口訣教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

朱奪寶

【摘要】在線性代數(shù)教學(xué)中，運(yùn)用口訣教學(xué)法提高教學(xué)效果.針對(duì)行列式性質(zhì)、初等變換、矩陣乘法、求解線性方程組、初等變換法求逆等給出相應(yīng)有效又簡(jiǎn)潔的口訣.

【關(guān)鍵詞】口訣；教學(xué)法；線性代數(shù)

線性代數(shù)課程是理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課程，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在一些計(jì)算中容易弄混.尤其是新疆高校中少數(shù)民族大學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)中困難比較多.為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生掌握基本的計(jì)算方法，在教學(xué)中采用口訣教學(xué)法，取得了良好的效果.

一、口訣教學(xué)法

一些數(shù)學(xué)概念學(xué)生難以理解、記憶，如果用口訣或者順口溜形式，既起到點(diǎn)石成金的效果，又能調(diào)節(jié)課堂教學(xué)氣氛，達(dá)到讓學(xué)生由“苦學(xué)”向“樂學(xué)”轉(zhuǎn)變的效果.幽默風(fēng)趣簡(jiǎn)潔明白的“口訣”，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶、理解和鞏固.

二、口訣教學(xué)法的使用

（一）矩陣乘法口訣

設(shè)矩陣Am×s=（aij）m×s，Bs×n=（bij）s×n和C=（cij）m×n，矩陣乘法AB=C，結(jié)果矩陣C的元素cij定義為

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=∑sk=1aikbkj.

定義式給學(xué)生解釋為結(jié)果矩陣C中的元素cij是由前矩陣A的第i行與后矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和.

矩陣乘法的口訣為“矩陣乘法，一個(gè)式子兩句話.一個(gè)式子是Am×sBs×n=Cm×n，兩句話是‘前列=后行，前行×后列”.對(duì)口訣的解釋，通過式子明確乘積中三個(gè)矩陣的類型關(guān)系.兩句話包含了三重意思，“前列=后行”是“前矩陣的列數(shù)等于后矩陣的行數(shù)”的簡(jiǎn)化，說明兩個(gè)矩陣只有“前矩陣的列數(shù)等于后矩陣的行數(shù)”時(shí)相乘才有意義，即相乘這件事情可以做；“前行×后列”第一重意思是判定結(jié)果矩陣類型是“前矩陣的行數(shù)乘以后矩陣的列數(shù)”，明確結(jié)果矩陣的元素個(gè)數(shù)及排列方式，即知道相乘這件事情最終的結(jié)果形式；“前行×后列”第二重意思是說明如何相乘，是“取前矩陣的行與后矩陣的列對(duì)應(yīng)元素乘積的和”的簡(jiǎn)化，即確定相乘這件事情過程如何做.

通過口訣中兩個(gè)式子包含的三重意思，引導(dǎo)學(xué)生遇到矩陣乘法時(shí)，一考慮能否相乘，是否有意義，二考慮結(jié)果類型，明確有多少個(gè)元素及相應(yīng)位置，三是具體計(jì)算出元素進(jìn)行填空.

（二）行列式性質(zhì)和初等變換中的口訣

學(xué)習(xí)行列式的計(jì)算時(shí)，有性質(zhì)“把行列式的某一列（行）的各元素乘同一數(shù)后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變”.以數(shù)k乘第j行加到第i行，記作ri+krj，計(jì)算過程寫為D=ri+krjD1，既行列式D經(jīng)過計(jì)算得到行列式D1.對(duì)于這個(gè)性質(zhì)的使用，口訣為“前變后不變，前者系數(shù)必須為1”.在計(jì)算過程ri+krj中，ri是寫在前面的，那么改變的是ri，其余的行不變；ri前面的系數(shù)必須為1，是為了保證前后矩陣D與D1的結(jié)果相同.

學(xué)習(xí)矩陣的初等變換，“把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去”，第j行的k倍加到第i行上，記作ri+krj，計(jì)算過程寫為Ari+krjA1，既矩陣A經(jīng)過變換得到矩陣A1，一般情況下矩陣A與矩陣A1不相等，中間的符號(hào)“→”表示變換的方向.矩陣的這個(gè)初等變換記憶口訣為“前變后不變，前者系數(shù)一般為1”.在計(jì)算過程ri+krj中，ri是寫在前面的，那么改變的是ri，其余的行不變；ri前面的系數(shù)一般為1，若寫為lri+krj，實(shí)際上可以看成是進(jìn)行了兩步初等行變換，第一步為lri，ri改變后進(jìn)行第二步ri+krj.

對(duì)于“ri+krj”這個(gè)寫法，在行列式的性質(zhì)和矩陣的初等變換中都出現(xiàn)，書寫形式完全一致，理解上共同點(diǎn)都是“前變后不變”，區(qū)別是“前者系數(shù)是否必須為1”.在對(duì)概念理解的基礎(chǔ)上，在計(jì)算中為防止混淆統(tǒng)一簡(jiǎn)單記憶為“前變后不變，前者系數(shù)為1”.

（三）線性方程組求解

線性方程組Ax=b的求解是線性代數(shù)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，要求學(xué)生必須掌握.為了讓學(xué)生能夠快速掌握并且延長(zhǎng)記憶時(shí)間，總結(jié)出線性方程組求解的口訣為“增廣變最簡(jiǎn)，只用行變換，等價(jià)方程組，一般形式解，最后向量解”.口訣中“增廣”是指線性方程組的增廣矩陣（A，b），計(jì)算的第一步是“只利用行變換將增廣矩陣變換為最簡(jiǎn)階梯形”，簡(jiǎn)單記憶為“增廣變最簡(jiǎn)，只用行變換”.第二步，利用得到的最簡(jiǎn)階梯形作為增廣矩陣寫出原方程的等價(jià)最簡(jiǎn)方程組.第三步，寫出方程的一般形式解.第四步，由一般形式解寫出向量解.

（四）初等行變換法求逆

對(duì)n階方陣A，利用行變換法求逆，口訣為“胖矩陣行變最簡(jiǎn)，左單位則右為逆”.首先構(gòu)造“胖矩陣”（A，E），只利用行變換將（A，E）化為最簡(jiǎn)階梯形.若最簡(jiǎn)階梯形左半部分是單位矩陣，則右半部分是方陣A的逆矩陣.如果化為最簡(jiǎn)階梯形，左半部分不是單位矩陣，則方陣A不可逆.在這里對(duì)矩陣（A，E）命名為“胖矩陣”，非常形象有趣，有利于學(xué)生記憶.對(duì)學(xué)生要強(qiáng)調(diào)必須是使用行變換，不能使用列變換，故口訣中是“行變最簡(jiǎn)”，即通過行變換化為最簡(jiǎn)階梯形.

三、口訣教學(xué)法的注意事項(xiàng)

（一）口訣簡(jiǎn)單易記

口訣內(nèi)容文字盡量簡(jiǎn)單易記，能夠突出重要信息，讓學(xué)生在理解基本概念方法的基礎(chǔ)上記憶.口訣不能帶有歧義.比如求解線性方程組“增廣變最簡(jiǎn)，只用行變換，等價(jià)方程組，一般形式解，最后向量解”，學(xué)生一般會(huì)記住第一步把增廣矩陣化為最簡(jiǎn)階梯形，但是個(gè)別學(xué)生會(huì)出現(xiàn)使用列變換的情況.所以口訣中強(qiáng)調(diào)“只用行變換”.

（二）用口訣又不唯口訣

并不是所有內(nèi)容都可以用口訣表達(dá)，口訣在文字和格式上有一定的局限性，有些口訣不能全面或準(zhǔn)確表達(dá)內(nèi)容.口訣教學(xué)只是一種輔助性教學(xué)，必須適可而止.一堂優(yōu)質(zhì)課還要注意其他教學(xué)原則的貫徹、教學(xué)媒體的選擇與教學(xué)方法的運(yùn)用.