用差分法求由遞推式a_n=ka_n—1+ha_n—2給出的數(shù)列的通項(xiàng)公式

劉慧穎 杜超雄

摘 要： 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中也占有較大的比例，是每年高考的熱門考點(diǎn)之一.本文試圖用差分的方法探究數(shù)列的遞推公式，為一些數(shù)列通項(xiàng)公式的求法找到較簡(jiǎn)便的方法，這對(duì)于高中生學(xué)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法大有幫助，對(duì)于一些一線數(shù)學(xué)教師有一定參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞： 數(shù)列通項(xiàng)公式 遞推公式 差分法

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在現(xiàn)行的高中教材中也占有很大的篇幅.全國(guó)高考考試大綱要求考生“理解數(shù)列的概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式”.因此，在歷年的高考試題中，用遞推公式的方式給出數(shù)列要求求通項(xiàng)公式的試題不少.為了探究這一問(wèn)題，筆者查閱了若干資料，在此給出用差分的方法求形如的遞推表達(dá)式的數(shù)列通項(xiàng)公式的方法.筆者認(rèn)為它對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)列的高中生有幫助，對(duì)于高中教師也有一定的參考價(jià)值.

1.傳統(tǒng)求法

2.差分法

上述求法顯然在解決問(wèn)題1時(shí)是有效的，但是過(guò)程較復(fù)雜，運(yùn)算也容易出錯(cuò).

下面介紹差分法（見文[1，2]）計(jì)算問(wèn)題1中數(shù)列的通項(xiàng)公式，解法如下.

解：將問(wèn)題1中所提供的遞推關(guān)系式視為一個(gè)差分方程，那么該方程的特征方程為

參考文獻(xiàn)：

[1]阮炯.差分方程和常微分方程[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002，8.

[2]錢耀泉.差分方程方法在數(shù)列教學(xué)中的應(yīng)用[D].廣州大學(xué)碩士學(xué)位論文，2012，5.