凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注智慧成長(zhǎng)

吳登峰 朱志明

從教育的使命“教書育人”的角度分析，教育具有雙重性，即教育的知識(shí)性和智慧性.知識(shí)只關(guān)乎事物，智慧卻關(guān)乎人生；知識(shí)是理念的外化，智慧是人生的反觀.從人的全面和自由發(fā)展的意義上講，知識(shí)的地位和作用是基礎(chǔ)性和工具性的，而智慧一方面涵蓋了知識(shí)，另一方面又超越了知識(shí)，直達(dá)人的自由和自覺，直達(dá)人的有意義生活.[1]因此，教育不能止于知識(shí)的傳承，而是要通過知識(shí)的學(xué)習(xí)引導(dǎo)人的智慧成長(zhǎng).本文通過“生活中的比”的教學(xué)，談一些關(guān)于“凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注智慧成長(zhǎng)”的淺見，敬請(qǐng)同行們研教.

一、溯源——在數(shù)學(xué)概念的引入中，促進(jìn)學(xué)生智慧的萌生

問題情境：用現(xiàn)有的條件能解決下面兩個(gè)問題嗎？

（1）淘氣班有45人，笑笑班有35人，哪個(gè)班擁擠？

（2）A號(hào)茶杯放入25 g蔗糖，B號(hào)茶杯放入同樣的蔗糖30 g，哪個(gè)茶杯的糖水甜？

（同桌兩人各選一題，思考后交流，再全班匯報(bào).）

師：這兩題用現(xiàn)有的條件能解決嗎？認(rèn)為能解決的請(qǐng)舉手（學(xué)生舉手），認(rèn)為不能解決的也請(qǐng)舉手（學(xué)生舉手）.

師：勢(shì)均力敵.認(rèn)為能解決的請(qǐng)亮出你的觀點(diǎn)，認(rèn)為不能解決的也請(qǐng)亮出你的觀點(diǎn).

生1：人多就會(huì)擁擠，所以淘氣班擁擠.放入糖多就會(huì)甜，所以B號(hào)茶杯的糖水甜.

生2：光看人數(shù)，不能判斷擁擠，還要看面積的大小.

生3：哪個(gè)茶杯的糖水甜，不能光看放入的糖多少，還要看里面水的多少.

小結(jié)：判斷擁擠與糖水甜的情況，不能用一個(gè)量刻畫，需要“兩個(gè)量結(jié)合”.

板書：兩個(gè)量結(jié)合

師：現(xiàn)在老師把條件補(bǔ)充完整，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)解決這兩個(gè)問題.

[在第（1）題上補(bǔ)充條件：淘氣班的教室長(zhǎng)9米、寬7米，笑笑班的教室長(zhǎng)7米、寬6米.在第（2）題上補(bǔ)充條件：A號(hào)茶杯原有水100 mL，B號(hào)茶杯原有水120 mL.]

生1：9×7÷45=63÷45=1.4（m2/人），7×6÷35=42÷35=1.2（m2/人），所以笑笑班擁擠.

生2：25÷100=0.25（克糖/毫升水），30÷120=0.25（克糖/毫升水），所以一樣甜.

師：剛才的“兩個(gè)量結(jié)合”，是用什么計(jì)算方法來處理的？

生：除法.

板書：兩數(shù)相除.

師：兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算可以用加、減、乘和除，在這里為什么不用加法、減法或乘法？

生：不同的量不可以相加、相減，人數(shù)與面積相乘、水與糖相乘沒有意義.

師：解決這兩個(gè)問題有什么共同之處？

生：要考慮兩個(gè)量，這兩個(gè)量用除法計(jì)算.

師：是的！這兩個(gè)問題都不能用一個(gè)量刻畫，必須用兩個(gè)對(duì)等的量來刻畫.像這樣的“兩數(shù)相除”叫作兩數(shù)的比.

（在“兩數(shù)相除”的下面再板書“兩數(shù)的比”.）

分析荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)，“現(xiàn)代數(shù)學(xué)在建立數(shù)學(xué)概念的方法上，已從典型的通過‘外延描述的抽象化轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)‘公理系統(tǒng)的抽象化……它已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)方法論的普遍范例”.[2]以這樣的高觀點(diǎn)指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不只要求學(xué)生理解概念的表層含義，還應(yīng)著眼于定義概念的過程，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家那樣思考，了解定義形成的方法和依據(jù)，理解蘊(yùn)含在定義背后的規(guī)定和意義，以獲得可靠的數(shù)學(xué)知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí).[3]數(shù)學(xué)教師的任務(wù)在于尋求數(shù)學(xué)之源，呈現(xiàn)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題情境，讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造過程.上述教學(xué)中，先呈現(xiàn)不完整情境，讓學(xué)生思考、交流能否解決，待學(xué)生們認(rèn)為少了一個(gè)條件（一個(gè)量）時(shí)，再出示完整的條件讓學(xué)生解決，其實(shí)就是讓學(xué)生經(jīng)歷祖先創(chuàng)造“比”的原委——用已有知識(shí)難以用一個(gè)量闡明類似房間的擁擠程度、液體的濃度、照片的形狀等問題，必須創(chuàng)造一個(gè)新概念——“比”，用兩個(gè)量刻畫有些事物的屬性.雖然“比”的概念引進(jìn)或建立是前人的創(chuàng)造，但讓學(xué)生回溯“比”的創(chuàng)造之源，實(shí)際上是為學(xué)生提供智慧萌生的契機(jī).

二、求真——在數(shù)學(xué)聯(lián)系的思考中，實(shí)現(xiàn)學(xué)生智慧的超越

（一）比與除法、分?jǐn)?shù)的等價(jià)格關(guān)系

在自學(xué)、交流的基礎(chǔ)上，得出了比與除法、分?jǐn)?shù)的如下關(guān)系：

學(xué)生一邊說，課件一邊演示.

：如果用a表示被除數(shù)，b表示除數(shù)，請(qǐng)寫出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)和比.

（a÷b=ab=a∶b，b≠0，重點(diǎn)讓學(xué)生理解比的后項(xiàng)為什么不能為0.）

師：從相等關(guān)系的角度分析，誰來說說比是什么？

生1：比就是除法，被除數(shù)是比的前項(xiàng)，除數(shù)是比的后項(xiàng)，除號(hào)是比號(hào)，商是比值.

生2：比就是分?jǐn)?shù)，分子是比的前項(xiàng)，分母是比的后項(xiàng)，分?jǐn)?shù)線是比號(hào).

2.比與除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別

師：學(xué)到這里，誰有疑問？

生1：比就是除法，比就是分?jǐn)?shù)，為什么還要學(xué)習(xí)比呢？

生2：比與除法、分?jǐn)?shù)有什么區(qū)別呢？

師：這些問題都很有價(jià)值，請(qǐng)同學(xué)們先完成下面的填空題后再思考.

課件出示填空題：

① 2米長(zhǎng)的木頭用去15，還剩（）.

② 48個(gè)桃子平均分給3只猴子，每只猴子得到（）個(gè)桃子，是用（）計(jì)算的.

③ 與圖片A比較像的是圖片（），理由是（）.

A

B

C

在匯報(bào)“填空題”答案的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)補(bǔ)問.

師：通過這三題的解答，請(qǐng)找一找比與除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別.

先小組交流，再全班交流.在全班交流的同時(shí)完成下表：

分?jǐn)?shù)除法比

區(qū)別不僅可以表示兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，還可以表示某個(gè)具體數(shù)量.是一種運(yùn)算表示兩個(gè)量的關(guān)系（用兩個(gè)可以度量的量刻畫事物）.

師：比表示兩個(gè)量的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系能說成倍數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

生：不能說成倍數(shù)關(guān)系，如面積與人數(shù)的比，不能說成面積是人數(shù)的幾倍，只能說它們的比值是多少.

小結(jié)：在“比”中，當(dāng)兩個(gè)量的單位一樣時(shí)，可以說成倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)單位不是同一類時(shí)，只能說成比是用“兩個(gè)量結(jié)合”刻畫事物.如用路程與時(shí)間這兩個(gè)量的結(jié)合（速度）刻畫汽車行駛的快慢.

師：誰來回答，有了除法和分?jǐn)?shù)為什么還要學(xué)習(xí)比？

生：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)不僅可以表示兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，還可以表示某個(gè)具體數(shù)量，而比是用兩個(gè)可以度量的量刻畫事物.

分析“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).”[4]所以求“真”是數(shù)學(xué)學(xué)科的秉性.數(shù)學(xué)的求真精神不僅能夠養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題、思考問題和解決問題的良好習(xí)慣，還能激發(fā)學(xué)生追求和堅(jiān)持“不唯上、不唯書、只唯實(shí)”（陳云語）的精神.可見，數(shù)學(xué)求真的過程正是對(duì)學(xué)生智慧成長(zhǎng)的一次次啟迪與砥礪的過程.如上述的教學(xué)中，當(dāng)課堂得出比與除法、分?jǐn)?shù)的等價(jià)關(guān)系后，教師先引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：“比就是除法，比就是分?jǐn)?shù)，為什么還要學(xué)習(xí)比呢？”“比與除法、分?jǐn)?shù)有什么區(qū)別呢？”再通過“填空題”的解決與交流，使學(xué)生理解了比與除法、分?jǐn)?shù)的本質(zhì)區(qū)別——除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)不僅可以表示兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，還可以表示某個(gè)具體數(shù)量，而比是用兩個(gè)可以度量的量刻畫事物.這樣的教學(xué)，不僅促進(jìn)了學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)比的必要性，還讓學(xué)生在比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別的思考、交流中，實(shí)現(xiàn)智慧的超越.

為了學(xué)生的智慧成長(zhǎng)，我們不能局限于就知識(shí)教知識(shí)，圍繞考點(diǎn)“炒”知識(shí)，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生不斷地追問是什么？為什么？一定是這樣嗎？還可能怎樣？……充滿思考與叩問的課堂才是啟迪學(xué)生智慧成長(zhǎng)的溫床.[5]

三、追魂——在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，加速學(xué)生智慧的發(fā)展

在課的尾聲，筆者設(shè)計(jì)了下面的聯(lián)系實(shí)際的拓展應(yīng)用.

課件：《國(guó)旗法》規(guī)定，國(guó)旗的旗面是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬的比是3∶2.

（1）笑笑學(xué)校的國(guó)旗尺寸是長(zhǎng)240 cm，寬160 cm.這樣的尺寸符合《國(guó)旗法》嗎？為什么？

（2）楊利偉是第一個(gè)上太空的中國(guó)人，他在太空中展開了聯(lián)合國(guó)國(guó)旗和中華人民共和國(guó)國(guó)旗（出示圖片）.請(qǐng)你估計(jì)這面中華人民共和國(guó)國(guó)旗的長(zhǎng)為cm，寬為cm.

生1：笑笑學(xué)校國(guó)旗的尺寸符合《國(guó)旗法》，因?yàn)?40∶160=3∶2.

生2：我估計(jì)楊利偉所展開的中華人民共和國(guó)國(guó)旗長(zhǎng)3厘米，寬2厘米.

生3：那也太小了，我估計(jì)長(zhǎng)24厘米，寬16厘米.

生4：我估計(jì)長(zhǎng)30厘米，寬20厘米.

師：不猜了.告訴大家吧，楊利偉在太空中所展開的中華人民共和國(guó)國(guó)旗長(zhǎng)15厘米.請(qǐng)問寬是多少厘米？

生：寬10厘米.

師：一定嗎？

生：一定！

師：為什么偏偏是10厘米呢？

生：因?yàn)殚L(zhǎng)和寬的比是3∶2，也就是比值是1.5，現(xiàn)在15÷寬=1.5，寬只能是10厘米.

師：我們可以根據(jù)不同的場(chǎng)合因素，選用大小合適的國(guó)旗，國(guó)旗長(zhǎng)和寬的尺寸在變，但什么不變呢？

生：長(zhǎng)和寬的比值不變.

師：所以，有人曾說，數(shù)學(xué)是研究變化中的不變.如運(yùn)算律中運(yùn)算順序變了，但運(yùn)算結(jié)果不變；平面圖形的等積變形，形狀變化了，而面積未變；今天學(xué)習(xí)的照片像與不像和國(guó)旗的制作要求，長(zhǎng)和寬尺寸可變，但比值不變.今后我們要善于抓住事物的不變屬性進(jìn)行多變.

分析數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“解決數(shù)學(xué)問題，我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直至最終成功地找到某些有用的東西為止.”中學(xué)數(shù)學(xué)是如此，小學(xué)數(shù)學(xué)也不例外.如異分母分?jǐn)?shù)加減，變換成同分母的分?jǐn)?shù)計(jì)算；梯形轉(zhuǎn)化成三角形或平行四邊形，從而推導(dǎo)出其面積公式；不規(guī)則圖形變換成規(guī)則圖形計(jì)算等等.無論怎么變，但某個(gè)數(shù)學(xué)的要素沒有變.[6]有了“比”，又多了一條進(jìn)行數(shù)學(xué)變換的途徑.因此，在本課“聯(lián)系實(shí)際，拓展應(yīng)用”的環(huán)節(jié)中，巧妙地滲透“數(shù)學(xué)變換”的思想方法，是十分必要的.這樣的教學(xué)跳出了比的知識(shí)范疇，讓學(xué)生在鞏固比的知識(shí)的同時(shí)，不知不覺地感悟了數(shù)學(xué)的思想方法，進(jìn)而促進(jìn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)教育不能滿足于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的掌握，要通過數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生去觸摸數(shù)學(xué)的靈魂，讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中受到數(shù)學(xué)思想的熏陶，久而久之，學(xué)生做事、做人的智慧定會(huì)在“潤(rùn)物細(xì)無聲”中茁壯成長(zhǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1][5]顧亞龍.為學(xué)生智慧的成長(zhǎng)而教——小學(xué)數(shù)學(xué)教育的智慧視界[J].小學(xué)教學(xué)研究，2014（7）：4-6.

[2]張奠宙.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M].南京：江蘇教育出版社，1998：218.

[3]姜榮富.知識(shí)特征、認(rèn)知規(guī)律與教學(xué)方式的有效選擇[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（6）：43-47.

[4]教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版，2011：3.

[6]蔡宏圣.教學(xué)：從授業(yè)解惑到思想啟蒙[J].小學(xué)教學(xué)，2014（12）：21-23.