統(tǒng)計(jì)與概率主線(xiàn)之概率的主線(xiàn)分析

林姍+李碧榮

【摘要】本文以統(tǒng)計(jì)與概率主線(xiàn)中的概率主線(xiàn)為分析對(duì)象，從概率的地位與作用、與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的區(qū)別和聯(lián)系、概率內(nèi)容和要求的變化三個(gè)方面來(lái)分析概率主線(xiàn)，進(jìn)而給出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】概率；隨機(jī)現(xiàn)象；教學(xué)主線(xiàn)

【基金項(xiàng)目】廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目——提高教育碩士基地實(shí)習(xí)實(shí)效性研究（JGY2015102）.教育學(xué)博士學(xué)位點(diǎn)建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助科研項(xiàng)目——基于大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的碩本互促發(fā)展機(jī)制研究.

現(xiàn)代社會(huì)的工作、學(xué)習(xí)和生活中充滿(mǎn)著大量的數(shù)據(jù)和隨機(jī)性，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率已成為了必然.概率作為統(tǒng)計(jì)與概率主線(xiàn)中的一個(gè)重要部分，也是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的重要內(nèi)容之一，下面我們主要探討統(tǒng)計(jì)與概率主線(xiàn)中的概率部分.

一、概率的地位與作用

概率作為統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)主線(xiàn)中的一個(gè)重要組成部分，以客觀世界的隨機(jī)現(xiàn)象為研究對(duì)象，與日常生活密切相關(guān)，為我們認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法，同時(shí)也為統(tǒng)計(jì)學(xué)提供了理論基礎(chǔ)[1].

（一）從生活上看

概率以隨機(jī)現(xiàn)象作為研究對(duì)象，而隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見(jiàn)，其實(shí)我們?cè)缫言谌粘Ｉ钪校ㄈ绯楹?、投資等）感受過(guò)了隨機(jī)現(xiàn)象，只是沒(méi)有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和認(rèn)知，將這些現(xiàn)象放進(jìn)數(shù)學(xué)中，概率學(xué)就是研究它們的數(shù)學(xué)工具.

（二）從課程標(biāo)準(zhǔn)上看

在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主要分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐這四個(gè)部分[1].高中階段，則將數(shù)學(xué)課程分為必修課程和選修課程，其中必修課程是每名學(xué)生都必須要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這一部分內(nèi)容分為五個(gè)模塊，算法與概率統(tǒng)計(jì)是其中一個(gè)模塊[2].無(wú)論哪個(gè)階段，統(tǒng)計(jì)與概率都單獨(dú)占去一塊內(nèi)容，這說(shuō)明了統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)的重要性，并且《課標(biāo)》中還強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)已成為一個(gè)未來(lái)公民的必備常識(shí).概率作為統(tǒng)計(jì)與概率主線(xiàn)中的一個(gè)重要部分，也占據(jù)重要地位，并且它是中考、高考必考內(nèi)容之一.

（三）從發(fā)展學(xué)生的角度上看

學(xué)生通過(guò)對(duì)概率的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生是既具有偶然性又具有必然性的，有助于學(xué)生以辯證的觀點(diǎn)來(lái)理解和處理現(xiàn)實(shí)世界中的不確定現(xiàn)象，形成科學(xué)的價(jià)值觀.此外，由于概率與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系較為密切，且其自身具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，故有助于培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活”的應(yīng)用意識(shí).

二、概率與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的區(qū)別和聯(lián)系

數(shù)學(xué)學(xué)科之間是相互聯(lián)系的，不是獨(dú)立的，也不是分散的，有著它們的相似之處.如數(shù)學(xué)中存在著線(xiàn)段的長(zhǎng)度、物體的體積等等的度量，其實(shí)概率也是一種度量，只不過(guò)是用來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的，與這兩種度量相類(lèi)似，但又有著差別，所以說(shuō)概率與代數(shù)、幾何之間又存在著差別.

（一）研究對(duì)象的不同

代數(shù)、幾何等研究的是數(shù)與數(shù)量關(guān)系或圖形與空間等這類(lèi)結(jié)果固定的對(duì)象，而概率主要研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，看不見(jiàn)，摸不著，不像幾何圖形那么直觀[3].簡(jiǎn)單來(lái)講，代數(shù)與幾何是研究“確定性”數(shù)學(xué)的，而概率是研究“隨機(jī)性”數(shù)學(xué)的，前者較多依賴(lài)于邏輯推理，注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算能力、空間觀念等，后者則更多地運(yùn)用到合情推理，注重發(fā)展學(xué)生的辯證觀念.[4]

（二）研究結(jié)果的不同

概率與代數(shù)、幾何之間的研究結(jié)果的不同主要在兩個(gè)方面.一個(gè)是結(jié)果的“確定性”與“不確定性”；另一方面在于度量的值的范圍.

代數(shù)、幾何等研究的是數(shù)與數(shù)量關(guān)系或圖形與空間等這類(lèi)結(jié)果固定的對(duì)象，如“1+1”的計(jì)算結(jié)果是2，概率研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，其發(fā)生的結(jié)果具有偶然性和必然性，偶然性表現(xiàn)在事件發(fā)生的結(jié)果是隨機(jī)的，例如拋一枚硬幣，其結(jié)果可能正面朝上，也可能反面朝上；其必然性則表現(xiàn)在通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)的附近，如大量重復(fù)地拋一枚硬幣，正面朝上的頻率穩(wěn)定在0.5左右.

再者，概率與幾何的度量雖從性質(zhì)上看是相似的，但它們度量的結(jié)果是有差別的，概率度量的值最大為1，最小值為0，永遠(yuǎn)不會(huì)有超過(guò)1或小于0的結(jié)果存在，而在幾何中的度量卻不受這種結(jié)果在0到1之間的限制，但要求結(jié)果不為負(fù)，而代數(shù)中數(shù)的運(yùn)算結(jié)果則可以擴(kuò)展到整個(gè)實(shí)數(shù)域.

三、概率內(nèi)容與要求的變化

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》是國(guó)家對(duì)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的基本要求和規(guī)范，是教材編寫(xiě)、教學(xué)、評(píng)估和考試命題的依據(jù)[5]，概率是貫穿在整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的，因此我們需要從《課標(biāo)》中對(duì)概率內(nèi)容的要求來(lái)看概率內(nèi)容的變化.為了更好地進(jìn)行對(duì)比和分析，將教學(xué)目標(biāo)分為對(duì)概率概念的目標(biāo)要求和對(duì)概率求法的目標(biāo)要求兩個(gè)部分，根據(jù)《課標(biāo)》中對(duì)不同學(xué)段概率內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的要求，各階段概率內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)如下.

（一）小學(xué)階段

內(nèi)容：人教版五年級(jí)上冊(cè)第4章——可能性.

教學(xué)目標(biāo)：

1.有關(guān)概念方面：結(jié)合具體情境，了解簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象.

2.有關(guān)求法方面：能列出隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果；通過(guò)活動(dòng)，感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性有大小，能對(duì)簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做出定性描述.

（二）初中階段

內(nèi)容：人教版九年級(jí)上冊(cè)第25章——概率初步，包括25.1隨機(jī)事件，25.2用列舉法求概率，25.3用頻率估計(jì)概率.

教學(xué)目標(biāo)：

1.有關(guān)概念方面：

（1）理解隨機(jī)現(xiàn)象，初步了解古典概型；了解事件的概率.

（2）知道通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來(lái)估計(jì)概率.

2.有關(guān)求法方面：能通過(guò)列表、畫(huà)樹(shù)狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果.

（三）高中階段

內(nèi)容：

人教版高中數(shù)學(xué)必修3——概率，包括3.1隨機(jī)事件的概率；3.2古典概型；3.3幾何概型.

人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3——隨機(jī)變量及其分布列，包括2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列；2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用；2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差；2.4正態(tài)分布.

教學(xué)目標(biāo)：

1.有關(guān)概念方面：

（1）了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性；了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別；了解隨機(jī)數(shù)的意義，初步體會(huì)幾何概型的意義.

（2）理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念；借助直觀（如實(shí)際問(wèn)題的直方圖），認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義；了解條件概率和兩個(gè)事件互相獨(dú)立的概念.

2.有關(guān)求法方面：通過(guò)實(shí)例，了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式；理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬）估計(jì)概率.

（四）關(guān)于不同學(xué)段概率的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，具體從以下幾個(gè)方面進(jìn)行比較

1.從教材內(nèi)容安排上看不同階段概率內(nèi)容的變化

在教材內(nèi)容的安排上，對(duì)于概率內(nèi)容的編排符合螺旋上升原則，在小學(xué)階段僅五年級(jí)接觸了“可能性”.初三在給出隨機(jī)事件定義的同時(shí)開(kāi)始接觸到一些簡(jiǎn)單的概率（通常是簡(jiǎn)單的古典概型）求算方法，實(shí)際上義務(wù)教育階段對(duì)概率的學(xué)習(xí)要求較低.而高中階段，除了加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象和概率的認(rèn)知和理解，還重視隨機(jī)事件概率的求算，還新增了幾何概型、條件概型以及增加對(duì)離散型隨機(jī)變量及其分布列等內(nèi)容的學(xué)習(xí).其中幾何概型是必修3的內(nèi)容，高中的每一個(gè)學(xué)生都要學(xué)習(xí)，而后兩個(gè)內(nèi)容是選修2-3的內(nèi)容，一般為文理分科后理科生所學(xué)的內(nèi)容.

2.不同階段對(duì)概率相關(guān)概念教學(xué)目標(biāo)的變化

小學(xué)階段僅要求了解隨機(jī)現(xiàn)象，并沒(méi)有具體給出“可能性”的定義，也沒(méi)有給出概率的定義和學(xué)習(xí)概率求算.初中階段對(duì)“隨機(jī)現(xiàn)象”的要求從小學(xué)的“了解”上升為“理解”，并開(kāi)始接觸到概率及其求算方法的相關(guān)內(nèi)容.高中階段還要求了初步體會(huì)幾何概型的意義，對(duì)于理科生還增加了隨機(jī)變量及其分布列等概念，但是大多也停留在“了解”層次，整體的要求其實(shí)并不高.

初、高中階段雖分別給出了隨機(jī)事件及其概率相關(guān)定義，但初中階段對(duì)定義的刻畫(huà)比較通俗，例如概率的定義“對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，刻畫(huà)其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，就稱(chēng)為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率”，而高中階段不僅給出了概率的統(tǒng)計(jì)定義、古典定義和幾何定義三種概率定義，描述上也更為嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)化.此外，初中要求“知道通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來(lái)估計(jì)概率”，這實(shí)際上也開(kāi)始接觸了概率的統(tǒng)計(jì)定義，但是初中階段僅作為結(jié)論，并未對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義進(jìn)行詳細(xì)的描述.

3.不同階段對(duì)概率求法的變化

小學(xué)階段并不要求概率的具體求算，僅要求列出可能發(fā)生的結(jié)果.初中階段才開(kāi)始接觸簡(jiǎn)單的概率的求算，求算的方法也比較簡(jiǎn)單，通常采用列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法，但到了高中就開(kāi)始嘗試條件較為復(fù)雜的概率的求算，會(huì)運(yùn)用到一些概率運(yùn)算公式，有些題目甚至需要結(jié)合排列組合來(lái)進(jìn)行綜合運(yùn)算，選修2-3中還增加了離散型隨機(jī)變量及其分布列的運(yùn)用，這也意味著到了高中階段開(kāi)始對(duì)概率的求算有更高的要求.

四、教學(xué)建議

新課標(biāo)中認(rèn)為概率教學(xué)的核心問(wèn)題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義[1]，而了解隨機(jī)現(xiàn)象，關(guān)鍵不在學(xué)生是否能準(zhǔn)確判斷一個(gè)事件發(fā)生的可能性，可能性這部分內(nèi)容淺顯易懂，一般學(xué)生都能夠準(zhǔn)確判斷出事件發(fā)生的可能性，且小學(xué)已做了相關(guān)的學(xué)習(xí)，因此教學(xué)上不必花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間在讓學(xué)生判斷事件發(fā)生的可能性上，而是在于讓學(xué)生正確理解隨機(jī)事件發(fā)生的隨機(jī)性及規(guī)律性，這也是學(xué)生理解的難點(diǎn)，因此在教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題.

（一）注意不同階段強(qiáng)調(diào)條件上的取舍

從小學(xué)到高中三個(gè)不同階段，對(duì)于一些語(yǔ)言的表述上也是有變化的，例如小學(xué)將骰子描述為“六個(gè)面上分別寫(xiě)著數(shù)字1～6的正方體”，初中階段還強(qiáng)調(diào)“質(zhì)地均勻”，而高中階段又僅描述為“骰子”，這樣一種變化與不同階段學(xué)生心理和認(rèn)知變化的不同不無(wú)關(guān)系，小學(xué)生認(rèn)知水平較低，對(duì)抽象的事物難理解，需要具體說(shuō)明，但又不宜解釋過(guò)多條件，因?yàn)樾畔⒘恳欢嗨麄儫o(wú)法接受.初中生認(rèn)知比小學(xué)生成熟點(diǎn)，但處于思維跳躍、反叛的階段，不強(qiáng)調(diào)質(zhì)地均勻的條件，他們會(huì)拿“質(zhì)地不均勻”的情況做比較，產(chǎn)生理解上的混亂.而高中生思維趨于較平穩(wěn)的狀態(tài)，加上初中已強(qiáng)調(diào)了相關(guān)條件，他們能理解，因此不必過(guò)于強(qiáng)調(diào)質(zhì)地均勻不均勻的條件.即在教學(xué)中教師要懂得把握重點(diǎn)，該解釋的要解釋?zhuān)搹?qiáng)調(diào)的也務(wù)必要強(qiáng)調(diào)，不需要過(guò)多強(qiáng)調(diào)的也要適當(dāng)?shù)厣釛?

（二）注重引導(dǎo)學(xué)生正確理解隨機(jī)現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性主要體現(xiàn)在試驗(yàn)結(jié)果的不確定上，與一些現(xiàn)象，如說(shuō)一個(gè)人長(zhǎng)得高或矮、漂亮或丑陋等等不同，這些現(xiàn)象的不確定是由于對(duì)現(xiàn)象本身定義的模糊不清造成的，即這些現(xiàn)象本身并沒(méi)有明確的界定，見(jiàn)仁見(jiàn)智而已，我們將之稱(chēng)為模糊，而不是概率所研究的隨機(jī).

而對(duì)于類(lèi)似存在不存在外星人這樣的事件，雖與隨機(jī)現(xiàn)象一樣都是結(jié)果是不確定的，但對(duì)外星人是否存在的結(jié)果的不確定，是因?yàn)槲覀儾](méi)有研究出答案，若有答案，那么這個(gè)答案是確定的，有就是有，沒(méi)有就是沒(méi)有，不存在結(jié)果的偶然性.因此，隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的“不確定性”要強(qiáng)調(diào)在一定條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)前無(wú)法預(yù)知結(jié)果是哪個(gè)，但并不是所有無(wú)法預(yù)知結(jié)果的事件都稱(chēng)為隨機(jī)事件[3].

由于隨機(jī)現(xiàn)象較抽象，學(xué)生容易出現(xiàn)類(lèi)似上述理解上的偏差和困惑，但隨機(jī)現(xiàn)象是學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，學(xué)生若對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象不能正確理解，就難以進(jìn)行概率的教學(xué)，因此教師一定要解釋清楚隨機(jī)現(xiàn)象.

（三）鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)

正確區(qū)分隨機(jī)事件發(fā)生的隨機(jī)性和規(guī)律性是概率學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，可能會(huì)有學(xué)生因沒(méi)有正確區(qū)分這兩者而產(chǎn)生類(lèi)似這樣的誤解：隨機(jī)性體現(xiàn)在中獎(jiǎng)概率為110 000，買(mǎi)1張可能中也可能不中，規(guī)律性體現(xiàn)在我買(mǎi)10 000張獎(jiǎng)券就必定能夠中獎(jiǎng).突破這個(gè)難點(diǎn)的方法是化抽象為具體，讓學(xué)生有直接的感知，具體操作在人教版必修3的教師用書(shū)中有解釋?zhuān)谶@就不多贅述，但需要注意的是，雖然現(xiàn)在計(jì)算機(jī)普及，但初、高中教材中都給出了擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，因此教師不可為了節(jié)省時(shí)間直接使用計(jì)算機(jī)來(lái)代替讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn).

（四）不要過(guò)于注重計(jì)算

新課標(biāo)中指出，古典概型的教學(xué)不要把重點(diǎn)放在“如何計(jì)數(shù)”上，這樣容易導(dǎo)致學(xué)生能聽(tīng)懂，但不會(huì)做題.計(jì)算隨機(jī)事件的概率作為高中概率學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，無(wú)疑在高中概率教學(xué)中占據(jù)著一個(gè)較大位置，但是它不等同于簡(jiǎn)單的計(jì)算題，不是單純套公式進(jìn)行計(jì)算，教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般地概括出具體的概率模型的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別概率模型的能力[6]，加深學(xué)生對(duì)概率模型內(nèi)涵的理解.

學(xué)生對(duì)概率的學(xué)習(xí)從五年級(jí)開(kāi)始接觸概率起，經(jīng)歷了三年左右的空白期后，在九年級(jí)繼續(xù)概率的學(xué)習(xí)，時(shí)間的跨度雖然比較長(zhǎng)，但義務(wù)階段的概率學(xué)習(xí)難度并不算大，可是緊接著的高一就又要加深對(duì)概率模型的學(xué)習(xí)，由于高中數(shù)學(xué)更為嚴(yán)謹(jǐn)、抽象而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)困難，不僅要處理好確定性思維到隨機(jī)性思維的轉(zhuǎn)變，而且增加了新的內(nèi)容，這意味著難度和容量的雙重增加，無(wú)形中給學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)帶來(lái)壓力，因此把握好概率內(nèi)容初、高中的銜接是比較重要的.

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