運用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題

吳思明

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的概念之一，函數(shù)概念的出現(xiàn)，是人類思維從靜飛躍到動的必然.變量的觀點是函數(shù)的基礎(chǔ)，對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的本質(zhì).函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)中起到橫向聯(lián)系和紐帶聯(lián)結(jié)的主干作用.函數(shù)思想是函數(shù)概念、性質(zhì)等知識更高層次的提煉和概括.構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，就是對于一個實際問題或數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建一個相應(yīng)的函數(shù)，從而更加有效地解決問題.運用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題要善于抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì).

縱觀高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如果我們能立足于函數(shù)的觀點來處理數(shù)學(xué)問題，便能深剖其本質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，并建立起良好的知識結(jié)構(gòu).函數(shù)的思想一旦為我們所掌握并靈活地運用它，使各方面知識相互滲透，解題時，思路將大大開闊，方法將更加靈活.下面簡單介紹一下運用函數(shù)思想來解決方程、不等式、參數(shù)的取值范圍等數(shù)學(xué)問題.

一、函數(shù)與最值問題

例3設(shè)z∈C，且滿足|z-（2+3i）|+|z-（2-3i）|=4，求d=|z|的最大值和最小值.

解設(shè)z=x+yi（x，y∈R），

則由|z-（2+3i）|+|z-（2-3i）|=4，

得到（x-2）2+y24=1，∴y2=4[1-（x-2）2].

∴d2=x2+y2=x2+4[1-（x-2）2]=-3x-832+283.

∵-1≤x-2≤1，即1≤x≤3.

于是，問題轉(zhuǎn)化為求d2=f（x）在閉區(qū)間[1，3]上的最值問題.不難看出.

當(dāng)z=1時，dmin=1；當(dāng)x=83，y=±253，

即z=83±253i時，dmax=2213.

解題分析：此題的解題關(guān)鍵是借助復(fù)數(shù)的代數(shù)形式設(shè)法轉(zhuǎn)化為關(guān)于復(fù)數(shù)z的實部x的二次函數(shù)來解決.

例4已知拋物線y=（x+1）2，直線y=x-1，求拋物線上的點到直線的最短距離.

解設(shè)（x0，y0）是拋物線上任意一點，它到直線y=x-1的距離為d.

d=|x0-y0-1|1+1，又∵y0=（x0+1）2代入，得

d=|x0-（x0+1）2-1|2=|x20+x0+2|2.

令m=x20+x0+2，據(jù)此拋物線的形狀，開口向上，Δ<0，

∴m恒為正，∴d=x20+x0+22，

∴問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)y=x20+x0+2的最小值為74.

∴dmin=742=728.

解題方法：求最大值、最小值問題關(guān)鍵是把握好函數(shù)關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，使例題中條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系充分暴露，并借助于函數(shù)（例如二次函數(shù)）圖像，利用其性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合來啟發(fā)學(xué)生的解題思路，使問題迎刃而解.

二、構(gòu)造函數(shù)比較大小

例5比較log0.35與log0.34的大小.

解log0.35與log0.34可以看作對數(shù)函數(shù)y=log0.3x，當(dāng)自變量x取5和4時，分別對應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)0<0.3<1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)y=log0.3x在（0，+∞）上是減函數(shù)的性質(zhì)，得出log0.35

例6log20.3，20.3，0.32這三個數(shù)間的大小順序是（）.

A.0.32<20.3

B.log20.3<0.32<20.3

C.0.32<20.3

D.0.32

解在同一坐標(biāo)系中，畫出y=2x，y=0.3x，y=log2x的圖像，

并找出yA=20.3，yB=0.32，yC=log20.3.

觀察圖像知log20.3<0.32<20.3，故選B.

解題關(guān)鍵：根據(jù)需要分別構(gòu)造冪、指、對函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，此類題常與不等式知識相結(jié)合.

三、方程與函數(shù)（解方程f（x）=0就是求函數(shù)f（x）的零點）

例7已知方程x2+2px+1=0有一根大于1，一根小于1，求p的范圍.

解根據(jù)題意作二次函數(shù)y=x2+2px+1的草圖，如圖，當(dāng)x=1時，y=1+2p+1=2p+2，

解題分析：方程與不等式，可看作是對函數(shù)值加的制約條件，滿足這個條件的變量的值就是方程和不等式的解，從例題可以看出，有些題的已知條件和結(jié)論間似乎缺少必然的聯(lián)系，如何設(shè)法跨越這道鴻溝，突破思維定式，關(guān)鍵通過尋找，建立函數(shù)關(guān)系作為輔助工具，化難為易，化繁為簡，這就是將難點轉(zhuǎn)化、尋求最佳方案的有效方法.

總之，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)自覺運用函數(shù)的思想方法，對提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力都有極大好處，有助于培養(yǎng)學(xué)生用運動、變化、聯(lián)系的觀點來解決問題的意識，增強(qiáng)學(xué)生對知識的橫向聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)的思想就是利用知識的相關(guān)性將各部分知識融會貫通，相互轉(zhuǎn)化.可見，在解題中掌握一定的思想方法是不容忽略的，應(yīng)給予重視，它將使學(xué)生的創(chuàng)造力得到發(fā)展，思維的靈活性得到提高，長此訓(xùn)練下去，學(xué)生將受益終生.