一階中立型微分方程的反周期解的存在性

王志杰

【摘要】本文利用Krasnoselskiis不動(dòng)點(diǎn)定理，可以使我們得到中立型微分方程反周期解的一些存在性定理，而且這些定理還可以進(jìn)一步擴(kuò)展并能提供給我們一些已知的重要結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】中立型微分方程；反周期解；Krasnoselskiis不動(dòng)點(diǎn)定理；存在性

【基金項(xiàng)目】《高等數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)》為2014年安徽三聯(lián)學(xué)院的基金項(xiàng)目，編號(hào)：14zlgc005

一、引言

反周期解一開始是用來(lái)解決物理問題的，而且還可以被我們引入并用來(lái)解決物理過程、工程學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)，控制理論學(xué)等其他學(xué)科中的一些數(shù)學(xué)模型問題.（見1-30，參考文獻(xiàn)）據(jù)作者了解，幾乎很少有文獻(xiàn)能夠詳細(xì)地分析中立型微分方程的反周期解.所以本文中，我們將考慮如下中立型微分方程：

[u（t）-p（t）u（t-τ）]′=-q（t）u（t）+g（t，u（t-τ））.（1.1）

其中滿足q∈C（R，（0，+∞）），p∈C1（R，R），f∈C（R×R，R），τ>0且p，q均是以T為周期的函數(shù)，函數(shù)f又滿足條件f（t+T，x）=-f（t，x）.

本文的內(nèi)容分布如下：在下面第二部分的內(nèi)容中，我們首先引入一些定義和引理.在第三部分內(nèi)容中，我們通過利用Krasnoselskii′s不動(dòng)點(diǎn)定理，得到方程（1.1）式的以T為周期的反周期解存在的一些結(jié)論.在第四部分，我們會(huì)在第三部分內(nèi)容的基礎(chǔ)上介紹一些實(shí)例，通過這些實(shí)例來(lái)進(jìn)一步論證我們所得結(jié)論的可行性.

二、定義和引理

在這一部分內(nèi)容中，我們將介紹一些定義、注釋，以及引理.

定義2.1（反周期函數(shù)）函數(shù)u（t），u∈C（R，R）若滿足u（t+T）=-u（t），則稱它為周期是T的反周期函數(shù).

定義PT（R，X）={x：x∈C（R，R），x（t+T）=-x（t），t∈R}為反周期函數(shù)集合，且用符號(hào)‖x‖=sup{|x（t）|，t∈R}表示x的范數(shù)，很顯然，集合PT（R，X）為Banach空間.

設(shè)積分方程

x（t）=1p（t+τ）[x（t+τ）+∫t+τ+Tt+τG（t+τ，s）（p（s）q（s）x（s-τ）-f（s，x（s-τ）））ds].（2.1）

且滿足G（t，s）=exp∫stq（u）duexp∫T0q（u）du-1.

引理2.1u（t）是方程（1.1）的反周期解當(dāng)且僅當(dāng)u（t）是方程（2.1）的反周期解.

引理2.2（Krasnoselskiis不動(dòng)點(diǎn)定理）.令X是一個(gè)Banach空間，Ω是X的一個(gè)有界閉凸子集，再設(shè)S1，S2是Ω到X上的兩個(gè)映射，還滿足對(duì)每一對(duì)x，y∈Ω，均有這樣一個(gè)組合S1x+S2y∈Ω.如果S1是壓縮的，S2是全連續(xù)的，則方程S1x+S2x=x在集合Ω上一定有解.

三、反周期解的存在性

定理3.1假設(shè)1

（p1-1）m≤p（t）x-f（t，x）q（t）≤（p0-1）M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.1）

則方程（1.1）式至少有一個(gè)反周期解.

證明根據(jù)引理2.1，我們知道u（t）是方程（1.1）式的反周期解的充要條件是u（t）也是方程（2.1）式的反周期解.我們?cè)O(shè)一個(gè)集合Σ={x∈PT（R，X）：m≤x≤M}，很顯然這個(gè)集合是PT（R，X）的有界閉凸子集.下面再定義兩個(gè)算子：

所以，我們從（3.8）式和（3.9）式中得出{Φx：x∈Σ}在[0，T]上是一致有界和等度連續(xù)的.因此根據(jù)Ascoli-Arzela定理，（Φx）是列緊的.故由引理2.2，存在一個(gè)x∈Σ，使得這樣一個(gè)方程Φx+Ψx=x成立.故x（t）是方程（11）式的反周期解.證畢.

按照定理3.1的結(jié)論，我們可以得出下列三個(gè)結(jié)論和定理（3.1）結(jié)論相同的定理.

定理3.2假設(shè)滿足-∞

M-p1m≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤m-p3M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.10）

則方程（1.1）式存在至少一個(gè)反周期解.

定理3.3假設(shè)滿足0≤p（t）≤p5<1，且存在不等式0

m≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤（1-p5）M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.11）

則方程（1.1）式存在至少一個(gè)反周期解.

定理3.4假設(shè)滿足-1

m-p6M≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.12）

則方程（1.1）式存在至少一個(gè)反周期解.

四、舉例

設(shè)一階中立型微分方程

x（t）-1+exp（cos2t）200x（t-3）′=

-110+cos2t20x（t）+34sin（x3（t-3）），（4.1）

滿足T=π，p（t）=1+exp（cos2t）200，q（t）=110+cos2t20，f（t，x）=34sin（x3（t-3）），τ=3.很容易看出這里的條件滿定理3.3中的要求，所以只要再找出一組適當(dāng)?shù)恼?shù)m