《九章算術(shù)》與高考數(shù)學(xué)的完美邂逅

江蘇 王佩其

(作者單位:江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué))

《九章算術(shù)》與高考數(shù)學(xué)的完美邂逅

眾所周知，《九章算術(shù)》是流傳到現(xiàn)在的中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著.《九章算術(shù)》的內(nèi)容豐富，而且大多和實(shí)際生活密切聯(lián)系.這些密切聯(lián)系實(shí)際生活的題材，反映出中國(guó)古代先賢的智慧，同時(shí)也顯出古代中國(guó)數(shù)學(xué)的研究多以實(shí)用性為主.《九章算術(shù)》中所蘊(yùn)含的科學(xué)思想可謂極其深邃，如邏輯思想、重驗(yàn)思想、極限思想、求理思想、創(chuàng)新思想、對(duì)立統(tǒng)一思想等.從某種意義上看，當(dāng)代高中數(shù)學(xué)與之“一脈相承”，《九章算術(shù)》必然會(huì)在倡導(dǎo)“學(xué)以致用”理念的新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考中有所體現(xiàn)，于是與《九章算術(shù)》有關(guān)的高考題或模擬題應(yīng)運(yùn)而生，從這些試題中，我們可以看到《九章算術(shù)》與現(xiàn)代高考的優(yōu)美結(jié)合，看到中華古代文明與現(xiàn)代文明的交相輝映.下面我們一起來(lái)賞析幾例.

一、《九章算術(shù)》與算法初步

【例1】下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=

( )

A.0 B.2

C.4 D.14

【答案】B.

【解析】逐一寫(xiě)出循環(huán)：a=14，b=18→a=14，b=4→a=10，b=4→a=6，b=4→a=2，b=4→a=2，b=2，結(jié)束循環(huán).

【點(diǎn)評(píng)】本題將《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”設(shè)計(jì)成算法初步試題，用算法初步體現(xiàn)《九章算術(shù)》的計(jì)算原理，古為今用，新穎別致.

【變式】我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》用“更相減損術(shù)”求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是一個(gè)偉大的創(chuàng)舉，這個(gè)偉大創(chuàng)舉與我國(guó)古老的算法——“輾轉(zhuǎn)相除法”實(shí)質(zhì)一樣，如圖的程序框圖即源于“輾轉(zhuǎn)相除法”.當(dāng)輸入a=6 102，b=2 016時(shí)，輸出的a=

( )

A.6 B.9

C.12 D.18

【答案】D.

【解析】6 102=2 016×3+54，2 016=54×37+18，54=18×3，18是54和18的最大公約數(shù)，∴輸出的a=18.

二、《九章算術(shù)》與概率統(tǒng)計(jì)

【例2】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算術(shù)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送米1 534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為

( )

A.134石 B.169石

C.338石 D.1 365石

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】本題以《算術(shù)九章》中“米谷粒分”為背景，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)文化的色彩，考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

【變式】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3.假如這堆米中均勻地混進(jìn)了沙粒，且1斛米中含有10顆沙粒，則估算出堆放的米中約有沙粒

( )

A.140顆 B.220顆

C.360顆 D.660顆

【答案】B.

故堆放的米中約有沙粒為10×22=220(粒).

三、《九章算術(shù)》與數(shù)列

【例3】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，在其中有道“竹九問(wèn)題”，“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問(wèn)中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量之和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻(即每節(jié)容量成等差數(shù)列).問(wèn)每節(jié)容量各為多少？在這個(gè)問(wèn)題中，中間一節(jié)的容量為

( )

【答案】C.

【解析】設(shè)從最下節(jié)往上的容量構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d.

中間為第五節(jié)，

【點(diǎn)評(píng)】《九章算術(shù)》博大精深，幾乎涵蓋當(dāng)代數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容，本題以“竹九問(wèn)題”為“引子”，考查了等差數(shù)列的基本量.

【變式】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：

第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則a1a2+a2a3+…+an-1an等于

( )

A.n2B.(n-1)2

C.n(n-1) D.n(n+1)

【答案】C.

【解析】a1a2+a2a3+…+an-1an

四、《九章算術(shù)》與立體幾何

【例4】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑，如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.

(1)證明：PB⊥平面DEF.并判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若不是，說(shuō)明理由.

【解析】(1)證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.

而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.

又因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC.

而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC.

而PB?平面PBC，所以PB⊥DE.

又PB⊥EF，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

(2)如圖所示，在面PBC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，連接DG，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線(xiàn).

由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.

又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.

而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.

故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角.

【點(diǎn)評(píng)】此題背景源于《九章算術(shù)》卷第五《商功》之[一五]:今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問(wèn)積幾何；之[一六]:今有鱉臑，下廣五尺，無(wú)袤；上袤四尺，無(wú)廣，高七尺.問(wèn)積幾何.考題將“陽(yáng)馬”“鱉臑”相結(jié)合，并與課本例題有機(jī)整合.巧妙嫁接配合精典設(shè)問(wèn)，和諧優(yōu)美的考題呼之即出.讓數(shù)學(xué)教育者與高考學(xué)子為之贊嘆！

【變式】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈.問(wèn)積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)”，下底面寬AD=3丈，長(zhǎng)AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD.EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是

( )

A.4立方丈 B.5立方丈

C.6立方丈 D.8立方丈

【答案】B.

【解析】如圖，設(shè)E,F在平面ABCD上的射影分別為P，Q，過(guò)P，Q分別作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，連接EH,EG,FN,FM,則平面EGH與平面FMN將原多面體分成四棱錐E-AGHD與四棱錐F-MBCN與直三棱柱EGH-FMN.

由題意得GH=MN=AD=3，GM=EF=2，

EP=FQ=1，AG+MB=AB-GM=2，

五、《九章算術(shù)》與解析幾何

【解析】設(shè)水深為x，則x2+52=(x+1)2，解得：x=12.

∴水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，蘆葦所在的直線(xiàn)為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

在牽引過(guò)程中，P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為13的圓，其方程為x2+y2=169(-5≤x≤5，12≤y≤13)，①

【點(diǎn)評(píng)】本題是《九章算術(shù)》中的一道名題，可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的解析法來(lái)解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的與時(shí)俱進(jìn)，可以考查考生處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈活性.

六、《九章算術(shù)》與幾何證明

【例6】《九章算術(shù)》中的邪田意為直角梯形，上、下底稱(chēng)為畔，高稱(chēng)為正廣，非高腰邊稱(chēng)為邪(如圖).已知在邪田ABCD中，以正廣為直徑的半圓與邪相切于E，EF⊥BC，垂足為F，AC與EF相交于M.

(1)求證ME=MF；

【解析】(1)證明：∵邪田ABCD的邪與以BC為直徑的圓相切，∴AB，DC都與半圓相切，∴AB=AE，DC=DE.

又EF⊥BC，∴AB∥DC∥EF.

∴ME=MF.

∴2AB·DC=AD=AE+DE=AB+DC.

【評(píng)注】直角梯形即為《九章算術(shù)》中的“邪田”，本題以此引入正題，給正題賦予豐富的內(nèi)涵.考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，難度不大，卻給人以耳目一新的感覺(jué).

【變式】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典,其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺.問(wèn)這塊圓柱形木料的直徑是多少？長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).

已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為

( )

A.600立方寸 B.610立方寸

C.620立方寸 D.633立方寸

【答案】D.

【解析】連接OA,OB，OD，設(shè)⊙Ο的半徑為R，

∴∠AOD=22.5°，即∠AOB=45°.

∴該木材鑲嵌在墻中的體積為V=S弓形ACB×100≈633立方寸.

(作者單位:江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué))