探究高考數學中的割補法

童其林

《考試說明》指出，一般認為，中學數學涉及的數學思想方法主要有：函數與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、必然與或然的思想等.數學的基本方法主要有：待定系數法、換元法、配方法、割補法等.數學邏輯方法或思維方法主要有：分析與綜合、歸納與演繹、比較與類比、具體與抽象等.它們是理解、思考、分析與解決數學問題的普遍方法，對數學思想與方法的考查要結合數學知識多層次進行.其中的割補法在2016年的高考中就有所體現，我們先來看看2016年全國Ⅰ卷11題：

點評本題考查了平面的截面問題，面面平行的性質定理，異面直線所成的角. 求解本題的關鍵是作出異面直線所成角，求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形，解形求角、得鈍求補.

點評此題知識點涉及平面基本性質、平行公理、面面平行的判定定理、直線所成的角、正方體的性質等.能力點考查到位，空間想象，化歸轉化，計算求解能力體現得淋漓盡致.另外，此題與2015年新課標Ⅱ卷立體幾何解答題19題可謂同源，作圖是求解的關鍵.該題是一道好題.

這是最近兩年全國卷運用割補法解決問題的具體例子，其實，割補法在各地的高考中也有體現.那什么是割補法？如何運用割補法解決問題呢？下面我們再作一番探討，希望對復習備考有幫助.

1割補法的含義

立體幾何是高中數學的重要組成部分，是培養(yǎng)學生空間想象力和邏輯推理能力的必不可少的內容，也是高考的重點之一.立體幾何中需要將幾何體進行分割或添補，以便得到解決問題的方法，分別叫做分割法和補形法，統(tǒng)稱為割補法.割與補的方法是數學中常用的一種獨特方法，通過對幾何體的割、補，能發(fā)現未知幾何體與已知幾何體的內在聯系，這種方法蘊含了化歸思想.使生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗.

解決一個問題，是割是補？這要看問題的性質，宜補就補，宜割就割，不可割補就不割補，就是宜割補，也要講究如何割補，不要盲目行動，否則就會導致麻煩，使問題復雜化，適得其反，甚至問題還不能解決.

圖32割補法的常見問題

2.1分割法

解析求點到面的距離通常是過點做面的垂線，而由于該圖的局限性顯然不太好做垂線，考慮O為A1C1的中點，故將要求的距離與A1到面AC1D1的距離掛鉤，從而與棱錐知識掛鉤，所以可在該圖中割出一個三棱錐A1—AC1D1而進行解題.

連AC1，可得到三棱錐A1—AC1D1，我們把這個正方體的其它部分都割去就只剩下這個三棱錐，可以知道所求的距離正好為這個三棱錐的高的一半.這個三棱錐底面為直角邊為1與2的直角三角形.這個三棱錐又可視為三棱錐C1—AA1D1，后者高為1，底為腰是1的等腰直角三角形，利用體積相等，立即可求得原三棱錐的高為

解析在該題中我們若再在正方體上加上一個球，則該圖形變得復雜而繁瑣，而又考慮到面A1ADD1截得的球的截面為圓，且EF在截面內，故可連接球心抽出一個圓錐來.

如圖5，依題O亦為此正方體的中心，補側面AD1為平面AD1，球O截平面A D1可得圓錐0—AD1，其底面圓心正為線段AD1的中點，亦為線段EF的中點，割去正方體和球的其它部分，只看這個圓錐，容易看出球O截直線EF所得線段長就等于這個圓錐底面圓的直徑AD1之長，故選D.

解析顯然，該圖不是我們所熟悉的棱柱或棱錐，所以我們在此可以考慮將該圖分解成我們所熟悉的棱柱或棱錐，故可采用分割的方法.將已知圖形割為一個直棱柱與兩個全等的三棱錐，先分別求體積，然后求要求的幾何體體積.

立體幾何解題中，很多時候需將三棱柱補成平行六面體，將三棱錐補成三棱柱，將三棱柱割分為三棱錐等等，其實，割補法不僅僅使用于立體幾何，將上述概念中的幾何體或圖形改為代數式，那么在數學的其它方面使用割補法也就很多了，比如運算中的添項減項，重新組合另行考慮，考慮問題的對立面等等均可視為割補法，因此，割補法不只是一種方法，可把它上升為一種思想——一種數學思想.總之，割補法是解答有關立體幾何問題的有效方法，是會算，會少算，也要會不算的重要途徑.