cosB,AE=cosC，

當(dāng)cosB<0,cosC>0時(shí)，

如圖，作平行四邊形AEFD，

使AD=-cosB,AE=cosC，

當(dāng)cosB>0,cosC<0時(shí)，同理可得.

意識(shí)四：先“拆”再“合”

所以由②式可得-sin2B-sin2C+2msinBsinC=1，

【點(diǎn)評(píng)】方法四本質(zhì)也是基底化的思想，與方法一有類似之處，只是不忙取基底，而是“先拆再整”：先“拆”，將向量拆成若干個(gè)特定向量的線性組合，再“合”，利用特定向量間的關(guān)系，化簡(jiǎn)式子.

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又由①②得

意識(shí)五：建系

【思路】建系設(shè)點(diǎn)，通過(guò)將向量坐標(biāo)化解決.

【點(diǎn)評(píng)】方法五的建系思想是常見(jiàn)且具有通用性的，在沒(méi)有靈感的時(shí)候，只要建系建對(duì)，設(shè)點(diǎn)設(shè)好，理論上用建系的方法一定能解出來(lái)，在解決很多數(shù)量積的最值問(wèn)題時(shí)，建系是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

【變式5-1】同【變式4-2】.

【解析】如圖，建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，

∴過(guò)點(diǎn)B1,B2作一個(gè)半徑為1的單位圓，圓心為O(a,b).

設(shè)B1(0,y),B2(x,0)，

得(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，

兩式相加得(x-a)2+(y-b)2+b2+a2=2，

∴|OP|2+|OA|2=2，

【變式5-2】同【變式1】.

【解析】由∠BAC=60°，AB=2，AC=1

可得∠ACB=90°，如圖,建立直角坐標(biāo)系，

(作者單位：吉林省長(zhǎng)春市吉林大學(xué)附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校)