淺談高中平面幾何中的對(duì)稱問題

郁鎧暢

在高考即將來臨之際，作為一名高中學(xué)生，對(duì)于高中一些知識(shí)有許多心得和體會(huì).在高考備考準(zhǔn)備階段，本人對(duì)平面幾何中的對(duì)稱問題進(jìn)行探討.本文主要就定點(diǎn)對(duì)稱問題（中心對(duì)稱）、定直線對(duì)稱問題（軸對(duì)稱問題），通過對(duì)例題的分析和總結(jié)對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行說明和介紹.希望大家能夠舉一反三，靈活應(yīng)用，以期對(duì)大家備戰(zhàn)高考有所幫助.

一、定點(diǎn)對(duì)稱問題

（一）點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)對(duì)稱

例1已知點(diǎn)A（5，8），試求所有在點(diǎn)A的右上方且與點(diǎn)A的距離都等于2的點(diǎn)在以點(diǎn)A為對(duì)稱點(diǎn)下所圍成的圖形.

解如果按照一般的思路，應(yīng)進(jìn)行設(shè)點(diǎn)然后建立方程并求解，根據(jù)解來分析點(diǎn)滿足的曲線.但是，通過觀察我們發(fā)現(xiàn)與點(diǎn)A的距離等于2的右上方的點(diǎn)是一個(gè)扇形，所以該圖形實(shí)際是四分之一的扇形關(guān)于圓心（5，8）的對(duì)稱圖形.

例2已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從與AB夾角為θ的方向射到BC的中點(diǎn)P1后，依次反射到CD，DA和AB上的點(diǎn)P2，P3和P4（入射角等于反射角）.若P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1

A.13，1

B.13，23

C.25，12

D.25，23

解從一點(diǎn)出發(fā)的光線被一直線反射，其反射角相當(dāng)于這點(diǎn)關(guān)于這直線對(duì)稱的點(diǎn)發(fā)出的光線.從P0點(diǎn)發(fā)出的光線被BC反射相當(dāng)于從P0′發(fā)出的光線，如圖.

P0′（3，0），點(diǎn)P0′關(guān)于直線DC：y=1的對(duì)稱點(diǎn)P1′（3，2）.點(diǎn)P1′關(guān)于直線AD：x=0對(duì)稱的P2′（-3，2），直線P2′P4就是最后一條反射光線所在直線.

∠AP4P2′=∠BP0P1=∠θ.∵P4（x4，0），∴tanθ=2x4-（-3）=2x4+3，而x4∈（1，2），∴2x4+3∈25，24，即tanθ∈25，12.所以答案選C.

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題是最基本的對(duì)稱問題，是解答其他對(duì)稱問題的基礎(chǔ)，其中點(diǎn)M（a，b）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是M′（-a，-b）.

特別提醒：面對(duì)該類型的對(duì)稱問題時(shí)，在解題時(shí)首先要分清對(duì)稱點(diǎn)和定點(diǎn)的位置，在做題時(shí)切不可將二者混淆.

（二）直線關(guān)于定點(diǎn)對(duì)稱

例3設(shè)曲線C的方程為y=x3-x，將C沿x軸、y軸分別平移t，s單位后得到曲線L.

（1）寫出L的方程；

（2）證明C與L關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱.

解（1）可知L的方程為y=（x-t）3-（x-t）+s.

證明（2）在C上取一點(diǎn)B（a，b），它關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為C（c，d），由a=t-c，b=s-d，代入C可得s-d=（t-c）3-（t-c）.所以C（c，d）滿足L的方程.即C在L上，反之易證L上關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在C上.

例4直線y=2x-3關(guān)于點(diǎn)（1，2）的對(duì)稱直線的方程為（）.

A.2x-y+3=0

B.x-2y-3=0

C.3x+y+3=0

D.2x+y+3=0

解設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)為（x，y），它關(guān)于（1，2）的對(duì)稱點(diǎn)是（x′，y′），2=x+x′，4=y+y′，x′=2-x，y′=4-y，將（x′、y′）的坐標(biāo)代入原方程得出所求的方程2x-y+3=0.答案選A.

二、關(guān)于定直線對(duì)稱問題

（一）點(diǎn)關(guān)于定直線對(duì)稱

例5已知拋物線y2=4px（p>0），直線l：y=kx+pk（k≠0），求證：無論k取何值該拋物線的焦點(diǎn)以l為對(duì)稱軸所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在該拋物線的準(zhǔn)線上.

分析只需證明點(diǎn)F在對(duì)稱直線l下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-p即可.

解可得焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（p，0），過點(diǎn)F且與直線l垂直的直線方程為y=-1k（x-p），將該方程與方程y=kx+pk（x≠0）.事實(shí)上在解題過程中只需要求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)即可，求得該點(diǎn)坐標(biāo)為0，pk.設(shè)F（p，0）在對(duì)稱下的坐標(biāo)為（x，y），并且有0=p+x，接的x=-p.因此，拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)所在的直線為該拋物線的準(zhǔn)線.

（二）曲線和直線關(guān)于定直線對(duì)稱

例6試求直線l：x-y-2=0關(guān)于直線：3x-y+3=0所對(duì)稱的直線方程.

解一觀察發(fā)現(xiàn)直線l與對(duì)稱軸直線是不平行的，因此有相交點(diǎn).聯(lián)立兩方程可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為-52，-92，同時(shí)該點(diǎn)也位于另一條直線上.假設(shè)所求直線的方程為y+92=kx+52，化簡(jiǎn)得2kx-2y+5k-9=0.又由對(duì)稱直線關(guān)于對(duì)稱軸所成的角相等這一性質(zhì)可得3-11+3=k-31+3k，解得k=-7，所以，所求直線的方程為7x+y+22=0.

解二在直線l上任取一點(diǎn)P（x1，y1）并且該點(diǎn)不在對(duì)稱直線上.同時(shí)設(shè)該點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱直線的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x′，y′）.那么有x1=-4x′+3y′-95，y1=3x′+4y′+35.又已知點(diǎn)P（x1，y1）滿足x1-y1-2=0，將上式帶入可得Q（x′，y′）滿足7x′+y′+22=0.由于Q（x′，y′）具有普遍性因此所求直線的方程為7x+y+22=0.

特別提醒：我們知道每個(gè)點(diǎn)可以根據(jù)對(duì)稱軸找到唯一的對(duì)稱點(diǎn).而一條直線是可以由兩個(gè)不重合的點(diǎn)所確定.所以我們可以找l中兩個(gè)互異的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后求得過該兩點(diǎn)的直線即為所求直線方程；關(guān)于直線對(duì)稱的兩條直線它們與對(duì)稱軸所成的夾角是相等的，這也是在求解對(duì)稱直線時(shí)的主要思路.

三、綜合運(yùn)用

例7已知直線l：2x-3y+1=0，點(diǎn)A（-1，-2）.求：

（1）點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)；

（2）直線m：3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m1的方程；

（3）直線l關(guān)于點(diǎn)A（-1，-2）對(duì)稱的直線l1的方程.

分析（1）設(shè)出A1的坐標(biāo)，由AA1垂直于l和AA1的中點(diǎn)在l上，建立方程求解即可.

（2）在m上任取一點(diǎn)M，求M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M1，直線l與m的交點(diǎn)為N，由兩點(diǎn)式求得直線m1.

（3）在直線上任取兩點(diǎn)M，N，求關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)M1，N1，由兩點(diǎn)式得方程.

解（1）設(shè)A（x，y），由已知得y+2x+1×23=-1，2×x-12-3×y-22+1=0，解得x=-3313，y=413，所以所求點(diǎn)A1（x，y）為-3313，413.

（2）在直線m上任取一點(diǎn)，如M（2，0），則M（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M1必在直線m1上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M1（a，b），則2×a+22-3×b+02+1=0，b+0a-2×23=-1.解得：M1613，3013.

設(shè)直線l與m的交點(diǎn)為N，則由2x-3y+1=0，3x-2y-6=0，解得N（4，3）.又因?yàn)閙1經(jīng)過點(diǎn)N（4，3），所以由兩點(diǎn)式得直線m1的方程為9x-46y+102=0.

（3）在l：2x-3y+1=0上任取兩點(diǎn)，如M（1，1），N（4，3），則M，N關(guān)于點(diǎn)A（-1，-2）的對(duì)稱點(diǎn)M1，N1均在l1上.可得M1（-3，-5），N（-6，-7）.在由兩點(diǎn)式可得l1的方程為2x-3y-9=0.

四、心得體會(huì)

1.在解對(duì)稱性的數(shù)學(xué)題目時(shí)，我們首先要判斷該題目是關(guān)于線對(duì)稱還是點(diǎn)對(duì)稱的問題.然后根據(jù)所學(xué)的相關(guān)對(duì)稱知識(shí)和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.并且在計(jì)算坐標(biāo)過程中需特別注意不能將定點(diǎn)坐標(biāo)和固定點(diǎn)坐標(biāo)弄混.

2.點(diǎn)關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱中心就是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)所連接的線段的中點(diǎn)；同時(shí)在做題時(shí)面對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的情況時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）與對(duì)稱軸垂直的是已知點(diǎn)和它所對(duì)稱點(diǎn)的連線；（2）對(duì)稱軸不僅在兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)上，而且還是該線段的垂直平分線.